La theorie c1assique de la fonctionnelle de la densite est appliquee a l'etude de la solvatation de molecules dans des solvants polaires. Une forme approximative de la fonctionnelle est obtenue en calculant par simulation la fonction de correlation directe du solvant pur. Cette fonctionnelle est ensuite minirnisee en presence d'un solute pour obtenir son energie libre de solvatation et la denslte d'equi'ibre du solvant. La fonctionnelle est d'abord timitee a un developpernent dipolaire et exprimee en fonction de la densite de nombre et de la polarisation. Elle est appliquee a la solvatation dans Ie liquide de Stockmayer, avec de tres bons resuitats, et dans un modele dipolaire d'eau, avec des resultats raisonnables hors des especes charqees. Enfin une representation de la fonctionnelle sur une grille de position et d'orientation est introduite. Elle conduit a une description precise de la solvatation de differents solutes rnoleculaires dans I'acetonitrile. / Classical density functional theory is applied to the study of the solvation of molecules in polar solvents. For a given solvent, an approximate form of the functional is obtained by computing by numerical simulations the direct correlation function of the pure solvent. This functional can then be jninirnized in the presence of a solute to yield its solvation free energy and the equilibrium solvent density. The functional is first limited to a dipolar expansion and expressed in terms of the number and polarisation density. The approach is applied to solvation in the Stockmayer liquid, with good results, and in a dipolar water model, with reasonable results except for charged species. At last a complete representation of the functional on a position and angular grid is introduced which leads to a precise description of the solvation of different molecular solutes in acetonitrile.

Motivée par des applications en géophysique et ingénierie sismique, cette thèse cherche à contribuer à l'étude de phénomènes de propagation d'ondes en milieux élastiques non bornés. Nous développons des techniques mathématiques et numériques pour résoudre des problèmes de diffraction en régime harmonique, dans des domaines infinis extérieurs et demi-infinis localement perturbés. En plus, nous introduisons une nouvelle condition aux limites du type impédance en élasticité, laquelle généralise la condition de frontière libre utilisée d'habitude pour décrire la surface de la terre en problèmes géophysiques. Les ondes de surface qui apparaissent avec cette condition aux limites sont étudiées. Nous montrons l'existence de l'onde de Rayleigh et comment elle dépend de l'impédance. En plus, nous prouvons qu'il apparaît une onde de surface additionnelle dans un cas particulière. Pour traiter numériquement les domaines non bornés, nous considérons des approches basées sur des conditions aux limites exactes et des méthodes d'équations intégrales de frontière. Les premières s'appliquent à des domaines extérieurs, pendant que les deuxièmes s'emploient pour les deux types de domaine. Un accent particulier est mis sur les équations intégrales et les méthodes d'éléments de frontière pour résoudre des problèmes de diffraction dans des demi-plans localement perturbés. Nous calculons de manière efficace et précise la fonction de Green d'un demi-plan élastique avec des conditions aux limites d'impédance, à l'aide d'une méthode de calcul qui combine de façon appropriée des techniques analytiques et numériques. Nous proposons aussi une méthode d'équations intégrales de frontière basée sur la fonction de Green calculée. Finalement, les procédures numériques sont validées en utilisant des problèmes benchmark appropriés.

.

Les travaux présentés dans ce mémoire ont tous été effectués au sein du Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)"aujourd'hui Unité Mixte du CNRS, de Supélec et de l'Université Paris-Sud" et plus particulièrement au sein de son Département de Recherche en Électromagnétisme (DRÉ) qui regroupe la Division Ondes du L2S et le Service Électromagnétisme de Supélec.<br>Ce manuscrit est divisé en trois parties :<br>- La première décrit de manière succincte mon parcours dans la recherche en présentant un bref CV, les encadrements de thèses, de stages de DEA, les enseignements et les collaborations auxquelles je participe ou ai participé ainsi que les participations à l'organisation de manifestations scientifiques.<br>- La deuxième présente les travaux effectués au L2S depuis mon entrée au CNRS; les fils directeurs du manuscrit sont la résolution du problème inverse de diffraction des ondes et du problème direct qui lui est associé. Cette partie est divisée en deux chapitres traitant respectivement du problème bidimensionnel et du problème tridimensionnel. Dans chacun des chapitres plusieurs méthodes de résolution du problème direct et du problème inverse sont présentées, chacune décrite par un texte rappelant le contexte de la recherche et ses grandes lignes et chacune illustrée par un résultat extrait d'un article publié ou soumis.<br>- La troisième partie présente une sélection d'articles (publiés ou soumis) illustrant dans le détail ces méthodes, ces articles étant, comme de nécessaire, introduits dans la deuxième partie.

