Waveletteori er en forholdsvis ny matematisk disciplin, som har vakt stor interesse indenfor b°ade teoretisk og anvendt matematik i løbet af det seneste °arti. De altafgørende egenskaber ved wavelets er at de kan analysere forskellige dele af en funktion p°a forskellige skalatrin, samt at de kan repræsentere polynomier nøjagtigt op til en given grad. Dette fører til, at funktioner med hurtige oscillationer eller singulariteter indenfor lokaliserede omr°ader kan approksimeres godt med en linearkombination af forholdsvis f°a wavelets. Til sammenligning skal man medtage mange led i en Fourierrække for at opn°a en god tilnærmelse til den slags funktioner. Disse egenskaber ved wavelets har med held været anvendt indenfor signalbehandling. Denne afhandling omhandler wavelets rolle indenfor scientific computing og den best°ar af tre dele: Del I giver en gennemgang af teorien for ortogonale, kompakt støttede wavelets med udgangspunkt i multiskala analyse. S°adanne wavelets er særligt attraktive, fordi de giver anledning til en stabil og særdeles effektiv algoritme, kaldet den hurtige wavelet transformation (FWT). Vi giver estimater for approksimationsegenskaberne af wavelets og demonstrerer, hvordan og hvorfor FWT-algoritmen kan bruges som første led i en effektiv billedkomprimerings metode. Del II omhandler forskellige implementeringer af FWT algoritmen p°a vektorcomputere og parallelle datamater. Vi udvikler en effektiv og skalerbar parallel FWT algoritme og angiver en model for dens ydeevne. Del III omfatter et studium af mulighederne for at bruge wavelets særlige egenskaber til at løse partielle differentialligninger numerisk. Flere forskellige tilgange identificeres og to af dem beskrives detaljeret. De udviklede algoritmer anvendes p°a den ikke-lineære Schr¨odinger ligning og Burgers ligning. Numeriske undersøgelser viser, at algoritmerne kan være effektive under forudsætning af at problemerne er store, at løsningerne er stærkt lokaliserede og at de forskellige numeriske metode-parametre kan vælges p°a passende vis afhængigt af det p°agældende problem.

Nous présentons de nouveaux schémas numériques pour l'approximation de problèmes de diffusion hétérogène et anisotrope sur des maillages généraux. Sous des hypothèses correspondant aux cas industriels, nous montrons qu'un premier schéma, qui est centré sur les mailles, possède un petit stencil et converge dans le cas de tenseurs discontinus. La preuve de la convergence repose sur des propriétés de consistance des gradients discrets issus du schéma. Dans une seconde partie, nous proposons des méthodes de correction non linéaire du schéma initial pour obtenir le principe du maximum. L'efficacité de ces schémas est étudiée sur des tests numériques ayant fait l'objet de bancs d'essais d'une grande variété de schémas de volumes finis. Les comparaisons avec les schémas volumes finis classiques montrent l'apport de ces schémas en termes de précision. Nous montrons ainsi le bon comportement de ces schémas sur des maillages déformés, et le maintien de la précision des schémas non-linéaires, alors que les oscillations ont été supprimées.

