Dans cette thèse, on étudie l'homogénéisation de problèmes de conduction et d'élasticité linéarisée en dimension 2 et 3. En dimension 2, on traite d'une part de l'homogénéisation de l'effet Hall considéré comme un problème à faible contraste. On établit d'autre part des résultats de compacité et de dualité pour des suites de conductivités non nécessairement symétriques et non uniformément bornées soit inférieurement, soit supérieurement; ce qui correspond à des problèmes à fort contraste. En dimension 3, on s'intéresse à des structures fibrées non périodiques. D'une part, en s'appuyant sur l'homogénéisation à faible contraste de Tartar, on obtient des modèles homogénéisés en conduction et en élasticité isotrope. De plus, on étend le résultat de Tartar à l'élasticité anisotrope, ce qui permet d'obtenir un modèle simple. D'autre part, en homogénéisation à fort contraste, on obtient un modèle correspondant aux cas où le milieu extérieur est faiblement conducteur.

Les industries productrices de matériaux, que ce soit dans le domaine des polymères ou celui des métaux, conçoivent de nouveaux matériaux pour répondre à des fonctions spécifiques définies par leurs clients. Elles s'appuient sur les progrès spectaculaires des dernières années dans le domaine de la modélisation des procédés et de la prédiction des propriétés d'emploi. Cependant, des efforts importants restent encore à faire dans la compréhension des relations entre une microstructure et ses propriétés de mise en forme et de tenue en service pour développer et inventer les matériaux de demain. Pour mieux comprendre les relations entre microstructures et propriétés mécaniques, les modèles basés sur une démarche micromécanique par changement d'échelles sont très utiles par leur caractère prédictif étendu. Comment représenter au mieux cette microstructure ? Quel est le rôle de la topologie, c'est-à-dire de la morphologie et l'arrangement spatial des constituants ? Quel est le rôle du comportement propre de chaque constituant sur la réponse du matériau ? Ces questions sont au centre de mes activités de recherche. Ma contribution porte plus particulièrement sur le développement de modèles micromécaniques par changement d'échelles dans deux domaines ouverts : le couplage entre des mécanismes instantanés et dépendants du temps tels que l'élasticité et la viscoplasticité et la prise en compte de la topologie dans les matériaux hétérogènes à fort contraste mécanique.<br /><br />Dans le cas d'un fort contraste mécanique, l'arrangement des phases joue un rôle du premier ordre sur les propriétés mécaniques. Il induit en particulier que seule une fraction des phases, appelée fraction effective, est active mécaniquement. Cela amène à définir des «phases mécaniques» qui (i) ne sont pas forcément définies par une homogénéité chimique ou physique et (ii) peuvent évoluer avec les conditions de chargements. On parle alors de « motif morphologique évolutif ». Le modèle autocohérent appliqué au motif morphologique de l'inclusion enrobée a été appliqué avec succès aux semi-solides où inclusion et enrobage sont tous deux composés de liquide et de solide. Il a été implanté dans un code d'éléments finis afin de simuler la mise en forme d'alliages métalliques à l'état semi-solide et en particulier le thixoforgeage en collaboration avec ASCOMETAL CREAS.<br /><br />En ce qui concerne le couplage entre des déformations élastiques instantanés et des déformations viscoplastiques dépendants du temps, un modèle de transition d'échelle, dit modèle à champs translatés, est proposé en s'inspirant de l'approximation autocohérente. Il fournit une description élastique-viscoplastique des interactions entre hétérogénéités efficace et simple à mettre en œuvre numériquement. Cet outil de transition d'échelle a été appliqué à l'étude du comportement élastique-viscoplastique d'aciers polycristallins présentant différentes microstructures en collaboration avec ARCELOR. Les lois décrivant le comportement du monocristal fondées sur la théorie de la plasticité cristalline, prenant en compte les mécanismes de déformation par glissement cristallographique et éventuellement par maclage, ont été adaptées et enrichies aux types de comportement étudiés : dépendants de la vitesse de déformation, de la température, sous sollicitations monotones ou cycliques, après vieillissement de type Bake Hardening.<br /><br />La démarche de modélisation proposée jusqu'alors décrit l'activité plastique à l'aide de variables internes homogènes à l'échelle du grain. Or la plasticité apparaît selon des événements spatio-temporels discrets. Un nouveau projet de recherche est proposé pour lever cette hypothèse de « microhomogénéité » en représentant l'activité plastique par une distribution spatiale mais périodique de « particules » de déformation. Cette approche cherche à prendre en compte l'auto-organisation spatiale de la microstructure dans les calculs de champs dans le but de rendre compte naturellement des effets de taille en plasticité.

Les pages qui suivent présentent les travaux que j'ai effectués depuis le début de mes recherches en 1995. Ils ont été menés d'abord au laboratoire d'Analyse Non Linéaire Appliquée de l'Université de Toulon et du Var pendant ma thèse de 1995 à 1997, puis au département de Mathématiques de l'Université de Perpignan de 1997 à 2011, et en fin au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l'Université Montpellier 2. Le cadre de ma recherche est l'analyse asymptotique d' équations différentielles à coefficients fortement oscillants (l'homogénéisation"). J'ai d'abord étudié des équations scalaires [1], [4], [6], ensuite, je me suis intéressé aux équations de l' élasticité linéaire [3], [5], ce qui m'a permis de mettre en évidence des effets de torsion dans les composites élastiques de fibres à fort contraste [7], et m'a amen é à introduire une nouvelle notion de capacité adaptée à l' élasticité [8]. Plus récemment, j'ai étendu cette notion à un cadre non linéaire [15], [19] et me suis intéressé aux cas non périodique [9] et aléatoire [18]. Ce mémoire comporte 3 chapitres. La présentation de chaque chapitre suit l'ordre chronologique inverse en commencant par les résultats obtenus en élasticité. Le cas scalaire s'en déduit aisément. Les deux premiers chapitres s'intéressent au cas où certains des coefficients des équations considérées prennent de tr ès grandes valeurs sur des inclusions de mesure de Lebesgue tr ès petite. On parle alors de "problèmes capacitaires" car les équations limites dépendent de la densité de ces inclusions relativement à une certaine capacité. Le premier chapitre traite le cas de structures granulaires et le second de structures fibrées. Sur ce sujet, les publications sont dans l'ordre chronologique [10], [1], [12], [13], [4], [5], [6], [14], [8] (auxquelles s'ajoutent les preprints [9], [15], [19], [18]). Le troisième chapitre porte sur le cas o ù certains coefficients prennent des valeurs tr ès petites sur des parties de mesure de Lebesgue d'ordre 1. Les publications associées à ce chapitre sont [11], [3], [4], [7].