Je présente essentiellement les travaux réalisés depuis ma thèse. <br />Ils se classent en trois thèmes:<br />Analyse asymptotique des équations de Navier-Stokes,<br />Optimisation de forme d'ouvrages de lutte contre l'érosion du littoral,<br />Etude d'équations aux dérivées partielles comportant des termes non-locaux.<br />Dans le thème 1, je développe la justification mathématique de l'approximation hydrostatique pour les fluides géophysiques à faible quotient d'aspect, hypothèse couramment vérifiée en océanographie et en météorologie. C'est un problème de perturbation singulière. Je présente également l'étude théorique et numérique de l'écoulement cône-plan, utilisé en hématologie-hémostase pour le sang de patients. Il s'agit d'un problème de couche limite singulière.<br /><br />Le thème 2 concerne le génie côtier. Les ouvrages utilisés tels que épis, brise-lames, enrochements sont de forme trop rudimentaire. Leur efficacité peut être améliorée significativement si leur forme est optimisée pour réduire l'énergie dissipée par la houle dans la zone proche-littorale. Nous optimisons aussi la forme de géotextiles immergés. Ce travail, réalisé dans le cadre de la thèse de Damien Isèbe, a reçu le soutien de l'ANR (projet COPTER) et s'effectue en partenariat avec le laboratoire Géosciences Montpellier et l'entreprise Bas-Rhône-Languedoc ingénierie (Nîmes).<br /><br />Dans le thème 3, nous prouvons existence, unicité et régularité de solutions pour l'équation de la chaleur fractionnaire, perturbée par un bruit blanc. C'est une équation aux dérivées partielles stochastique.Nous prouvons enfin un résultat d'existence, unicité et dépendance continue pour une loi de conservation non linéaire, comportant un terme non local, qui modélise l'évolution d'un profil de dune immergée. <br />L'intérêt mathématique est que l'équation ne vérifie pas le principe du maximum mais possède néanmoins un effet régularisant.

Le travail de cette thèse se place dans un contexte de modélisation et de simulation numérique du transport d'électrons dans un nano-composant. Ce transport est décrit en mécanique quantique à l'aide de systèmes de Schrödinger-Poisson. La majeure partie du travail se concentre sur le cas de la diode à effet tunnel résonnant (RTD) dont les puits quantiques donnent lieu à des résonances de l'Hamiltonien mis en jeu.<br />Dans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.<br />Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.<br />En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d<=3, avec un potentiel extérieur décrivant un puits quantique. L'Hamiltonien du système est composé de contributions -- le puits du potentiel extérieur plus un terme non linéaire répulsif -- qui s'étendent sur des échelles de longueurs différentes dont le rapport est donné en fonction du paramètre semi-classique h destiné à tendre vers 0. Avec une fonction de distribution en énergie qui force les particules à rester dans le puits quantique, la limite h tend vers 0 dans le système non linéaire conduit à différents comportements asymptotiques dont l'analyse nécessite une renormalisation spectrale et dépendant de la dimension d'espace d=1, 2 ou 3.

L'objet de l'étude est double. Dans un premier temps, on s'intéresse<br />à la classification des symétries du phénomène de couplage piézoélectrique<br />linéaire; on se focalise ensuite sur la dérivation de modèles de plaques,<br />toujours dans le cadre de la piézoélectricité linéarisée. On obtient ainsi<br />des résultats qui permettent de présenter des propriétés de solides<br />piézoélectriques relatives au matériau, à la structure ainsi qu'à leurs<br />interactions.<br /><br />Les trois premiers Chapitres concernent les symétries. On rappelle d'abord<br />que ces dernières peuvent être de différentes natures. Ensuite, les outils<br />qui permettent de les appréhender et de les lier entre elles sont présentées.<br />Les divers outils utilisés conduisent alors au principal résultat de la<br />première partie : la classification des symétries du phénomène de couplage<br />piézoélectrique linéaire en quinze familles distinctes.<br /><br />Dans les deux derniers Chapitres, on obtient des modèles de plaques<br />linéairement piézoélectriques à l'aide d'une méthode mathématique rigoureuse<br />consistant à étudier le comportement d'un solide tridimensionnel lorsque son<br />épaisseur, vue comme un paramètre, tend vers zéro. Dans le cas statique, il<br />apparaît deux modèles différents. Ils dépendent en fait du type de chargement<br />électrique et sont reliés aux cas pour lesquels les plaques piézoélectriques<br />sont utilisés comme capteurs ou comme actionneurs. Les cinématiques limites<br />sont précisées et les deux lois de comportement sont explicitement fournies<br />pour tous les types de matériau constitutif. Dans le cas dynamique, on montre<br />que c'est l'ordre de grandeur du rapport entre l'épaisseur et la densité de<br />la plaque qui joue un rôle déterminant.

