Cette thèse présente d'une part, la construction d'approximations parcimonieuses de champs acoustiques, d'autre part l'utilisation de ces approximations pour la résolution de problèmes inverses. L'approximation de solutions de l'équation d'Helmholtz est étendue à des modèles de vibration de plaques, ce qui, entre autres, permet également de concevoir une méthode de calcul de mode propres alternative aux méthodes de référence. Différents problèmes inverses sont ensuite étudiés, en se basant sur ces résultats d'approximation. Le premier est l'holographie acoustique en champ propre, pour laquelle nous développons une nouvelle méthode de régularisation, ainsi qu'une antenne aléatoire permettant de réduire le nombre de mesures nécessaires à la reconstruction de déformées opérationnelles de plaques. Le deuxième problème inverse étudié est l'interpolation spatiale de réponses impulsionnelles de plaques, où nous montrons qu'en mesurant le champ vibratoire sur un ensemble d'échantillons bien choisi (justifié par une analyse théorique), les réponses impulsionnelles d'une plaque peuvent être obtenues avec moins de mesures que demandées par le théorème d'échantillonnage de Shannon. Enfin, le problème de la localisation de sources dans un espace clos réverbérant est étudié. Nous montrons qu'en utilisant des modèles parcimonieux d'ondes, la localisation est possible sans connaissances a priori sur les conditions aux limites du domaine de propagation des ondes.

Ce travail s'inscrit dans la problématique de la modélisation numérique des phénomènes électromagnétiques présents dans les machines électriques. Il comporte deux parties. La première partie présente une méthode permettant de ramener, par un raisonnement physique adapté au comportement électromagnétique et à la géométrie de la machine, le problème complet des équations aux dérivées partielles de la magnétostatique, à un problème unidimensionnel. C'est ce que nous avons appelé la méthode de découpage en secteurs qui, tout en demeurant une méthode approchée, tient compte "en moyenne" de la géométrie du domaine et présente l'avantage d'une très grande rapidité d'exécution. La seconde partie porte sur l'analyse de la distribution de la densité de courant dans un conducteur massif de forme quelconque, noyé dans une encoche. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour résoudre l'équation d'Helmholtz afin de déterminer numériquement les fonctions propres du Laplacien sur le domaine considéré. Il en résulte une méthode de détermination d'un circuit équivalent valable quels que soient les formes des courants et les profils des barres.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique. / In my PhD, I have worked on the construction of absorbing boundary conditions (ABCs) designed for wave propagation problems set in domains bounded by regular surfaces. These conditions are new since they take into account not only propagating waves (as most of the existing ABCs) but also evanescent and creeping waves. Therefore, they outperform the existing ABCs. Moreover, they can be easily implemented in a discontinuous Galerkin finite element scheme and they do not change the Courant-Friedrichs-Lewy stability condition. These ABCs have been implemented in two codes that respectively simulate the propagation of acoustic waves and harmonic waves. The comparisons performed between these ABCs and the ABCs mostly used in the litterature show that when we take into account evanescent and creeping waves, we reduce the reflections coming from the artificial boundary. Therefore, thanks to these new ABCs, the artificial boundary can get closer to the obstacle. Consequently, we reduce the computational costs which is one of the advantages of my work. Moreover, since these new ABCs are written for any kind of boundary, we can adapt the shape of the computational domain and thus we can reduce again the computational costs.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique.

De nombreux ouvrages d'électromagnétisme ou d'acoustique classent les méthodes de résolution des problèmes de diffraction suivant le qualificatif d'analytique ou de numérique. Les premières donnent des formes explicites exactes ou asymptotiques des champs tandis que les secondes aboutissent à des expressions implicites en champ que l'on résout numériquement. Cette présentation se rapporte à certaines de nos publications relatives à la première catégorie. On y présente les solutions originales, exactes ou asymptotiques, de problèmes de diffraction d'une onde par des corps élémentaires comportant une ou plusieurs discontinuités de géométrie et/ou de matériau en 2D et 3D, en régime stationnaire ou instationnaire. Plusieurs de ces problèmes ainsi traités deviennent de nouveaux cas canoniques. On notera que les problèmes étudiés ne sont pas solubles par les méthodes classiques de séparation des variables.<br />Indiquons par ailleurs qu'étant donné la complexité des problèmes posés, nous avons proscrit les arguments heuristiques qui limitent trop souvent le domaine de validité de nombreuses méthodes analytiques.

