L’évaluation des formations géologiques consiste en l’analyse et la synthèse de données de différentes sources, de différentes échelles (microscopique à kilométrique) et acquises à des dates très variables. Le processus conventionnel de caractérisation des formations relève alors de l’interprétation physique spécialisée de chacune de ces sources de données et leur mise en cohérence par des processus de synthèse essentiellement d’ordre statistique (corrélation, apprentissage, up-scaling…). Il s’avère cependant qu’une source de données présente un caractère central : les diagraphies. Ces mesures physiques de différentes natures (nucléaires, acoustiques, électromagnétiques…) sont réalisées le long de la paroi d’un puits à l’aide de différentes sondes. Elles sont sensibles aux propriétés in situ des roches, et ce, sur une gamme d’échelle centimétrique à métrique intermédiaire aux carottes et données de test de production. De par leur profondeur d’investigation, les données diagraphiques sont particulièrement sensibles au phénomène d’invasion de boue se produisant lors du forage dans l’abord puits. Traditionnellement, l’invasion est modélisée de façon frustre au moment de l’interprétation diagraphiques par un simple effet piston. Ce modèle simple permet d’honorer le bilan de volume mais ne prend aucunement en compte la physique réelle d’invasion et prive, de fait, les diagraphies de toute portée dynamique. Des essais de modélisation de l’historique d’invasion couplés aux données diagraphiques ont déjà été élaborés par différents laboratoires et une abondante littérature sur le sujet est disponible. Les limitations majeures de ces approches résident dans le caractère sous déterminé des problèmes inverses issus de ces modèles physiques et dans le fait que la donnée diagraphique est réalisée en général sur un intervalle de temps inadaptée au regard du développement de l’invasion. Nous proposons une approche différente qui s’attèle non pas à décrire la physique de l’écoulement mais celle de l’équilibre radial des fluides dans le domaine envahi lorsque les diagraphies sont acquises. Nous montrons qu’en introduisant quelques contraintes pétrophysiques supplémentaires, il est possible d’inverser efficacement la distribution des propriétés dynamiques pour chaque faciès géologique. L’inversion prend en compte le phénomène d’invasion radial dans la zone à eau ainsi que l’équilibre capillaire vertical caractérisant le profil de saturation dans le réservoir pour chaque facies. A chaque profondeur du puits, sont ainsi obtenues perméabilités, pressions capillaires et facteurs de cimentation avec leurs incertitudes ainsi que les lois pétrophysiques propres à chaque faciès. Cette méthode a été appliquée à deux puits réels. En guise de validation, les résultats d’inversion ont été comparés aux mesures laboratoire faites sur carotte. De plus, les perméabilités inversées ont été comparées aux transitoires de pression de mini-tests. La cohérence des résultats montre que, d’une part, les hypothèses de base du modèle sont validées et que, d’autre part, l’approche fournit une estimation fiable de grandeurs dynamiques à toute échelle pour chaque faciès réservoir, et ce, dès l’acquisition des données diagraphiques. L’approche d’inversion proposée a permis de lever une limitation majeure des précédentes tentatives de prédiction des propriétés dynamiques par les diagraphies en reconsidérant la problématique non pas sous l’angle d’une modélisation phénoménologique exacte mais en l’abordant de manière globale à l’échelle d’une chaîne d’étude complète. Cette approche permet de fait une mise en cohérence très précoce des données, d’identifier les faciès d’intérêt et de qualifier les besoins véritables en données. Cet outil s’avère très puissant pour qualifier et caractériser les hétérogénéités pétrophysiques des formations et aider ainsi à résoudre le problème de mise à l’échelle des grandeurs dynamiques