À l'heure actuelle, le confort acoustique prend une place de plus en plus importante dans les transports (habitacle de voiture, d'avion ou de train), dans les sites industriels et dans les habitations soumises à de fortes nuisances sonores. Une bonne compréhension du comportement acoustique d'une cavité nécessite la connaissance de ses modes de résonance. Leur détermination précise est difficile et dépend de plusieurs paramètres. Classiquement, le calcul de ces modes est réalisé à l'aide de la méthode des éléments finis. Cette technique nécessitant de mailler la structure et le fluide, elle peut être pénalisante pour les structures de grande taille et limite ainsi la gamme de fréquence. Nous proposons dans cette thèse une formulation intégrale adaptée au calcul des résonances issue de la méthode de l'intégrale particulière. Elle est modifiée pour éviter les opérations d'inversion de matrice et permet de résoudre un problème avec des conditions aux limites mixtes. Après validation par comparaison avec des solutions analytiques, elle est appliquée à un compartiment de type Sedan, dans le cas rigide ainsi que dans le cas de la prise en compte d'un comportement vibro-élastique sur certaines surfaces. L'ajout de points internes améliorant la convergence, l'emploi de la méthode d'Arnoldi pour les problèmes aux valeurs propres et, en particulier, de l'algorithme de Jacobi-Davidson pour la résolution des problèmes aux valeurs propres quadratiques ainsi que la mise au point d'un nouveau modèle de prise en compte de l'absorption constituent les principaux développements.

L'équation intégrale du champ électrique (EFIE) et l'équation intégrale du champ combiné (CFIE) souffrent d'un mauvais conditionnement à haute discrétisation et à bassefréquence : si la taille moyenne des arrêtes du maillage est réduite ou si la fréquence est diminuée le conditionnement du système se dégrade rapidement. Cela provoque le ralentissement ou la non convergence des solveurs itératifs. Cette dissertation présente de nouveaux paradigmes permettant l'obtention de solveurs à convergence rapide pour équations intégrales; pour prévenir la dégradation du conditionnement nous avançons l'état de l'art des techniques de préconditionnement dites de Calderon et de celles reposant sur l'utilisation des bases hiérarchiques. Pour traiter l'EFIE, nous introduisons une base hiérarchique pour maillages structurés et non-structurés dérivant des pré-ondelettes primaires et duales de Haar. De plus, nous introduisons un nouveau cadre permettant de préconditionner efficacement l'EFIE dans le cas d'objets à connexion multiples. L'applicabilité à la CFIE des préconditionneurs à bases hiérarchiques fait l'objet d'une étude aboutissant à la formalisation d'une technique de préconditionnement. Nous présentons aussi un préconditionneur multiplicatif de type Calderon (RF-CMP) qui permet l'obtention d'une matrice système Hermitienne, définie positive (HDP) et bien conditionnée, sans avoir recours, contrairement aux préconditionneurs existants, au raffinement du maillage ni à l'utilisation de fonction duales. Puisque la matrice est HPD, la méthode du gradient conjugué peut servir de solveur itératif avec une convergence garantie. / The electric field integral equation (EFIE) and the combined field integral equation(CFIE) suffer from the dense-discretization and the low-frequency breakdown: if the average edgelength of the mesh is reduced, or if the frequency is decreased, then the condition number of the system matrix grows. This leads to slowly or non-converging iterative solvers. This dissertation presents new paradigms for rapidly converging integral equation solvers: to overcome the illconditioning, we advance and extend the state of the art both in hierarchical basis and in Calderón preconditioning techniques. For the EFIE, we introduce a hierarchical basis for structured and unstructured meshes based on generalized primal and dual Haar prewavelets. Furthermore, a framework is introduced which renders the hierarchical basis able to efficiently precondition the EFIE in the case that the scatterer is multiply connected. The applicability of hierarchical basis preconditioners to the CFIE is analyzed and an efficient preconditioning scheme is derived. In addition, we present a refinement-free Calderón multiplicative preconditioner (RF-CMP) that yields a system matrix which is Hermitian, positive definite (HPD), and well-conditioned. Different from existing Calderón preconditioners, no dual basis functions and thus no refinement of the mesh is required. Since the matrix is HPD—in contrast to standard discretizations of the EFIE—we can apply the conjugate gradient (CG) method as iterative solver, which guarantees convergence. Eventually, the RF-CMP is extended to the CFIE.