La simulation numérique des phénomènes physiques est devenue un élément incontournable dans la boite à outils de l'ingénieur mécanicien. Des outils robustes et modulables, basés sur les méthodes classiques d'approximation, sont désormais couramment utilisés dans l'industrie. Cependant, ces outils nécessitent des moyens de calculs importants lorsqu'ils sont utilisés pour résoudre des problèmes complexes. Même si les progrès remarquables de l'industrie informatique rendent de tels moyens de calcul toujours plus abordables, il s'avère aujourd'hui nécessaire de proposer des méthodes d'approximation innovantes permettant de mieux exploiter les ressources informatiques disponibles. Les méthodes de réduction de modèle sont présentées comme un candidat idéal pour atteindre cet objectif. Parmi celles-ci, les méthodes basées sur la construction d'une approximation à variables séparées se sont révélées être très efficaces pour approcher la solution d'une grande variété de problèmes, réduisant les coûts numériques de plusieurs ordres de grandeur. Néanmoins, l'efficacité de ces méthodes dépend considérablement du problème traité. Aussi, on se propose ici d'évaluer l'intérêt d'une approximation à variables séparées espace-temps dans le cadre de problèmes académiques de dynamique transitoire. On définit tout d'abord la meilleure approximation (au sens d'un problème de minimisation) de la solution d'un problème transitoire, sous la forme d'une représentation à variables séparées espace-temps. Le calcul de cette approximation étant basé sur l'hypothèse que la solution du problème de référence est connue (méthode a posteriori), la suite du manuscrit est dédiée à la construction d'une telle approximation sans autres connaissances a priori sur la solution de référence, que les opérateurs du problème espace-temps dont elle est solution (méthode a priori). Un formalisme générique, basé sur une représentation tensorielle des opérateurs du problème espace-temps est alors introduit dans un cadre multichamps. On développe ensuite un solveur exploitant ce format générique, pour construire une approximation à variables séparées espace-temps de la solution d'un problème transitoire. Ce solveur est basé sur la décomposition généralisée propre de la solution (Proper Generalized Decomposition - PGD). Un état de l'art des algorithmes existants permet alors d'évaluer l'efficacité des définitions classiques de la PGD pour approcher la solution de problèmes académiques de dynamique transitoire. Les résultats obtenus mettant en défaut l'optimalité de la PGD la plus robuste, une nouvelle définition, récemment introduite dans la littérature, est appliquée dans un cadre multichamps à la résolution d'un problème d'élastodynamique 2D. Cette nouvelle définition, basée sur la minimisation du résidu dans une norme idéale, permet finalement d'obtenir une très bonne approximation de la meilleure approximation de rang donné, sans avoir à calculer un grand nombre de modes espace-temps. / Numerical simulation of physical phenomena has become an indispensable part of the mechanical engineer's toolbox. Robust and flexible tools, based on classical approximation methods, are now commonly used in industry. However, these tools require lots of computational resources to solve complex problems. Even if such resources are more and more affordable thanks to the remarkable progress in computer industry, it is now necessary to propose innovative approximation methods in order to better exploit the impressive amount of computational resources that are todays available. Reduced order modeling techniques are presented as ideal candidates to address this issue. Among these, methods based on the construction of low rank separated approximations have been shown to be very efficient to approach solutions of a wide variety of problems, reducing computational costs by several orders of magnitude. Nonetheless, efficiency of these methods significantly depends on the considered problem. In this manuscript, we propose to evaluate interest of space-time separated representations to approach solutions of academical transient dynamic problems. We first define the best space-time separated approximation (with respect to a minimization problem) of a given solution of a transient problem. The construction of this approximation being based on the hypothesis that the problem's solution is known (a posteriori method), the following of the manuscript is dedicated to the construction of such an approximation without any other knowledge on the reference solution than the operators of the space-time problem from which it is solution (a priori method). We then introduce a generic formalism, based on the tensor product structure of the operators of the space-time problem, in a multi-field framework. Next, this formalism is used to develop a generic solver that builds a separated approximation of a transient problem's solution, with the help of the Proper Generalized Decomposition (PGD). A state of art of existing algorithms is done, and efficiency of classical definitions of PGD to approach solutions of several academical transient dynamic problems is evaluated. Numerical results highlight the lack of optimality of the more robust PGD. Therefore, a new PGD definition, recently introduced in literature, is applied to solution of an elastodynamic problem in a multi-field framework. This new definition is based on minimization of an ideal residual norm and allows to find a very good approximation of the best approximation of a given rank, without having to calculate more space-time modes than needed.