Cette thèse porte sur la restauration d'images dégradées à la fois par un flou et par un bruit. Une attention particulière est portée aux images issues de la microscopie confocale et notamment celles de macroscopie. Dans ce contexte, un modèle de bruit Poisson-Gauss apparaît bien adapté car il permet de prendre en compte le faible nombre de photons et le fort bruit enregistrés simultanément par les détecteurs. Cependant, ce type de modèle de bruit a été peu exploité car il pose de nombreuses difficultés tant théoriques que pratiques. Dans ce travail, une approche variationnelle est adoptée pour résoudre le problème de restauration dans le cas où le terme de fidélité exact est considéré. La solution du problème peut aussi être interprétée au sens du Maximum A Posteriori (MAP). L'utilisation d'algorithmes primaux-duaux récemment proposés en optimisation convexe permet d'obtenir de bons résultats comparativement à plusieurs approches existantes qui considèrent des approximations variées du terme de fidélité. En ce qui concerne le terme de régularisation de l'approche MAP, des approximations discrète et continue de la pseudo-norme $ell_0$ sont considérées. Cette mesure, célèbre pour favoriser la parcimonie, est difficile à optimiser car elle est, à la fois, non convexe et non lisse. Dans un premier temps, une méthode basée sur les coupures de graphes est proposée afin de prendre en compte des à priori de type quadratique tronqué. Dans un second temps, un algorithme à mémoire de gradient de type Majoration-Minimisation, dont la convergence est garantie, est considéré afin de prendre en compte des a priori de type norme $ell_2-ell_0$. Cet algorithme permet notamment d'obtenir de bons résultats dans des problèmes de déconvolution. Néanmoins, un inconvénient des approches variationnelles est qu'elles nécessitent la détermination d'hyperparamètres. C'est pourquoi, deux méthodes, reposant sur une approche Espérance-Maximisation (EM) sont proposées, dans ce travail, afin d'estimer les paramètres d'un bruit Poisson-Gauss: (1) à partir d'une série temporelle d'images (dans ce cas, des paramètres de « bleaching » peuvent aussi être estimés) et (2) à partir d'une seule image. De manière générale, cette thèse propose et teste de nombreuses méthodologies adaptées à la prise en compte de bruits et de flous difficiles, ce qui devrait se révéler utile pour des applications variées, au-delà même de la microscopie / This thesis deals with the restoration of images corrupted by blur and noise, with emphasis on confocal microscopy and macroscopy applications. Due to low photon count and high detector noise, the Poisson-Gaussian model is well suited to this context. However, up to now it had not been widely utilized because of theoretical and practical difficulties. In view of this, we formulate the image restoration problem in the presence of Poisson-Gaussian noise in a variational framework, where we express and study the exact data fidelity term. The solution to the problem can also be interpreted as a Maximum A Posteriori (MAP) estimate. Using recent primal-dual convex optimization algorithms, we obtain results that outperform methods relying on a variety of approximations. Turning our attention to the regularization term in the MAP framework, we study both discrete and continuous approximation of the $ell_0$ pseudo-norm. This useful measure, well-known for promoting sparsity, is difficult to optimize due to its non-convexity and its non-smoothness. We propose an efficient graph-cut procedure for optimizing energies with truncated quadratic priors. Moreover, we develop a majorize-minimize memory gradient algorithm to optimize various smooth versions of the $ell_2-ell_0$ norm, with guaranteed convergence properties. In particular, good results are achieved on deconvolution problems. One difficulty with variational formulations is the necessity to tune automatically the model hyperparameters. In this context, we propose to estimate the Poisson-Gaussian noise parameters based on two realistic scenarios: one from time series images, taking into account bleaching effects, and another from a single image. These estimations are grounded on the use of an Expectation-Maximization (EM) approach.Overall, this thesis proposes and evaluates various methodologies for tackling difficult image noise and blur cases, which should be useful in various applicative contexts within and beyond microscopy