Le mémoire est consacré à divers aspects de la modélisation de plaques : contrôlabilité frontière de structures bidimensionnelles et construction de modèles de plaques piézoélectriques, en relation avec des situations technologiques d'actualité, puis étude de singularités. Dans le premier chapitre on obtient un résultat de contrôlabilité exacte frontière pour une plaque élastique bidimensionnelle. On résout d'abord le problème de contrôlabilité exacte pour une plaque tridimensionnelle d'épaisseur h en controlant uniquement l'intérieur et la frontière latérale de la plaque ; le choix effectué des contrôles tridimensionnels permet de faire disparaitre les contrôles intérieurs lorsque h tend vers 0. On étudie, dans les chapitres 2, 3 et 4, le comportement d'une plaque piézoélectrique lorsque son épaisseur tend vers 0, notamment, dans le cas complet ou la contribution magnétique dans les équations de Maxwell n'est pas négligeable. Ainsi, d'une part, on justifie les modèles qui supposent que dans une plaque mince le potentiel électrique peut être assimilé à un polynome du second degré en la coordonnée d'espace suivant l'épaisseur. Et, d'autre part, on explique pourquoi dans les modèles bidimensionnels les équations d'équilibre mécanique, ou les équations d'évolution, sont liées au potentiel électrique uniquement par la différence de potentiel entre les deux faces horizontales. De plus, on exhibe de manière précise la contribution des termes piézoélectriques dans l'opérateur de flexion. Le chapitre 5 est consacré au calcul de coefficients de singularité sur un ouvert bidimensionnel polygonal non convexe.

Le travail concerne l'introduction de certaines notions d'analyse asymptotique (détectabilité, stabilisabilité, observateur) régionale pour une classe de systèmes distribués. Diverses propriétés et caractérisations ont été établies, en particulier en relation avec la structure des capteurs et des actionneurs.

Dans cette thèse, les récepteurs de Wiener optimaux et sous-optimaux à rang réduit pour le CDMA sont étudiés. La thèse est divisée en deux partie. Dans la première partie, les récepteurs sous-optimaux consisant d'un égaliseur de Wiener à rang réduit au rythme chip suivi de desétalement sont étudiés. Un égaliseur à rang réduit est un égaliseur pour lequel quelques coefficients seulement sont optimisés. Le rang du filtre est le nombre de coefficient optimisés. Dans la deuxième partie, la performance asymptotique de quelques récepteurs linéaires est evaluée. Pour étudier la performance asymptotique, on suppose que les codes d'étalement sont aléatoires suivant une certaine distribution. Le rapport Signal à Interference plus Bruit (SINR) à la sortie du récepteur peut ainsi être interprété comme une variable aléatoire. Il est possible de démontrer que ces variables aléatoires tendent vers des valeurs deterministes finies quand le facteur d'étalement et le nombre d'utilisateurs tendent vers l'infini de telle façon que leur rapport reste fini. Ces limites peuvent être utilisées pour comprendre les facteurs qui controlent la performance tels que le canal de propagation, le bruit et le facteur de charge. On présente les résultats précédents relatifs au récepteurs de Wiener optimaux à rang réduit. Ces résultats sont après étendus au récepteurs de Wiener sous-optimaux à rang réduit.On démontre que la convergence du SINR d'un récepteur de Wiener à rang réduit vers celui du récepteur à rang plein est très rapide. Dans le dernier chapitre, on étudie la performance asymptotique de la diversité à la transmission combinée avec un récepteur RAKE où un égaliseur MMSE.