Un des ingrédients principaux pour la simulation numérique des écoulements des fluides (hydrocarbures, gaz naturel) en milieux poreux est la discrétisation des termes elliptiques anisotropes et hétérogènes. Dans l’industrie pétrolière, la nécessité d’améliorer la précision des simulations dans les régions proches des puits a suscité l’utilisation de maillages non structurés généraux et des tenseurs de perméabilité pleins. Notre défi a été de trouver des discrétisations consistantes et robustes des termes elliptiques anisotropes, hétérogènes sur maillages généraux. Notre recherche s’est focalisée sur des méthodes volumes finis qui soient consistantes, stables sur maillages polyédriques généraux, robustes par rapport à l’anisotropie et l’hétérogénéité du tenseur de perméabilité, qui mènent à des systèmes linéaires bien conditionnés pour lesquels des stratégies de préconditionnement optimales peuvent être conçues et qui donnent un stencil compact pour réduire les communications dans les implémentations parallèles. Pour répondre à cette recherche, nous avons proposé plusieurs schémas tels que MPFA O généralisé, G scheme, CG method, VFSYM, DIOPTRE. Nous avons prouvé également que toutes ces méthodes convergent sous des hypothèses adéquates à la fois sur le tenseur de perméabilité et le maillage / One of the key ingredients for the numerical simulation of Darcy flow in heterogeneous porous media is the discretization of anisotropic heterogeneous elliptic terms. In the oil industry, the need to improve accuracy in near wellbore regions has prompted the use of general unstructured meshes and full permeability tensors. Our effort has therefore been devoted to find consistent and robust finite volume discretizations of anisotropic, heterogeneous elliptic terms on general meshes. Our research was focused on finite volume methods which are consistent and coercive on general polyhedral meshes as well as robust with respect to the anisotropy and heterogeneity of the permeability tensor ; yield well-conditioned linear systems for which optimal preconditioning strategies can be devised ; have a narrow stencil to reduce the communications in parallel implementations. To answer to this search, we have proposed several scemes such that generalized MPFA O, G scheme, CG method, VFSYM, DIOPTRE. We proved also the convergence of all these methods under suitable assumptions on both the permeability tensor and the mesh

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2015-2016 / La théorie de la ruine est un des domaines des sciences actuarielles où la complexité mathématique est un facteur limitant les chercheurs. Dans ce mémoire, on s'intéresse donc à des méthodes numériques permettant d'approximer différentes quantités d'intérêt. Cependant, avant d'aborder le coeur du sujet, on fournit une revue de la littérature concernant la théorie de la ruine et on étudie certaines mesures de ruine en temps infini pour des modèles de risque où il y a dépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistre. On présente aussi les bases mathématiques nécessaires à la compréhension de ce mémoire pour toute personne ayant des connaissances de bases en science actuarielle et en statistiques. Puis, le c÷ur de ce travail, l'évaluation numérique de mesures de ruine à l'aide de trois méthodes numériques basées sur la simulation, respectivement (1) la méthode de Monte Carlo simple, (2) la méthode basée sur l'expression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine, et (3) la méthode basée sur l'échantillonnage préférentiel. Nous discuterons également de la qualité respective de chaque méthode. En particulier, nous montrerons que la méthode basée sur l'échantillonnage préférentiel fournit des résultats sans biais et avec une erreur relative bornée. On présentera aussi plusieurs illustrations numériques. / Ruin theory is a field in actuarial science where researchers are often impeded by mathematical complexity. In this thesis, we look at some numerical methods that can be used to alleviate this problem. Before getting to the core of this work, we provide a review of the litterature concerning ruin theory and we study some infinite-time ruin measures within risk models assuming dependence between interclaim times and claim amounts. We also present the mathematical background necessary to understand this memoir for anyone with a basic understanding of actuarial science and statistics. The main focus of this work is the computation of ruin measures via three different methods based on simulations, namely (1) the crude Monte Carlo method, (2) a variant of the previous method based on Gerber's exact expression for the ruin probability, and (3) the importance sampling method based on change of measure techniques. Another topic that is discussed is the quality of the approximation of each method. In particular, we show that the importance sampling method provides unbiased approximations for the Gerber-Shiu function and bounded relative errors. We also present numerous numerical illustrations.

