Les travaux présentés dans cette thèse concernent des résultats d'homogénéisation et de correcteur pour des problèmes hyperboliques dans des milieux hétérogènes avec des conditions aux bords mixtes. Les problèmes de ce type modélisent la propagation des ondes dans des milieux hétérogènes. Dans le premier chapitre on rappelle une partie de l'ensemble des outils permettant l'étude asymptotique de problèmes posés dans un milieu hétérogène. Le second chapitre est consacré à l'étude de l'équation des ondes dans un domaine perforé de façon non périodique. Pour cela, on effectue une hypothèse de H^0-convergence sur la partie elliptique de l'opérateur. Cette notion introduite par M. Briane, A. Damlamian et P. Donato généralise la notion de H-convergence introduite quelques années auparavant par F. Murat et L. Tartar pour des domaines perforés. On démontre deux résultats principaux, un résultat d'homogénéisation et un second de correcteur qui permet d'améliorer la convergence de la solution du problème sous des hypothèses légèrement plus fortes. Pour cela on reprend le correcteur de G. Cardone, P. Donato et A. Gaudiello et on explicite quelques unes de ces propriétés. Dans le troisième chapitre, on considère une équation des ondes non-linéaire posée dans un domaine périodiquement perforé dont la non-linéarité porte sur la dérivée en temps de la solution. On suppose que la non-linéarité est majorée par une fonction polynomiale monotone dont l'exposant permet d'avoir une injection de Sobolev convenable. On étudie d'abord l'existence et l'unicité de la solution de ce problème à l'aide d'une méthode de Galerkin, puis on montre un résultat d'homogénéisation de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on étudie le problème de l'équation des ondes dans un domaine non perforé. Dans un premier temps, on retrouve le résultat classique d'homogénéisation en utilisant la méthode de l'éclatement périodique introduite par D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso. Ensuite, sous des hypothèses un peu plus fortes des données initiales on montre un résultat de correcteur faisant intervenir l'opérateur de moyennisation qui est l'adjoint de l'opérateur d'éclatement.

Dans cette thèse, on étudie l'homogénéisation de problèmes de conduction et d'élasticité linéarisée en dimension 2 et 3. En dimension 2, on traite d'une part de l'homogénéisation de l'effet Hall considéré comme un problème à faible contraste. On établit d'autre part des résultats de compacité et de dualité pour des suites de conductivités non nécessairement symétriques et non uniformément bornées soit inférieurement, soit supérieurement; ce qui correspond à des problèmes à fort contraste. En dimension 3, on s'intéresse à des structures fibrées non périodiques. D'une part, en s'appuyant sur l'homogénéisation à faible contraste de Tartar, on obtient des modèles homogénéisés en conduction et en élasticité isotrope. De plus, on étend le résultat de Tartar à l'élasticité anisotrope, ce qui permet d'obtenir un modèle simple. D'autre part, en homogénéisation à fort contraste, on obtient un modèle correspondant aux cas où le milieu extérieur est faiblement conducteur.

In this Ph.D. thesis we discuss results concerning variational convergences for functionals and differential operators on Lipschitz continuous vector fields. The convergences taken into account are gamma-convergence (for functionals) and H-convergence (for differential operators).

In this thesis we study the asymptotic behavior of bi-Lipschitz diffeomorphic weighted Riemannian manifolds with techniques from the theory of homogenization. To do so we re-interpret the problem as different induced metrics on one reference manifold. Our analysis is twofold. On the one hand we consider second-order uniformly elliptic operators on weighted Riemannian manifolds. They naturally emerge when studying spectral properties of the Laplace-Beltrami operator on families of manifolds with rapidly oscillating metrics. We appeal to the notion of H-convergence introduced by Murat and Tartar. In our first main result we establish an H-compactness result that applies to elliptic operators with measurable, uniformly elliptic coefficients on weighted Riemannian manifolds. We further discuss the special case of locally periodic coefficients and study the asymptotic spectral behavior of Euclidean submanifolds with rapidly oscillating geometry. On the other hand we study integral functionals featuring non-convex integrands with non-standard growth on the Euclidean space in a stochastic framework. Our second main result is a Γ-convergence statement under certain assumptions on the statistics of their integrands. Such functionals provide a tool to study the Dirichlet energy on non-uniformly bi-Lipschitz diffeomorphic manifolds. We show Mosco-convergence of the Dirichlet energy and deduce conditions for the spectral behavior of weighted Riemannian manifolds with locally oscillating random structure, especially in the case of Euclidean submanifolds.:Introduction Outline Notation I. Preliminaries 1. Convergence of Riemannian Manifolds 1.1. Hausdorff-Convergence 1.2. Gromov-Hausdorff-Convergence 1.3. Spectral Convergence 1.4. Mosco-Convergence 2. Homogenization 2.1. Periodic Homogenization 2.2. Stochastic Homogenization II. Uniformly bi-Lipschitz Diffeomorphic Manifolds 3. Uniformly Elliptic Operators on a Riemannian Manifold 3.1. Setting 3.2. Main Results 3.3. Strategy of the Proof and Auxiliary Results 3.4. Identi cation of the Limit via Local Coordinate Charts 3.5. Examples 3.6. Proofs 4. Application to Uniformly bi-Lipschitz Diffeomorphic Manifolds 4.1. Setting and Results 4.2. Examples 4.3. Proofs III. Rapidly Oscillating Random Manifolds 5. Integral Functionals with Non-Uniformal Growth 5.1. Setting 5.2. Main Results 5.3. Strategy of the Proof and Auxiliary Results 5.4. Proofs 6. Application to Rapidly Oscillating Riemannian Manifolds 6.1. Setting and Results 6.2. Examples 6.3. Proofs Summary and Discussion Bibliography List of Figures

