Cette thèse est un travail conjointement sur l'espace de modules $\mathscr<br />M$ des connexions plates du fibré principal $S\times G$ d'une sphère de<br />Riemann $S$ (ayant $n\geq 3$ bords), où $G=\GL{N,\C}$ et sur l'algèbre de<br />lacets $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$. <br /><br />Dans un premier temps, nous étudions une hiérarchie de bidérivations<br />quadratiques sur $\tilde\g$. En particulier, grâce au processus de fusion<br />introduit par Alekseev, Kosmann-Schwarzbach et Meinrenken en 2002, nous<br />extrayons parmi elles une structure $\PB^Q_1$ de quasi-Poisson sur<br />$\tilde\g$. Celle-ci se restreint au sous-espace<br />$\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$.<br /><br />Nous montrons ensuite un résultat de réduction dans un contexte de<br />bidérivation de quasi-Poisson. Il permet d'équipper le quotient $\mathscr<br />A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$ d'une structure de<br />Poisson induite par $\PB^Q_1$.<br /><br />En s'appuyant sur le système intégrable de Beauville sur<br />$\tilde\g_{n-2}/G$, nous montrons que la famille de fonctions $({\text{tr}}<br />X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitue un système intégrable sur $\mathscr<br />A/G$. Les fonctions que nous considérons sur l'espace de modules $\mathscr<br />M$ sont les tiré-en-arrière $(\mathscr<br />T^*{\text{tr}X^k(a)})_{k\in\N,a\in\C}$, où $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$<br />est un morphisme de quasi-Poisson et un difféomorphisme local. Nous<br />utilisons ces propriétés de $\mathscr T$ pour montrer que cette famille de<br />fonctions constitue un système intégrable sur $\mathscr M$.

De nombreux systèmes physiques peuvent être décrits par des modèles unidimensionnels (1D). C'est le cas de certains gaz d'atomes ultrafroids: dans les bonnes conditions leur dynamique a lieu suivant une seule dimension spatiale.<br />Je me suis intéressée à l'étude de quelques aspects des systèmes intégrables à 1D. D'abord je présente une étude de l'état fondamental d'un système de fermions 1D à 2 composants en interactions de contact répulsives. J'utilise l'ansatz de Bethe pour calculer le diagramme de phase du système homogène. Je prends ensuite en compte un piège harmonique et je montre que les atomes s'organisent en deux couches: une phase partiellement polarisée se trouve au centre du piège et une phase totalement polarisée aux bords.<br />Ensuite j'étudie des corrections dues aux effets de taille finie au gap du spectre d'excitations du modèle d'Hubbard 1D. J'obtiens deux termes correctifs aux résultats de la limite thermodynamique: un en loi de puissances inverses en la taille du système L, et un second exponentiel en L. Dans le régime de faible interaction ce deuxième terme peut être important.<br />Finalement j'étudie la réponse d'un système excité à la modulation temporelle de l'interaction entre atomes. Je considère le modèle de Lieb-Liniger et le modèle non-intégrable d'un gaz de fermions avec une impureté mobile. Je montre que le système non-intégrable est sensible à des excitations de fréquences de l'ordre de l'espacement moyen entre niveaux d'énergie, tandis que le système intégrable n'est excité que par des fréquences beaucoup plus grandes. Cet effet peut être utilisé comme test d'intégrabilité dans des systèmes mésoscopiques 1D et pourrait être observé expérimentalement.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la théorie mathématique qui sous-tend la construction et la résolution d'une classe particulière de systèmes quantiques exactement solubles: son objectif est d'utiliser les superalgèbres de Lie comme un outil pour construire et résoudre des chaînes de spins intégrables.<br />Nous développons une approche générale et systématique permettant de construire et traiter simultanément une large classe de systèmes intégrables partageant la même super--symétrie, allant du cas bien connu où tous les sites portent la représentation fondamentale (comme par exemple dans le cas du modèle t-J) à des situations plus complexes d'intérêt physique comprennent chaînes de spins alternée, avec impuretés, etc...<br /><br />Les deux premiers chapitres sont consacrés à un examen des résultats connus concernant le Yangien de la superalgèbre de Lie gl(m|n), nécessaire pour introduire la version graduée de la méthode de diffusion inverse quantique. Nous appliquons notre approche dans le chapitre 3 aux chaînes fermées et dans le chapitre 4 aux chaînes ouvertes. Dans ce chapitre sont étudiés les homologues super--symétriques de l'algèbre de réflexion et du Yangien twisté, qui sont les structures algébriques permettant d'imposer des conditions aux bords qui préservent l'intégrabilité. Dans le dernier chapitre, la méthode dite de fusion est traitée en détail pour des chaînes de spins avec supersymétrie sl(1|2).<br /><br />La méthode de résolution que nous utilisons, tant dans le cas fermé que dans le cas ouvert, est la généralisation au cas supersymétrique de l'Ansatz de Bethe analytique, pour lequel les équations de Bethe paramétrant les nombres quantiques du système sont obtenus comme conditions d'analyticité pour les valeurs propres des Hamiltoniens.