L’évaluation des formations géologiques consiste en l’analyse et la synthèse de données de différentes sources, de différentes échelles (microscopique à kilométrique) et acquises à des dates très variables. Le processus conventionnel de caractérisation des formations relève alors de l’interprétation physique spécialisée de chacune de ces sources de données et leur mise en cohérence par des processus de synthèse essentiellement d’ordre statistique (corrélation, apprentissage, up-scaling…). Il s’avère cependant qu’une source de données présente un caractère central : les diagraphies. Ces mesures physiques de différentes natures (nucléaires, acoustiques, électromagnétiques…) sont réalisées le long de la paroi d’un puits à l’aide de différentes sondes. Elles sont sensibles aux propriétés in situ des roches, et ce, sur une gamme d’échelle centimétrique à métrique intermédiaire aux carottes et données de test de production. De par leur profondeur d’investigation, les données diagraphiques sont particulièrement sensibles au phénomène d’invasion de boue se produisant lors du forage dans l’abord puits. Traditionnellement, l’invasion est modélisée de façon frustre au moment de l’interprétation diagraphiques par un simple effet piston. Ce modèle simple permet d’honorer le bilan de volume mais ne prend aucunement en compte la physique réelle d’invasion et prive, de fait, les diagraphies de toute portée dynamique. Des essais de modélisation de l’historique d’invasion couplés aux données diagraphiques ont déjà été élaborés par différents laboratoires et une abondante littérature sur le sujet est disponible. Les limitations majeures de ces approches résident dans le caractère sous déterminé des problèmes inverses issus de ces modèles physiques et dans le fait que la donnée diagraphique est réalisée en général sur un intervalle de temps inadaptée au regard du développement de l’invasion. Nous proposons une approche différente qui s’attèle non pas à décrire la physique de l’écoulement mais celle de l’équilibre radial des fluides dans le domaine envahi lorsque les diagraphies sont acquises. Nous montrons qu’en introduisant quelques contraintes pétrophysiques supplémentaires, il est possible d’inverser efficacement la distribution des propriétés dynamiques pour chaque faciès géologique. L’inversion prend en compte le phénomène d’invasion radial dans la zone à eau ainsi que l’équilibre capillaire vertical caractérisant le profil de saturation dans le réservoir pour chaque facies. A chaque profondeur du puits, sont ainsi obtenues perméabilités, pressions capillaires et facteurs de cimentation avec leurs incertitudes ainsi que les lois pétrophysiques propres à chaque faciès. Cette méthode a été appliquée à deux puits réels. En guise de validation, les résultats d’inversion ont été comparés aux mesures laboratoire faites sur carotte. De plus, les perméabilités inversées ont été comparées aux transitoires de pression de mini-tests. La cohérence des résultats montre que, d’une part, les hypothèses de base du modèle sont validées et que, d’autre part, l’approche fournit une estimation fiable de grandeurs dynamiques à toute échelle pour chaque faciès réservoir, et ce, dès l’acquisition des données diagraphiques. L’approche d’inversion proposée a permis de lever une limitation majeure des précédentes tentatives de prédiction des propriétés dynamiques par les diagraphies en reconsidérant la problématique non pas sous l’angle d’une modélisation phénoménologique exacte mais en l’abordant de manière globale à l’échelle d’une chaîne d’étude complète. Cette approche permet de fait une mise en cohérence très précoce des données, d’identifier les faciès d’intérêt et de qualifier les besoins véritables en données. Cet outil s’avère très puissant pour qualifier et caractériser les hétérogénéités pétrophysiques des formations et aider ainsi à résoudre le problème de mise à l’échelle des grandeurs dynamiques / The current geological formation evaluation process is built on a workflow using data from differentsources, different scales (microscopic to kilometric) and acquired at different times. Theconventional process of formation evaluation belongs to the dedicated study of each of thesesource of data and their reconciliation through a synthesis step, often based on statisticalconsideration (correlation, learning, up-scaling …). It turns out that there exists a source of datawhich is of considerable importance: logs. These physical measurements of different nature(nuclear, acoustic, electro-magnetic…) are acquired all across the well thanks to multiple probes.They are sensitive to the in situ properties of the rock on an intermediate scale between core dataand well tests (from centimeters to several meters). Because