<p>The present thesis is devoted to the homogenization of certain elliptic and parabolic partial differential equations by means of appropriate generalizations of the notion of two-scale convergence. Since homogenization is defined in terms of H-convergence, we desire to find the H-limits of sequences of periodic monotone parabolic operators with two spatial scales and an arbitrary number of temporal scales and the H-limits of sequences of two-dimensional possibly non-periodic linear elliptic operators by utilizing the theories for evolution-multiscale convergence and λ-scale convergence, respectively, which are generalizations of the classical two-scale convergence mode and custom-made to treat homogenization problems of the prescribed kinds. Concerning the multiscaled parabolic problems, we find that the result of the homogenization depends on the behavior of the temporal scale functions. The temporal scale functions considered in the thesis may, in the sense explained in the text, be slow or rapid and in resonance or not in resonance with respect to the spatial scale function. The homogenization for the possibly non-periodic elliptic problems gives the same result as for the corresponding periodic problems but with the exception that the local gradient operator is everywhere substituted by a differential operator consisting of a product of the local gradient operator and matrix describing the geometry and which depends, effectively, parametrically on the global variable.</p>

The present thesis is devoted to the homogenization of certain elliptic and parabolic partial differential equations by means of appropriate generalizations of the notion of two-scale convergence. Since homogenization is defined in terms of H-convergence, we desire to find the H-limits of sequences of periodic monotone parabolic operators with two spatial scales and an arbitrary number of temporal scales and the H-limits of sequences of two-dimensional possibly non-periodic linear elliptic operators by utilizing the theories for evolution-multiscale convergence and λ-scale convergence, respectively, which are generalizations of the classical two-scale convergence mode and custom-made to treat homogenization problems of the prescribed kinds. Concerning the multiscaled parabolic problems, we find that the result of the homogenization depends on the behavior of the temporal scale functions. The temporal scale functions considered in the thesis may, in the sense explained in the text, be slow or rapid and in resonance or not in resonance with respect to the spatial scale function. The homogenization for the possibly non-periodic elliptic problems gives the same result as for the corresponding periodic problems but with the exception that the local gradient operator is everywhere substituted by a differential operator consisting of a product of the local gradient operator and matrix describing the geometry and which depends, effectively, parametrically on the global variable.

The main focus of the present thesis is on the homogenization of some selected elliptic and parabolic problems. More precisely, we homogenize: non-periodic linear elliptic problems in two dimensions exhibiting a homothetic scaling property; two types of evolution-multiscale linear parabolic problems, one having two spatial and two temporal microscopic scales where the latter ones are given in terms of a two-parameter family, and one having two spatial and three temporal microscopic scales that are fixed power functions; and, finally, evolution-multiscale monotone parabolic problems with one spatial and an arbitrary number of temporal microscopic scales that are not restricted to be given in terms of power functions. In order to achieve homogenization results for these problems we study and enrich the theory of two-scale convergence and its kins. In particular the concept of very weak two-scale convergence and generalizations is developed, and we study an application of this convergence mode where it is employed to detect scales of heterogeneity. / Huvudsakligt fokus i avhandlingen ligger på homogeniseringen av vissa elliptiska och paraboliska problem. Mer precist så homogeniserar vi: ickeperiodiska linjära elliptiska problem i två dimensioner med homotetisk skalning; två typer av evolutionsmultiskaliga linjära paraboliska problem, en med två mikroskopiska skalor i både rum och tid där de senare ges i form av en tvåparameterfamilj, och en med två mikroskopiska skalor i rum och tre i tid som ges i form av fixa potensfunktioner; samt, slutligen, evolutionsmultiskaliga monotona paraboliska problem med en mikroskopisk skala i rum och ett godtyckligt antal i tid som inte är begränsade till att vara givna i form av potensfunktioner. För att kunna uppnå homogeniseringsresultat för dessa problem så studerar och utvecklar vi teorin för tvåskalekonvergens och besläktade begrepp. Speciellt så utvecklar vi begreppet mycket svag tvåskalekonvergens med generaliseringar, och vi studerar en tillämpningav denna konvergenstyp där den används för att detektera förekomsten av heterogenitetsskalor.