Mes travaux ont porté sur la classification et la rigidité des points critiques de la fonctionnelle d'aire -- variétés minimales et apparentées -- pour des surfaces dans l'espace euclidien ou plus généralement dans certains espaces homogènes. Le cadre est riemannien ou hermitien, et je me suis attaché à comprendre et décrire la structure de l'équation aux dérivées partielles associée au problème géométrique, et celle de ses solutions. En utilisant des paramétrisations conformes, j'ai caractérisé notamment les solutions satisfaisant des conditions géométriques ou topologiques telles que le plongement, la fermeture des périodes en genre un (pour des tores lagrangiens) ou l'isopérimétrie.<br /><br />Dans une première partie, j'aborde essentiellement les surfaces minimales « classiques » dans l'espace euclidien de dimension 3, dont la structure analytique est donnée par la représentation de Weierstrass. Celle-ci peut-être utilisée pour ramener un problème sous contrainte topologico-géométrique (nombre de bouts, courbure totale finie, simple périodicité) à un problème d'analyse complexe sur une surfaces de Riemann, et j'en déduis un théorème de rigidité concernant l'escalier de Riemann. Mais les résultats les plus importants concernent le comportement des bouts minimaux plongés, de courbure totale infinie mais de type fini. On montre en effet que l'hypothèse de plongement contraint considérablement les données de de l'immersion, ce qui a pour conséquence géométrique que la surface est 0-asymptotique à l'hélicoïde. Ce résultat joue un rôle dans la preuve récente par Meeks et Rosenberg de l'unicité de l'hélicoïde comme surface proprement plongée simplement connexe.<br /><br />Dans la seconde partie, j'expose mes travaux sur le problème isopérimétrique dans les espaces plats périodiques de dimension trois. C'est un problème encore ouvert aujourd'hui, qui concerne les surfaces à courbure moyenne constante. J'ai notamment travaillé sur la conjecture sphère-cylindre-plan dans les tores de dimension 3, et démontré des inégalités pointues classifiant les cas (variétés, volumes) où la conjecture est vérifiée. Dans un autre registre, j'ai montré que les surfaces CMC possédant trop de symétries (les retournements diagonaux) ne peuvent être isopérimétriques, à l'exception des sphères bien sûr. Enfin, une étude numérique justifie que ce problème reste si difficile à résoudre.<br /><br />En troisième partie se trouvent mes travaux sur les surfaces lagrangiennes stationnaires hamiltoniennes, dans l'espace euclidien de dimension quatre, et aussi dans les espaces symétriques hermitiens. Après une introduction à ce domaine de la géométrie, on montrera que l'équation aux dérivées partielles de ce problème variationnel est associée à un système intégrable (comme dans le cas des surfaces CMC), avec différentes applications, telles la construction de tores de type fini, ou par potentiel suivant la méthode DPW (via les groupe de lacets). Cette approche est raffinée dans le cas euclidien où une représentation spinorielle permet de décrire explicitement les tores stationnaires hamiltoniens, résolvant même les problèmes de périodes. Enfin une généralisation aux dimensions supérieures est esquissée.