of their depth of investigation, logsare particularly sensitive to the mud filtrate invasion, a phenomenon which occurs during thedrilling in the near well-bore environment. The invasion is conventionally modeled in a rough waywith a piston effect hypothesis. This simple model allows to ensure the volume balance but doesnot take into account the physical processes of the invasion and thus prevent any estimation ofdynamic properties from log interpretation. Several attempts of simulating the complete history ofinvasion have been made by different laboratories in the past, and a rich literature is available onthis topic. The major pitfalls of these approaches come from the under-determination of theinverse problems derived from such models. Furthermore, logs are generally made in a time lapsewhich does not allow to fully characterize the process of invasion. We propose a differentapproach which does not fully describe the physics of the invasion but considers that a radialequilibrium has been reached between the fluids in the invaded zone when logs are acquired. Weshow that it is possible to efficiently invert the distribution of dynamical properties for eachgeological facies by adding some petrophysical constraints. The inversion takes into account thephenomenon of radial invasion in the water zone and the vertical capillary equilibrium describingthe water saturation profile in the reservoir for each facies. At each depth, permeabilities, capillarypressures and cementation factors are thus obtained, along with their uncertainties and thepetrophysical laws specific to each facies. This method has been applied to two wells. Weobtained good results when comparing inverted parameters to the measurements made on coresamples in laboratory. Furthermore, inverted permeabilities have also been compared topermeabilities derived from mini-tests. The consistency of the results shows that, on the one hand,the hypothesis behind our model are valid and, on the other hand, this approach can provide areliable estimation of dynamical parameters at different scales for each reservoir facies as soon asthe logs are acquired. The proposed approach allows to overcome a major limitation of theprevious attempts of the dynamical properties estimation from log interpretation. It allows areconciliation of different data and a facies recognition at an early stage of interpretation, and canindicate the real contribution of each source of data. The technique can even help in identifying theformation heterogeneities and for the petrophysical upscaling.

Cette thèse s'intéresse aux problèmes inverses dans un cadre statistique. A partir des observations $Y=Af+\epsilon \xi$, le but est d'approximer aussi fidèlement que possible la fonction f où $A$ représente un opérateur compact, $\epsilon>0$ le niveau de bruit et $\xi$ un bruit blanc gaussien. Etant données une procédure $f^{\star}$ et une collection d'estimateurs $\Lambda$, une inégalité<br />oracle permet de comparer, sans aucune hypothèse sur la fonction cible $f$ et d'un point de vue non-asymptotique, les performances de $f^{\star}$ à celles du meilleur estimateur dans $\Lambda$<br />connaissant $f$. Dans l'optique d'obtenir de telles inégalités, cette thèse s'articule autour de deux objectifs: une meilleure compréhension des problèmes inverses lorsque l'opérateur est<br />mal-connu et l'extension de l'algorithme de minimisation de l'enveloppe du risque (RHM) à un domaine d'application plus large.<br /> La connaissance complète de l'opérateur A est en effet une hypothèse implicite dans la plupart des méthodes existantes. Il est cependant raisonnable de penser que ce dernier puisse être en partie, voire totalement inconnu. Dans un premier temps, nous généralisons donc la méthode de Stein par blocs pénalisée ainsi que l'algorithme RHM à cette situation. Ce dernier, initié par L. Cavalier et Y. Golubev, améliore considérablement les performances de la traditionnelle méthode d'estimation du risque sans biais. Cependant, cette nouvelle procédure ne concerne que les estimateurs par projection. En pratique, ces derniers sont souvent moins performants que les estimateurs de Tikhonov ou les procédures itératives, dans un certain sens beaucoup plus fines. Dans la dernière partie, nous étendons donc l'utilisation de l'enveloppe du risque à une gamme beaucoup plus large d'estimateurs.