Dans de nombreux problèmes physiques, on s'intéresse à l'interaction de phénomènes ayant des longueurs caractéristiques très différentes. On parle alors de phénomènes multi-échelles. Les méthodes numériques classiques, comme les éléments finis ou les différences finies, nécessitent alors un pas de maillage de l'ordre de la plus petite longueur caractéristique. Ceci a pour effet de faire exploser le nombre de degrés de liberté et les coûts de calcul. Afin de pallier à cette difficulté, on trouve dans la littérature différentes méthodes qui consistent soit à 1. développer des méthodes purement numériques de raffinement local. Ainsi, on limitera le nombre de degrés de liberté. 2. dériver à l'aide de l'analyse asymptotique des modèles approchés dont la solution peut être approchée numériquement sans raffinement local. De nombreux auteurs se sont intéressés à ces problématiques. 3. combiner une analyse asymptotique avec une méthodes de type éléments finis en augmentant l'espace de Galerkin par des fonctions reproduisant les propriétés locales de la solution du modèle exacte. Cette problématique est particulièrement présente en propagation d'ondes. En effet, des détails géométriques de petites tailles (fil mince, fente mince, petit trou, couche mince) devant la longueur d'ondes peuvent avoir une influence significative. Lors de ces dernières années, j'ai étudié ces phénomènes dans le cadre des problèmes de propagation d'ondes linéaires scalaires en régime fréquentiel. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats que j'ai obtenu à l'aide de la technique des développements asymptotiques raccordés.

Cette thèse de mathématiques appliquées traite de problèmes théoriques, numériques et asymptotiques en transport motivés par la physiologie rénale. Plus précisément, elle vise à comprendre et quantifier les échanges de solutés qui peuvent mener dans des cas pathologiques à des néphrocalcinoses, qui se caractérisent par des dépôts calciques dans le parenchyme rénal. Le manuscrit est constitué de deux parties. La première partie concerne le développement et l'analyse mathématique d'un modèle simplifié du rein. Il s'agit d'un système de 3 EDP hyperboliques à vitesses constantes, couplées par leur terme source non linéaire et assorti de conditions aux bords spécifiques. Le modèle rentre dans le cadre des modèles cinétiques avec un nombre fini de vitesses et des conditions aux bords de type réflexion. Nous montrons que ce système est bien posé, qu'il tend en temps grand vers un état stationnaire. On montre que le taux de convergence est exponentiel avec des éléments spectraux. Nous proposons l'étude du rôle de deux paramètres à travers une analyse asymptotique. L'une d'entre elles nous place dans le cadre de la relaxation hyperbolique vers une loi de conservation scalaire avec un flux hétérogène en espace sur un domaine borné. La deuxième partie concerne le développement et l'analyse numérique d'un modèle réaliste du rein. Il s'agit d'un système de 27 équations aux dérivées partielles de type hyperboliques dont les vitesses sont les solutions de 8 équations différentielles non linéaires, et toutes ces équations sont couplées par leur terme source. Les conditions aux bords sont là aussi spécifiques au modèle. Nous interprétons ensuite les résultats obtenus d'un point de vue physiologique, en proposant des prédictions de profils de concentration calciques dans le rein, dans le cas normal et dans certains cas pathologiques.

Cette thèse est consacrée à la modélisation d'une structure constituée de l'assemblage de deux solides Ω+ et Ω− à l'aide d'une couche mince (d'épaisseur d'ordre ε) très rigide (d'ordre 1/ε), où ε est un petit paramètre. Différentes situations et considérations sont prises en compte. Dans un premier temps, on se place dans le cadre de l'élasticité linéaire. Une analyse asymptotique formelle conduit à un problème posé sur Ω+UΩ-US où S est l'intersection des frontières . Nous nous intéressons dans cette partie aux deux aspects suivants : - Prise en compte de la géométrie et de la rigidité de la couche intermédiaire : résultats de convergence faible et forte pour des modèles de plaques et de coques ; - Proposition de méthodes de résolution numérique par décomposition de domaine ou avec pénalisation. Nous proposons ensuite une modélisation dans un cadre plus général et obtenons dans le cadre de la Γ-convergence, un modèle en élasticité linéaire non isotrope et un modèle en élasticité non linéaire. Lorsque le matériau dans la couche rigide présente des transitions de phase solide/solide, sa densité d'énergie g possède plusieurs puits de potentiel rendant compte de microstructures. Pour modéliser ces microstructures, il convient de réécrire l'énergie dans la couche en terme de mesures de Young. L'énergie de la structure est alors donnée par une bifonctionnelle ayant pour argument un couple déplacement-mesure de Young. Une des deux fonctions marginales de la fonctionnelle limite nous redonne l'énergie (classique) du modèle limite obtenu précédemment par Γ-convergence . Nous pouvons également réécrire l'énergie de toute la structure en terme de mesures de Young. Nous montrons alors comment les solutions du problème formulé en terme de mesures de Young donnent une description microscopique des solutions classiques. Enfin, lorsque la couche mince a un comportement plastique, des difficultés liées à la croissance linéaire de l'énergie de densité g apparaissent. En s'inspirant des méthodes de régularisation de Norton-Hoff, nous étudions le cas où g est à croissance d'ordre p, 1< p <2, la densité d'énergie f dans le reste de la structure étant à croissance d'ordre 2. Nous obtenons un premier modèle limite lorsque ε tend vers 0. Nous étudions ensuite la Γ-convergence de la fonctionnelle limite obtenue lorsque p tend vers 1. Mots clés : élasticité, multi-matériau, Γ-convergence, analyse asymptotique, mesures de Young.