Ces travaux de thèse traitent de la modélisation d’un interrupteur bipolaire commandable monolithique bidirectionnel en tension et en courant et s’inscrivent dans la gestion de l’énergie dans l’habitat. L’objectif est de concevoir un interrupteur à faible perte énergétique capable de s’intégrer au sein d’une électronique de commande intelligente.Ces travaux s’intéressent dans un premier temps aux différentes solutions existantes destinées à notre application. A travers cette étude, on présente ainsi les avantages et les inconvénients des interrupteurs discrets ou encore des solutions monolithiques. On s’intéresse ensuite à l’étude d’un transistor bipolaire de puissance symétrique vertical. A l’aide de simulations par éléments finis, une étude bidimensionnelle et statique a permis de valider sa fonctionnalité à savoir son aptitude à fonctionner sous le réseau alternatif domestique. L’étude se concentrera ensuite sur les différentes technologies destinées à l’améliorer. En optant pour des caissons fortement dopés judicieusement placés au niveau de la base, il est démontré que les performances d’un tel composant peuvent être augmentées grâce au phénomène d’autoblindage. Finalement, dans le but de simplifier la réalisation de cet interrupteur, la technologie du RESURF sur SOI a été retenue. La structure, latérale, a ensuite été étudiée grâce à des simulations statiques bidimensionnelles puis tridimensionnelles qui ont mis en valeur l’intérêt de cette technologie tant au niveau de la conception qu’au niveau de la réalisation de la structure. / This study deals with the modeling of a monolithic switch bidirectional in current and voltage with full turn-off control for household appliances. The goal is to design a low losses switch which can be integrated to smart electronics functions. These works are focused, first, on discrete and monolithic existing solutions designed for such appliances before pointing out their main advantages and drawbacks. Monolithic structures are preferred over discrete ones thanks to their easiness to be integrated among other structures on the same substrate. The study is focused then on a vertical and symmetrical power bipolar transistor. 2D static simulations in finite elements performed on the structure confirm its ability to work on the mains. Further studies underline the possibility to improve it. By implementing around the active base heavily doped caissons which create a shielding effect, one can increase the structure performances. Finally, to simplify the switch processing steps, SOI RESURF technology is chosen. The lateral structure is studied thanks to 2D and 3D simulations which emphasize the benefits of such technology on both its design and manufacturing process.

Notre motivation principale dans cette thèse est de développer des méthodes d'étude des systèmes intégrables classiques qui se généralisent directement aux systèmes intégrables quantiques. Pour cela nous commençons par construire explicitement, en utilisant des outils de la géométrie algébrique et les idées de la méthode de séparation des variables, un modèle matriciel de la jacobienne affine d'une courbe spectrale d'ordre $N$ quelconque, généralisant ainsi la construction précédemment connue seulement pour le cas hyperelliptique ($N=2$). A l'aide de ce modèle nous étudions ensuite les cohomologies singulières de la jacobienne affine et nous trouvons une formule nouvelle pour sa caractéristique d'Euler. En étudiant son comportement nous montrons que la structure des cohomologies est bien plus compliquée, dans le cas général, que dans le cas hyperelliptique. Du point de vue des systèmes intégrables notre résultat principal est que l'algèbre des observables est engendrée par l'action des certains champs hamiltoniens sur un nombre fini des coefficients des cohomologies supérieures. Cette observation est surtout importante dans le cas quantique auquel touts nos résultats s'appliquent aussi, en accord avec le programme de ce travail . En effet, ceci implique que les fonctions de corrélation de n'importe quelle observable s'expriment en termes des fonctions de corrélations d'un nombre fini de coefficients des cohomologies supérieures (déformés). Finalement, en utilisant les résultats connus pour le cas hyperelliptique et des considérations semi-classiques, nous formulons une conjecture sur la structure du produit scalaire dans l'espace de Hilbert où l'algèbre des observables quantiques est représentée.

Cette thèse traite essentiellement de deux systèmes intégrables associés à des algèbres de Lie simples. Les deux résultats principaux sont la construction et l'intégrabilité au sens de Liouville des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant-Toda périodique sur toute algèbre de Lie simple. Ces réseaux sont l'un et l'autre décrit par un champ hamiltonien associé à un crochet de Poisson qui provient d'une algèbre de Lie munie d'une R-matrice. Nous construisons dans les deux cas une grande famille de constantes de mouvement que nous utilisons pour démontrer l'intégrabilité au sens de Liouville des deux systèmes. Nos constructions et nos démonstrations font appel à de nombreux résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs R-matrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines.