Les travaux présentés dans ce mémoire ont tous été effectués au sein du Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)"aujourd'hui Unité Mixte du CNRS, de Supélec et de l'Université Paris-Sud" et plus particulièrement au sein de son Département de Recherche en Électromagnétisme (DRÉ) qui regroupe la Division Ondes du L2S et le Service Électromagnétisme de Supélec.<br>Ce manuscrit est divisé en trois parties :<br>- La première décrit de manière succincte mon parcours dans la recherche en présentant un bref CV, les encadrements de thèses, de stages de DEA, les enseignements et les collaborations auxquelles je participe ou ai participé ainsi que les participations à l'organisation de manifestations scientifiques.<br>- La deuxième présente les travaux effectués au L2S depuis mon entrée au CNRS; les fils directeurs du manuscrit sont la résolution du problème inverse de diffraction des ondes et du problème direct qui lui est associé. Cette partie est divisée en deux chapitres traitant respectivement du problème bidimensionnel et du problème tridimensionnel. Dans chacun des chapitres plusieurs méthodes de résolution du problème direct et du problème inverse sont présentées, chacune décrite par un texte rappelant le contexte de la recherche et ses grandes lignes et chacune illustrée par un résultat extrait d'un article publié ou soumis.<br>- La troisième partie présente une sélection d'articles (publiés ou soumis) illustrant dans le détail ces méthodes, ces articles étant, comme de nécessaire, introduits dans la deuxième partie.

L'imagerie d'élasticité, ou élastographie consiste à imager les propriétés visco-élastiques des tissus mous du corps humain en observant la réponse en déformation à une excitation mécanique. Cette problématique a donné lieu dans les dix dernières années à de nombreux travaux, motivés par la corrélation entre présence d'une pathologie et observation d'un contraste d'élasticité. Différentes techniques peuvent être mises en œuvre selon le type d'excitation choisie, et la manière d'estimer les déformations résultantes. Parmi les techniques se trouve une très intéressante qui consiste à induire dans le tissu mou une onde de déplacement et à observer la propagation de l'onde pendant sa traversée du milieu d'intéret. La résolution d'un problème inverse permet de déduire des données de déplacement une estimation de la carte d'élasticité du milieu. L'objectif du travail présenté dans ce document est de donner un cadre mathématique rigoureux à ce technique, en même temps dessiner des méthodes effectives pour la détection des anomalies à l'aide des mesures en régime temporel. On a considère le cadre acoustique et le cadre élastique. On a développé des techniques de reconstruction efficaces pour des mesures complètes sur la frontière mais aussi pour des mesures temporelles incomplètes, on a adapté ces techniques au cadre viscoélastique, ca veut dire que les ondes sont atténué ou dispersé ou le deux. On commence pour considérer une milieu sans dissipation. On a développé des méthodes de reconstruction des anomalies qui sont basé sur des développements asymptotiques de champ proche et de champ lointain, qui sont rigoureusement établis, du perturbation des mesures cause par l'anomalie. Il faut remarquer que pour approximer l'effet de l'anomalie par un dipôle il faut couper les composant de haut fréquence des mesures de champ lointain. Le développement asymptotique de champ lointain nous permet de développer une technique de type régression temporel pour localiser l'anomalie. On propose en utilisant le développement asymptotique de champ proche une problème de optimisation pour récupérer les propriétés géométriques et les paramètres physiques de l'anomalie. On justifie d'une manière théorique et numérique que la séparation des échelles permet de séparer les différentes informations codées aux différentes échelles. On montre les différences entre le cadre acoustique et l'élastique, principalement la tache focal anisotrope et l'effet de champ proche qu'on obtient en faisant le retournement temporal de la perturbation cause par l'anomalie. Ces observations ont été observé expérimentalement. En ce qui concerne le cadre des mesures partiels, on d´eveloppe des algorithmes de type Kirchhoff, back-propagation, MUSIC et arrival-time pour localiser l'anomalie. On utilise le méthode du control géométrique pour aborder la problématique des mesures partiels, comme résultat on obtient une méthode qui est robuste en ce qui concerne aux perturbations dans la partie de la frontière qui n'est pas accessible. Si on construit de manier précise le control géométrique, on obtient la même résolution d'imagerie que dans le cadre des mesures complet. On utilise les développements asymptotiques pour expliquer comment reconstruire une petite anomalie dans un milieu visco-élastique à partir des mesures du champ de déplacement. Dans le milieu visco-élastique la fréquence obéit une loi de puissance, pour simplicité on considère le modèle Voigt qui correspond à une fréquence en puissance deux. On utilise le théorème de la phase stationnaire pour exprimer le champ dans un milieu sans effet de viscosité, que on nommera champ idéal , en termes du champ dans un milieu visco-élastique. Après on généralise les techniques d'imagerie développes pour le modelé purement élastique quasi incompressible pour reconstruire les propriétés visco-élastiques et géométriques d'une anomalie a partir des mesures du champ de déplacement.