Ce travail porte sur un problème inverse de sources dipolaires et son application à l'identification des sources de l'activité cérébrale telle qu'elle peut être mesurée par l'Electro-Encéphalo-Graphie (EEG). Des résultats d'identifiabilité et de stabilité ont été établis. Par ailleurs, une étude du problème de Cauchy en 3D, motivée par l'application de la méthode d'identification dite "algébrique", a été faite à l'aide de la méthode itérative introduite par Kozlov, Maz'ya et Fomin et au moyen des équations intégrales de frontières. En outre, une autre méthode basée sur une fonctionnelle coût de type Kohn et Vogelius a été considérée pour l'identification des sources et dont les résultats numériques sont avérés plus performants que ceux donnés par la méthode des moindres carrés.

Ce travail constitue une première étape dans la compréhension et la modélisation du comportement de contacts en frottement dans un environnement corrosif. On s'intéresse plus particulièrement à des stsructures évoluant en milieu marin.<br /><br />La première partie fait une large part à l'expérimentation, avec le développement d'un moyen d'essai original, et précise l'importance relative des phénomènes électrochimiques et mécaniques pour un contact ponctuel acier inoxydable / alumine en milieu neutre chloruré (NaCl 30 g/l). Le deuxième volet s'est attaché au développement d'une modélisation par équations intégrales des problèmes de contacts ponctuels entre des structures élastoplastiques homogènes ou revêtues en frottement continu.

Cette thèse s'intéresse au problème de la diffraction d'ondes par un obstacle borné, <br />et plus particulièrement à l'étude de sa Surface Equivalente Radar (SER). <br /><br />Etant donné une onde incidente sur l'objet, la détermination des courants induits sur la <br />surface de celui-ci, des champs diffractés puis, par la suite, de leur comportement à <br />l'infini, est un problème couramment abordé dans la littérature. <br />De plus, pour des longueurs d'onde comparables à la taille de l'objet, ces grandeurs <br />peuvent maintenant être approximées numériquement par des méthodes à la fois rapides <br />et précises. <br /><br />Néanmoins, au contraire des nombreuses théories développées dans les domaines hautes <br />fréquences (tracés de rayon, points brillants, TGD, ...), les phénomènes produits sur la <br />surface de l'objet, et en particulier leur effet sur le champ diffracté et la SER, <br />demeurent mal compris et maîtrisés. <br /><br />La notion de courants caractéristiques, initialement introduite par J.R. Harrington et <br />R.F. Mautz dans les années 70 dans pour des objets parfaitement conducteurs, permet la <br />décomposition d'un courant induit quelconque en courants ``élémentaires''. <br />Cette décomposition semble alors particulièrement adaptée à l'étude de la SER de l'objet, <br />grâce notamment à des propriétés d'orthogonalités des champs lointains rayonnés <br />permettant d'identifier directement entres elles les composantes d'un courant (les zones <br />sollicités sur l'objet) et celles de son champ rayonné. <br /><br />Nous revenons dans un premier temps dans cette thèse sur cette décomposition modale, <br />en fournissant un cadre et les résultats mathématiques nécessaires à la bonne <br />compréhension et utilisation de cette décomposition. <br /><br />L'introduction de ce cadre permet alors de donner une première généralisation de ce type <br />de décomposition à des objets modélisés par une condition d'impédance. <br /><br />Ces courants et champs caractéristiques peuvent de plus se révéler intéressant d'un point <br />de vue théorique, de par les bases adaptés qu'ils fournissent. <br />L'application au problème inverse, à savoir celui de la reconstruction de la surface de <br />l'objet à partir de la connaissance des champs lointains diffractés, donne un exemple <br />d'utilisation théorique de ces modes caractéristiques.

La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de la diffraction d'ondes électro­ma­gné­ti­ques par des objets bornés recouverts de couches minces de diélectriques non linéaires. Un développement asymptotique de l'onde fondamentale et de la seconde harmonique est donné en utilisant des techniques d'équations intégrales.<br /><br />Dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéressé à la méthode dite de la (\em supercell) qui est utilisée par les physiciens afin de donner une approximation des modes introduits par un défaut à support compact dans un cristal photonique. On étudie la convergence de cette méthode donnant un sens à la convergence du spectre de l'opérateur approché. La convergence exponentielle des valeurs propres dues au défaut est démontrée.<br /><br />La troisième partie de la thèse est consacrée à l'étude de la propagation d'ondes électromagnétiques dans les fibres optiques photoniques. On dérive une modélisation mathématique de ces fibres dont l'enveloppe est constituée d'un cristal photonique bidimensionnel invariant selon l'axe de la fibre. Les modes guidés par la fibre sont caractérisés comme étant les valeurs propres d'opérateurs intégraux.