Décrit comme l'un des algorithmes les plus prometteurs du 20ème siècle, le formalisme multipolaire appliqué à la méthode des éléments de frontière, permet de nos jours de traiter de larges problèmes encore inconcevables il y a quelques années. La motivation de ce travail de thèse est d'évaluer la capacité, ainsi que les avantages concernant les ressources numériques, de ce formalisme pour apporter une solution de référence aux problèmes de propagation sonore tri-dimensionnels en environnement urbain, dans l'objectif d'améliorer les algorithmes plus rapides déjà existants. Nous présentons la théorie nécessaire à l'obtention de l'équation intégrale de frontière pour la résolution de problèmes non bornés. Nous discutons également de l'équation intégrale de frontière conventionnelle et hyper-singulière pour traiter les artefacts numériques liés aux fréquences fictives, lorsque l'on résout des problèmes extérieurs. Nous présentons par la suite un bref aperçu historique et technique du formalisme multipolaire rapide et des outils mathématiques requis pour représenter la solution élémentaire de l'équation de Helmholtz. Nous décrivons les principales étapes, d'un point de vue numérique, du calcul multipolaire. Un problème de propagation sonore dans un quartier, composé de 5 bâtiments, nous a permis de mettre en évidence des problèmes d'instabilités dans le calcul par récursion des matrices de translations, se traduisant par des discontinuités sur le champs de pression de surface et une non convergence du solveur. Ceci nous a conduits à considérer le travail très récent de Gumerov et Duraiswamy en lien avec un processus récursif stable pour le calcul des coefficients des matrices de rotation. Cette version améliorée a ensuite été testée avec succès sur un cas de multi diffraction jusqu'à une taille dimensionnelle de problème de 207 longueur d'ondes. Nous effectuons finalement une comparaison entre un algorithme d'élément de frontière, Micado3D, un algorithme multipolaire et un algorithme basé sur le tir de rayons, Icare, pour le calcul de niveaux de pression moyennés dans une cour ouverte et fermée. L'algorithme multipolaire permet de valider les résultats obtenus par tir de rayons dans la cour ouverte jusqu'à 300 Hz (i.e. 100 longueur d'ondes), tandis que concernant la cour fermée, zone très sensible par l'absence de contribution directes ou réfléchies, des études complémentaires sur le préconditionnement de la matrice semblent requises afin de s'assurer de la pertinence des résultats obtenus à l'aide de solveurs itératifs / Described as one of the best ten algorithms of the 20th century, the fast multipole formalism applied to the boundary element method allows to handle large problems which were inconceivable only a few years ago. Thus, the motivation of the present work is to assess the ability, as well as the benefits in term of computational resources provided by the application of this formalism to the boundary element method, for solving sound propagation problems and providing reference solutions, in three dimensional dense urban environments, in the aim of assessing or improving fast engineering tools. We first introduce the mathematical background required for the derivation of the boundary integral equation, for solving sound propagation problems in unbounded domains. We discuss the conventional and hyper-singular boundary integral equation to overcome the numerical artifact of fictitious eigen-frequencies, when solving exterior problems. We then make a brief historical and technical overview of the fast multipole principle and introduce the mathematical tools required to expand the elementary solution of the Helmholtz equation and describe the main steps, from a numerical viewpoint, of fast multipole calculations. A sound propagation problem in a city block made of 5 buildings allows us to highlight instabilities in the recursive computation of translation matrices, resulting in discontinuities of the surface pressure and a no convergence of the iterative solver. This observation leads us to consider the very recent work of Gumerov & Duraiswamy, related to a ``stable'' recursive computation of rotation matrices coefficients in the RCR decomposition. This new improved algorithm has been subsequently assessed successfully on a multi scattering problem up to a dimensionless domain size equal to 207 wavelengths. We finally performed comparisons between a BEM algorithm, extit{Micado3D}, the FMBEM algorithm and a ray tracing algorithm, Icare, for the calculation of averaged pressure levels in an opened and closed court yards. The fast multipole algorithm allowed to validate the results computed with Icare in the opened court yard up to 300 Hz corresponding, (i.e. 100 wavelengths), while in the closed court yard, a very sensitive area without direct or reflective fields, further investigations related to the preconditioning seem required to ensure reliable solutions provided by iterative solver based algorithms