Cette habilitation est consacrée aux structures algébriques intervenant dans les systèmes uni- et bi-dimensionnels étudiés en physique. Nous y montrons comment ces structures peuvent être utilisées pour obtenir une meilleure compréhension des systèmes physiques qu'elles sous-tendent. Nous y décrivons aussi certains de leurs aspects mathématiques.<br /><br />Quatre parties composent cette présentation. Elles décrivent différents domaines de la physique que j'ai étudiés, et dans lesquels les cadres algébriques peuvent s'appliquer, à savoir:<br /><br />- Les théories conformes à deux dimensions, en particulier les algèbres W. Nous présentons la classification de ces dernières et leur quantification en cohomologie BRS.<br /><br />- Les algèbres W finies et leur application en physique (anyons et leurs généralisations) et en mathématique (représentations des algèbres de Lie).<br /><br />- Les structures d'algèbres de Hopf et leur généralisation dynamique, cadre mathématique utilisé dans la partie suivante.<br /><br />- Les systèmes intégrables, avec deux éclairages différents. D'une part, les chaînes de spins, qui décrivent des modèles unidimensionnels de spins en interaction. Nous parlerons des systèmes périodiques, et des systèmes avec bords. D'autre part, les systèmes intégrables en théorie des champs, avec une attention particulière aux systèmes avec bord ou avec impureté.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de physique théorique appelé systèmes intégrables, qui mêle fructueusement physique et mathématiques et se caractérise par la possibilité d'obtenir des résultats exacts (i.e. non perturbatifs) guidant les prédictions physiques qui en découlent. <br />Dans ce contexte, l'équation de Schrödinger non-linéaire (à 1+1 dimensions) est un système privilégié. On la retrouve comme modèle de phénomènes variés tant classiques (optique non-linéaire, mécanique des fluides...) que quantiques (gaz ultra-froids, condensation de Bose-Einstein...). En outre, elle a contribué à la mise au point de techniques de résolution des systèmes intégrables : méthode de diffusion inverse, ansatz de Bethe, identification et utilisation de symétries (groupes quantiques, Yangiens). En utilisant ce système à la fois comme support de test et comme modèle de prédiction, mon travail de thèse tourne autour de deux points principaux : <br />- Inclusion de degrés de liberté bosoniques et fermioniques.<br />- Inclusion d'un bord ou d'une impureté.<br />Dans un premier temps, j'ai étudié une version « supersymétrique » de cette équation pour laquelle j'ai montré la validité de tous les résultats d'intégrabilité, de symétrie et de résolution explicite classiques et quantiques connus pour la version scalaire originelle. La question de l'inclusion d'un bord a été traitée d'un autre point de vue. L'idée est de partir d'une algèbre de symétrie caractéristique des systèmes intégrables avec bord, l'algèbre de réflexion, et de construire un Hamiltonien général intégrable et possédant cette algèbre comme structure de symétrie. Un cas particulier de l'Hamiltonien intégrable obtenu n'est autre que l'Hamiltonien de Schrödinger non-linéaire en présence d'un bord. Un autre cas particulier est l'Hamiltonien de Sutherland en présence d'un bord pour lequel la symétrie n'était pas connue.<br />Le problème de l'inclusion d'une impureté dans un système intégrable a constitué la plus grosse partie de mon travail. J'ai pu montrer qu'il est possible de préserver l'intégrabilité d'un système avec interaction lorsqu'on introduit un défaut qui transmet et réfléchit (une impureté) grâce à une nouvelle structure algébrique, l'algèbre de Réflexion-Transmission, appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cela permet de trouver la forme explicite du champ, de calculer de façon exacte les éléments de la matrice de diffusion et les fonctions de corrélation à N points et d'identifier la symétrie du problème. <br />Suite à ce travail, les équations exactes qui régissent le spectre d'énergie d'un gaz de particules en interaction de contact et en présence d'une impureté contrôlée par quatre paramètres ont été établies. Ces résultats ouvrent des perspectives d'applications en physique de la matière condensée.

Les cartes sont des objets combinatoires apparaissant en physique comme discrétisation naturelle des surfaces aléatoires employées pour la gravité quantique bidimensionnelle ou la théorie des cordes, ainsi que dans les modèles de matrices. Après rappel de ces relations, nous établissons des correspondances entre diverses classes de cartes et d'arbres, autres objets combinatoires de structure simple. Un premier intérêt mathématique de ces constructions est de donner des preuves bijectives, élémentaires et rigoureuses, de plusieurs résultats d'énumération de cartes. Par ailleurs, nous accédons ainsi à une information fine sur la géométrie intrinsèque des cartes, conduisant à des résultats analytiques exacts grâce à une propriété inattendue d'intégrabilité. Nous abordons enfin la question de l'existence d'une limite continue universelle.