Cette thèse porte sur la propagation des ondes acoustiques dans des milieux périodiques.Ces milieux ont des propriétés remarquables car le spectre associée à l’opérateur d’ondesdans ces milieux a une structure de bandes : il existe des plages de fréquences danslesquelles les ondes monochromatiques ne se propagent pas. Plus intéressant encore, enintroduisant des défauts linéiques dans ce type de milieux, on peut créer des modes guidésà l’intérieur de ces bandes de fréquences interdites. Dans ce manuscrit nous montrons qu’ilest possible de créer de tels modes guidés dans le cas de milieux périodiques particuliersde type quadrillage : plus précisément, le domaine périodique considéré est constitué duplan R2 privé d’un ensemble infini d’obstacles rectangulaires régulièrement espacés (d’unedistance ") dans deux directions orthogonales du plan, que l’on perturbe localement endiminuant la distance entre deux colonnes d’obstacles. Les résultats sont ensuite étendusau cas 3D.Ce travail comporte un aspect théorique et un aspect numérique. Du point de vue théoriquel’analyse repose sur le fait que, comme " est petit, le spectre de l’opérateur associé ànotre problème est "proche" du spectre d’un problème posé sur le graphe obtenu commela limite géométrique du domaine quand " tend vers 0. Or, pour le graphe limite, il estpossible de calculer explicitement le spectre. Ensuite, en utilisant des méthodes d’analyseasymptotique on étudie le spectre de l’opérateur non-limite. On illustre les résultats théoriquespar des résultats numériques obtenus à l’aide d’une méthode numérique spécialementdédiée aux milieux périodiques : cette dernière est basée sur la réduction du problèmede valeurs propres initial (linéaire) posé dans un domaine non-borné à un problème nonlinéaireposé dans un domaine borné (en utilisant l’opérateur de Dirichlet-to-Neumannexact). / The present work deals with propagation of acoustic waves in periodic media. Thesemedia have particularly interesting properties since the spectrum associated with theunderlying wave operator in such media has a band-gap structure: there exist intervals offrequences for which monochromatic waves do not propagate. Moreover, by introducinglinear defects in this kind of media, one can create guided modes inside the bands offorbidden frequences. In this work we show that it is possible to create such guidedmodes in the case of particular periodic media of grid type: more precisely, the periodicdomain in question is R2 minus an infinite set of rectangular obstacles periodically spacedin two orthogonal directions (the distance between two neighbour obstacles being "),which is locally perturbed by diminishing the distance between two columns of obstacles.The results are extended to the 3D case.This work has a theoretical and a numerical aspect. From the theoretical point of view theanalysis is based on the fact that, " being small, the spectrum of the operator associatedwith our problem is "close" to the spectrum of a problem posed on a graph which is ageometric limit of the domain as " tends to 0. However, for the limit graph the spectrumcan be computed explicitly. Then, we study the spectrum of the non-limit operatorusing asymptotic analysis. Theoretical results are illustrated by numerical computationsobtained with a numerical method developed for study of periodic media: this method isbased on the reduction of the initial (linear) eigenvalue problem posed in an unboundeddomain to a non-linear problem posed in a bounded domain (using the exact Dirichletto-Neumann operator).