Titre de l'écran-titre (visionné le 26 juin 2023) / Ce travail porte sur le problème d'optimisation de forme dans le cadre de la mécanique des solides en petites déformations, et plus spécialement sur les différentes méthodes numériques utilisées pour résoudre le problème. Une présentation de la théorie de la mécanique des milieux continus, axée sur la mécanique des solides, sera présentée. L'équation de l'équilibre dynamique, qui sera utilisée comme équation d'état dans le reste du mémoire, y sera dérivée. Par la suite, un bref rappel de la théorie de l'optimisation dans les espaces de Hilbert sera fait, particulièrement sur les conditions d'optimalité pour des problèmes avec ou sans contrainte. On étudiera également les différents modèles qui existent pour représenter mathématiquement l'espace des formes admissibles, ainsi que les difficultés théoriques qui se cachent derrière le problème d'optimisation de forme. Puis, on s'intéressera aux méthodes numériques utiles à la résolution de ce problème : en premier, des paradigmes de discrétisation pour résoudre l'équation d'état en mécanique seront présentés, notamment la méthode des éléments finis (MEF). Deuxièmement, une revue des différentes techniques d'optimisation numérique sera faite, pour donner une vue d'ensemble des algorithmes qui peuvent être utilisés sur le problème d'optimisation de forme. Finalement, quelques unes de ces méthodes seront implémentées dans le logiciel d'éléments finis MEF++ et testées sur des cas classiques d'optimisation topologique dans le paradigme SIMP, principalement dans le but de faire une analyse de leur comportement sur des instances de dimension élevée, en parallèle, sur une grappe de calcul. / This work is dedicated to shape optimization problems applied to linear elasticity, focusing mostly on the numerical methods used to solve these problems. An overview of continuum mechanics is first presented. The linear dynamic equilibrium equation is derived, as it is the classical state equation for most shape optimization problems in solid mechanics. Subsequently, the theory of optimization in general Hilbert spaces is presented, with emphasis on the existence and uniqueness conditions for optimality, for both constrained and unconstrained problems. Different models for representing shapes mathematically and their known theoretical limitations are also described. Then, numerical methods for the solution of the mechanical state equation are explored, in particular, the finite element method (FEM). A review of different algorithms to solve the discretized optimization problem is done afterwards, to give an overview of the wide array of available methods. Finally, some of those algorithms are implemented in the finite element software MEF++ and are tested on classical topology optimization problems with the SIMP model, mainly to study their performance on high-dimensional instances solved on a parallel computer cluster.

Ce manuscrit de thèse décrit en profondeur un modèle de cicatrisation osseuse qui est ensuite couplé avec un modèle de dynamique des fluides pour modéliser la croissance osseuse en bioréacteur (unité reproduisant les conditions de culture in vivo). Le modèle proposé est un modèle de dynamique des populations décrivant l'évolution spatio-temporelle des cellules souches mésenchymateuses, des ostéoblastes, de la matrice osseuse et d'un facteur de croissance. Pour ce modèle, nous avons montré à l'aide d'approximations de Faedo-Galerkin qu'il admettait au moins une solution faible physiquement admissible (concentrations positives et majorées). Le point délicat de cette démonstration réside dans l'obtention des estimations d'énergie, la difficulté provient du fait que certaines populations n'admettent pas de termes spatiaux. Nous avons ensuite proposé un schéma numérique pour des maillages admissibles. La discrétisation est classique hormis pour le terme d'haptotaxie (non linéaire) qui est discrétisé par un schéma de type décentré amont mais vérifiant en plus une propriété de monotonie. Nous avons montré l'existence et la convergence des solutions discrètes physiquement admissibles vers une solution faible physiquement admissible. Grâce à ce schéma, nous avons réalisé différentes simulations qui nous ont permis de valider le modèle. Pour modéliser la culture osseuse en bioréacteur, nous avons couplé le modèle précédent avec un modèle de dynamique des fluides en milieu poreux. Ce couplage prend en compte les effets des contraintes de cisaillement sur la différenciation ostéoblastique et le transport des populations par l'écoulement du milieu de culture.