Le but de cette thèse est d'étudier, du point de vue théorique, la contrôlabilité exacte de certaines équations aux dérivées partielles qui modélisent les vibrations élastiques, et d'appliquer les résultats ainsi obtenus à la résolution des problèmes inverses provenant de l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Cette thèse comporte deux parties. La première partie discute la problématique de la contrôlabilité exacte, respectivement de l'observabilité exacte, de l'équation des plaques perturbées avec des termes linéaires ou non linéaires. Ainsi, dans le Chapitre 2 de cette thèse nous avons démontré l'observabilité interne exacte de l'équation des plaques perturbées par des termes linéaires d'ordre un et dans le Chapitre 3 la contrôlabilité exacte locale d'une équation des plaques non linéaire attribuée à Berger. Le Chapitre 4 introduit une méthode numérique pour l'approximation des contrôles exactes dans des systèmes d'ordre deux en temps. La deuxième partie de la thèse est dédiée à l'imagerie par résonance magnétique. Plus précisément, on s'intéresse aux méthodes de reconstruction des images pour des objets en mouvement. Dans le Chapitre 6, nous avons formulé la reconstruction d'images cardiaques acquises en respiration libre comme un problème des moments dans un espace de Hilbert à noyau reproductif. L'existence d'une solution pour un tel problème des moments est prouvée par des outils bien connus dans la théorie du contrôle. La connexion entre les deux parties de la thèse est réalisée par le Chapitre 7 où l'on présente le problème inverse d'identification d'un terme source dans l'équation des ondes à partir d'une observation correspondante à un enregistrement IRM. / The aim of this thesis is to study the exact controllability and exact observability of some partial differential equations, modeling elastic vibrations of structures and to apply the results obtained in this way to solve some inverse problems provided by magnetic resonance imaging (MRI). This thesis has two parts. In the first part we study the exact controllability and exact observability of Euler-Bernoulli equation perturbed with linear or non-linear terms. Therefore, in Chapter 2 of this work we prove the internal exact observability of the Euler-Bernoulli equation perturbed by a linear term and in Chapter 3 we prove the local exact controllability of a non-linear plate equation due to Berger. Chapter 4 provide a numerical method to approximate the exact controls of vibrating systems. The second part of the thesis is centered to magnetic resonance imaging. More precisely, we are interested on the image reconstruction methods in magnetic resonance imaging of moving objects. Chapter 6 describe a method to reconstruct cardiac images from MR data acquired in free-breathing, reducing the image reconstruction to a problem of moments in a Hilbert space. The solution of this problem of moments is obtained using the same tools as in control theory. A more direct connexion between the two parts of the thesis is provided by Chapter 7 where we describe the inverse problem of the identification of a source term in the wave equation from a measure corresponding to a magnetic resonance signal.