Cette thèse est consacrée à l'étude des fréquences de résonance de cavités optiques bidimensionnelles. Plus particulièrement, on s'intéresse aux résonances à modes de galerie (modes localisés au bord de la cavité avec un grand nombre d'oscillations). La première partie traite du calcul numérique des résonances par la méthode des éléments finis à l'aide de couches parfaitement adaptées, et d'une analyse de sensibilité des paramètres de celles-ci dans les trois situations suivantes : un problème unidimensionnel, une réduction du cas bidimensionnel invariant par rotation et le cas général. La deuxième partie porte sur la construction de développements asymptotiques des résonances à modes de galerie quand le nombre d'oscillations le long du bord tend vers l'infini. On considère d'abord le cas d'un problème invariant par rotation pour lequel le nombre d'oscillations s'interprète comme un paramètre semiclassique grâce à la transformée de Fourier angulaire. Ensuite, pour le cas général, la construction utilise un ansatz phase-amplitude de type BKW qui permet de se ramener à un opérateur de Schrödinger généralisé. Enfin, les résonances calculées numériquement dans la première partie sont comparées aux développements asymptotiques explicités par calcul formel. / This thesis is devoted to the study of resonance frequencies of bidimensional optical cavities. More specifically, we are interested in whispering-gallery modes (modes localized along the cavity boundary with a large number of oscillations). The first part deals with the numerical computation of resonances by the finite element method using perfectly matched layers, and with a sensibility analysis in the three following situations: an unidimensional problem, a reduction of the rotationally invariant bidimensional case, and the general case. The second part focuses on the construction of asymptotic expansions of whispering-gallery modes as the number of oscillations along of boundary goes to infinity. We start by considering the case of a rotationally invariant problem for which the number of oscillations can be interpreted as a semiclassical parameter by means of an angular Fourier transform. Next, for the general case, the construction uses a phase-amplitude ansatz of WKB type which leads to a generalized Schrödinger operator. Finally, the numerically computed resonances obtained in the first part are compared to the asymptotic expansions made explicit by the use of a computer algebra software.

Dans un contexte d'adaptabilité ciblée, l'erreur commise sur une quantité d'intérêt peut être représentée grâce aux erreurs globales des problèmes direct et adjoint. Cette représentation de l'erreur est majorée par la somme des indicateurs d'erreurs élémentaires. Ces derniers sont alors utilisés pour produire des raffinements de maillage optimaux. Dans ces travaux, nous proposons de représenter l’erreur du problème adjoint via un opérateur alternatif. L’avantage principal de notre approche est que lorsque l'on choisit correctement l'opérateur alternatif, la majoration correspondante de l'erreur à la quantité d'intérêt devient plus précise, pour autant l'adaptabilité issue de l'utilisation de ces nouveaux indicateurs s'en trouve améliorée. Ces représentations peuvent être employées pour concevoir des algorithmes adaptatifs en espace (h), en ordre d’approximation (p) ou les deux (hp), basés sur la norme d’énergie ou bien ciblés sur une quantité d'intérêt. Bien que la méthode puisse être appliquée à une large gamme de problèmes, nous nous concentrons tout d’abord sur des problèmes unidimensionnels (1D), comme le problème d’Helmholtz et le problème de convection-diffusion stationnaire à convection dominante. Les résultats numériques en 1D montrent que, pour les problèmes de propagation d'ondes, les avantages de notre méthode sont notoires lorsque l'on considère l'opérateur de Laplace pour la représentation de l'erreur. Plus précisément, les majorations issues de la nouvelle représentation sont plus précises que celles provenant de la méthode classique et ce si l'on considère l'énergie globale ou bien une quantité d'intérêt particulière. Le phénomène est d’autant plus notable lorsque l'erreur de dispersion (pollution) est significative. Le problème 1D de convection-diffusion stationnaire à convection dominante avec des conditions limites de Dirichlet homogènes présente une couche limite qui produit une perte de stabilité numérique. La nouvelle représentation d'erreur délivre des majorations plus précises. Lorsqu’appliquée à une p-adaptabilité ciblée, la représentation d'erreur alternative permet une capture plus efficace la couche limite, malgré les oscillations numériques parasites existantes. Devant ces résultats encourageants, nous nous penchons sur l'équation d'Helmholtz à deux et trois dimensions (2D et 3D). Nous montrons, au travers de multiples simulations numériques, que les majorations fournies par les représentations d'erreur alternatives sont plus précises que celle de la représentation classique. Lorsque l'on utilise les indicateurs d'erreur alternatifs, un processus naïf de p-adaptabilité ciblée converge, tandis que dans les mêmes conditions, la méthode classique échoue et requiert l'utilisation d'un opérateur de projection ou d'autre techniques pour récupérer la convergence. Dans ce travail, nous fournissons également des directives pour déterminer les opérateurs qui fournissent des représentations d’erreur induisant de majorations précises. Des résultats similaires sont aussi établis tant pour un problème 2D de convection-diffusion stationnaire à convection dominante que pour des problèmes 2D ayant des coefficients de matériaux discontinus. Nous considérons un problème de diagraphie ultra-sonique en cours de forage pour illustrer l'applicabilité de la méthode proposée. / In Goal-Oriented Adaptivity (GOA), the error in a Quantity of Interest (QoI) is represented using global