La première partie du mémoire résume des travaux en simulation moléculaire. On s'intéresse à des systèmes de particules ponctuelles (représentant typiquement les noyaux des atomes d'un système moléculaire), qui interagissent via une énergie potentielle. Les degrés de liberté du système sont la position et l'impulsion de chaque particule. La complexité du problème vient du nombre de degrés de liberté en jeu, qui peut atteindre (et dépasser!) plusieurs centaines de milliers d'atomes pour les systèmes d'intérêt pratique. <br> Les questions étudiées portent sur l'échantillonnage de la mesure de Boltzmann-Gibbs (avec des résultats concernant la non-ergodicité de certains systèmes dynamiques proposés dans la littérature), et sur la construction de dynamiques effectives: supposant que le système suit une dynamique X_t régie par l'équation de Langevin amortie, et se donnant une variable scalaire macroscopique xi(X), lente en un certain sens, nous proposons une dynamique mono-dimensionnelle fermée qui approche xi(X_t), et dont la précision est estimée à l'aide de méthodes d'entropie relative. <br> Une autre partie du travail consiste à développer de nouveaux schémas numériques pour des problèmes Hamiltoniens hautement oscillants (souvent rencontrés en simulation moléculaire), en suivant une démarche d'homogénéisation en temps. Nous avons aussi proposé une adaptation au contexte Hamiltonien de l'algorithme pararéel, permettant d'obtenir la solution d'un problème d'évolution par des méthodes de calcul parallèle. <br><br> La seconde partie du mémoire présente des travaux sur la dérivation de modèles à l'échelle du continuum à partir de modèles discrets (à l'échelle atomistique), pour les solides, et sur le couplage de ces deux modèles, discret et continu. Une première approche consiste à poser le problème sous forme variationnelle (modélisation à température nulle). Nous nous sommes aussi intéressés au cas de systèmes à température finie, modélisés dans le cadre de la mécanique statistique. Dans certains cas, nous avons obtenu des modèles réduits, macroscopiques, où la température est un paramètre, en suivant des approches de type limite thermodynamique. <br><br> La troisième partie du mémoire s'intéresse à des questions d'homogénéisation stochastique, pour des équations aux dérivées partielles elliptiques linéaires. Les matériaux sont donc modélisés à l'échelle du continuum. Le constat qui motive notre travail est le fait que, même dans les cas les plus simples sur le plan théorique, les méthodes numériques à ce jour disponibles en homogénéisation stochastique conduisent à des calculs très lourds. Nous avons travaillé dans deux directions. La première consiste à réduire la variance des quantités aléatoires effectivement calculées, seules accessibles en pratique pour approcher la matrice homogénéisée. La seconde est d'étudier le cas de problèmes faiblement stochastiques, en partant du constat que les matériaux hétérogènes, rarement périodiques, ne sont pas pour autant systématiquement fortement aléatoires. Le cas d'un matériau aléatoire pour lequel cet aléa n'est qu'une petite perturbation autour d'un modèle périodique est donc intéressant, et peut se traiter avec un coût calcul beaucoup plus abordable.

Ce mémoire présente quelques contributions à la prise en compte de diverses conditions limites ou d'interface lors de la résolution de problèmes par la méthode des éléments finis. Diverses techniques sont passées en revue, avec un focus sur celle de Nitsche. Les problèmes traités proviennent de la mécanique des solides et des fluides, comme par exemple l'interaction fluide-structure ou le contact.