Les problèmes inverses de localisation de sources en électroencéphalographie (EEG) consistent à retrouver le lieu d'origine dans le cerveau des signaux mesurés sur le scalp. La qualité du résultat de localisation dépend des modèles géométriques et de conductivité électrique utilisés pour la résolution du problème. Parmi les tissus composant la tête, le crâne est celui dont la conductivité est la plus influente, en particulier à cause de sa faible valeur. De plus, le crâne humain est un tissu osseux comportant des parties dures et spongieuses, d'épaisseurs variables. Sa composition est très variable selon les individus, en termes de géométrie et de valeurs des conductivités, d'où la nécessité de développer des technique d'estimation de conductivités inconnues dans le crâne. Le but de cette thèse est de réduire l'incertitude sur la conductivité du crâne, pour des géométries sphériques et réalistes, en particulier en vue d’améliorer les résultats d'estimation des sources dans le problème inverse EEG. Dans le cas d'un domaine sphérique à 3 couches, l'existence, l'unicité et la stabilité de la conductivité dans la couche intermédiaire (crâne) sont discutées, et une procédure de reconstruction est proposée. Puis deux modèles plus réalistes de tête sont étudiés, l'un pour lequel le crâne est modelisé par un seul compartiment, l'autre dans lequel les parties spongieuses et dure sont distinguées. Des simulations numériques mettent en évidence le rôle de la structure interne du crâne pour la détermination de sa conductivité. / One of the major issues related to electroencephalography (EEG) is to localize where in the brain signals are generated, this is so called inverse problem of source localization. The quality of the source localization depends on the accuracy of the geometry and the electrical conductivity model used to solve the problem. Among the head tissues, the skull conductivity is the one that influences most the accuracy of the source localization, due to its low value. Moreover, the human skull is a bony tissue consisting of compact and spongy bone layers, whose thickness vary across the skull. As the skull tissue composition has strong inter-individual variability both in terms of geometry and of individual conductivity, conductivity estimation techniques are required in order to determine the unknown skull conductivity. The aim of this thesis is to reduce the uncertainty on the skull conductivity both in spherical and realistic head geometries in order to increase the quality of the inverse source localization problem. Therefore, conductivity estimation is first performed on a 3-layered spherical head model. Existence, uniqueness and stability of the conductivity in the intermediate skull layer are discussed, together with a constructive recovery scheme. Then a simulation study is performed comparing two realistic head models, a bulk model where the skull is modelled as a single compartment and a detailed one accounting for the compact and spongy bone layers, in order to determine the importance of the internal skull structure for conductivity estimation in EEG.

Ce document est organisé en quatre chapitres dont trois rédigés en anglais et une annexe en français. Le premier chapitre décrit mes contributions dans le domaine de la séparation de sources audio, qui constituent certainement le volet le plus appliqué de mon activité scientifique, volet auquel ont contribué significativement plusieurs doctorants et collaborateurs. Les deux chapitres suivants sont consacrés aux aspects plus mathématiques de mon travail, le premier sur les approximations non-linéaires avec des dictionnaires redondants, en collaboration étroite avec Morten Nielsen, le second sur l'analyse des performances des algorithmes de décomposition parcimonieuse, avec le concours notamment de Pierre Vandergheynst. Dans ces trois chapitres, j'ai adopté un style sans doute peu conventionnel dans la littérature scientifique : j'y ai opté pour le "je" plus que le "nous" et j'ai choisi d'agrémenter le texte de divers éléments de contexte. L'annexe, dans un style plus traditionnel, reproduit le chapitre de synthèse « Séparation de sources basée sur la parcimonie » que j'ai écrit pour l'ouvrage « Séparation de Sources » coordonné par Pierre Comon et Christian Jutten dans la collection IC2 publié par Hermès.

Cette thèse présente d'une part, la construction d'approximations parcimonieuses de champs acoustiques, d'autre part l'utilisation de ces approximations pour la résolution de problèmes inverses. L'approximation de solutions de l'équation d'Helmholtz est étendue à des modèles de vibration de plaques, ce qui, entre autres, permet également de concevoir une méthode de calcul de mode propres alternative aux méthodes de référence. Différents problèmes inverses sont ensuite étudiés, en se basant sur ces résultats d'approximation. Le premier est l'holographie acoustique en champ propre, pour laquelle nous développons une nouvelle méthode de régularisation, ainsi qu'une antenne aléatoire permettant de réduire le nombre de mesures nécessaires à la reconstruction de déformées opérationnelles de plaques. Le deuxième problème inverse étudié est l'interpolation spatiale de réponses impulsionnelles de plaques, où nous montrons qu'en mesurant le champ vibratoire sur un ensemble d'échantillons bien choisi (justifié par une analyse théorique), les réponses impulsionnelles d'une plaque peuvent être obtenues avec moins de mesures que demandées par le théorème d'échantillonnage de Shannon. Enfin, le problème de la localisation de sources dans un espace clos réverbérant est étudié. Nous montrons qu'en utilisant des modèles parcimonieux d'ondes, la localisation est possible sans connaissances a priori sur les conditions aux limites du domaine de propagation des ondes.