error functions of the direct and adjoint problems. This error representation is subsequently bounded above by element-wise error indicators that are used to drive optimal refinements. In this work, we propose to replace, in the error representation, the adjoint problem by an alternative operator. The main advantage of the proposed approach is that, when judiciously selecting such alternative operator, the corresponding upper bound of the error representation becomes sharper, leading to a more efficient GOA. These representations can be employed to design novel h, p, and hp energy-norm and goal-oriented adaptive algorithms. While the method can be applied to a variety of problems, in this Dissertation we first focus on one-dimensional (1D) problems, including Helmholtz and steady state convection-dominated diffusion problems. Numerical results in 1D show that for the Helmholtz problem, it is advantageous to select the Laplace operator for the alternative error representation. Specifically, the upper bounds of the new error representation are sharper than the classical ones used in both energy-norm and goal-oriented adaptive methods, especially when the dispersion (pollution) error is significant. The 1D steady state convection-dominated diffusion problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions exhibits a boundary layer that produces a loss of numerical stability. The new error representation based on the Laplace operator delivers sharper error upper bounds. When applied to a p-GOA, the alternative error representation captures earlier the boundary layer, despite the existing spurious numerical oscillations. We then focus on the two- and three-dimensional (2D and 3D) Helmholtz equation. We show via extensive numerical experimentation that the upper bounds provided by the alternative error representations are sharper than the classical ones. When using the alternative error indicators, a naive p-adaptive process converges, whereas under the same conditions, the classical method fails and requires the use of the so-called Projection Based Interpolation (PBI) operator or some other technique to regain convergence. We also provide guidelines for finding operators delivering sharp error representation upper bounds. / En un contexto de adaptatividad orientada a un objetivo, el error en una cantidad de interés está representado a través de los errores globales de los problemas directo y adjunto. Esta representación del error se acota superiormente por una suma de indicadores de error de cada elemento. Estos se utilizan para producir refinamientos óptimos. En este trabajo, proponemos representar el error del problema adjunto utilizando un operador alternativo. La principal ventaja de nuestro enfoque es que cuando se elige correctamente dicho operador alternativo, la correspondiente cota superior se vuelve más cercana al error en la cantidad de interés, lo que permite una adaptatividad más eficiente. Estas representaciones pueden ser utilizadas para diseñar algoritmos adaptativos en h, p o hp, basados en la norma de la energía o para aproximar una cantidad de interés específica. Aunque el método propuesto se puede aplicar a una amplia gama de problemas, en esta tesis doctoral nos centramos primero en problemas unidimensionales (1D), tales como el problema de Helmholtz y el problema estacionario de convección-difusión con convección dominante. Los resultados numéricos en 1D muestran que, para los problemas de propagación de ondas, las ventajas de este método son notorias cuando se considera el operador de Laplace para la representación del error. Específicamente, las cotas superiores derivadas de la nueva representación son más cercanas a la cantidad de interés que las del método convencional. Esto es cierto tanto para la norma de la energía global como para una cantidad de interés particular, especialmente cuando el error de dispersión es significativo. El problema estacionario 1D de convección-difusión con convección dominante y con condiciones de Dirichlet homogéneas tiene una capa límite que produce una pérdida de estabilidad numérica. La nueva representación del error proporciona cotas superiores más cercanas a la cantidad de interés. Cuando se aplica a un algoritmo adaptativo en p orientado a un objetivo, la representación alternativa del error captura antes la capa límite, a pesar de las existentes oscilaciones numéricas no físicas. En esta tesis doctoral, también nos centramos en la ecuación de Helmholtz en dos y tres dimensiones (2D y 3D). Mostramos a través de múltiples experimentos numéricos que las cotas superiores proporcionadas por las representaciones alternativas del error son más cercanas a la cantidad de interés que cuando uno considera la representación clásica. Al utilizar los indicadores alternativos del error, un algoritmo adaptativo en p sencillo converge, mientras que en las mismas condiciones, el método convencional falla y requiere el uso de operadores de proyección o de otras técnicas para recuperar la convergencia. En este trabajo, también determinamos operadores que proporcionan representaciones del error que inducen cotas superiores más ajustadas. Establecemos resultados similares tanto para el problema estacionario de convección-difusión con convección dominante en 2D como para problemas 2D con materiales discontinuos. Finalmente, se considera un problema sónico en pozos petrolíferos para ilustrar la aplicabilidad del método propuesto.