Thèse de doctorat : Mécanique et Energétique : Nancy 1 : 2008. / Titre provenant de l'écran-titre.

Dans ce travail, nous proposons différentes méthodes de Volumes Finis (centrée cellule, Éléments-Volumes Finis conforme et Éléments-Volumes Finis non conforme) pour des problèmes où surviennent des singularités. Nous nous intéressons tout d'abord au cas des singularités de coin intervenant en dimension deux pour diverses problèmes elliptiques (problème de Laplace, systèmes de Stokes et de Navier-Stokes). En effet, lorsque nous considérons un problème elliptique sur un domaine non convexe de R², la présence de singularités de coin détériore l'ordre de convergence des méthodes numériques (Différences Finies, Éléments Finis ou Volumes Finis). Nous montrons alors comment, pour les diverses méthodes de Volumes Finis étudiées, un raffinement de maillage local permet de restaurer un ordre de convergence optimal. Nous abordons ensuite les problèmes de couche limite en dimension deux intervenant dans les problèmes singulièrement perturbés. La solution de tels problèmes est caractérisée par un fort gradient local que n'arrive pas à capturer les méthodes de Volumes Finis sur des maillages standards. Nous étudions donc, pour un problème modèle de réaction-diffusion perturbé, la convergence des méthodes de Volumes Finis centrée cellule, d'Éléments- volumes Finis conforme et d'Éléments- volumes Finis non conformes sur des maillages anisotropes. Nous évoquons en dernier lieu le cas des singularités intervenant en dimension trois. Pour le cas du problème de Laplace considéré sur un domaine non convexe tridimensionnel et discrétisé par les méthodes de Volumes précédemment vues, nous illustrons numériquement, d'une part, le fait que les maillages uniformes apportent un ordre de convergence non optimal, et d'autre part, comment un raffinement de maillage local permet d'améliorer la situation.

Les travaux de recherche présentés dans ce mémoire portent sur des méthodes d'homogénéisation et d'approximation numérique pour des écoulements mono ou multiphasiques en milieux poreux hétérogènes. Les applications visées proviennent des problèmes de l'ingénierie pétrolière, la gestion des déchets radioactifs et la gestion des ressources en eau souterraines. On s'intéresse à des méthodes numériques pour le calcul des coefficients effectifs obtenus par des méthodes asymptotiques de mise à l'échelle, à des méthodes d'éléments finis mixtes, à des méthodes de volumes finis et à leur implémentation. Des méthodes numériques ont été développées pour la simulation des écoulements miscibles ou immiscibles en milieux poreux hétérogènes. Trois thèmes sont abordés. Le premier traite de l'homogénéisation pour des écoulements mono ou multiphasiques en milieux poreux. Les résultats de convergence obtenus sont établis à l'aide de la convergence à deux échelles et/ou la L-convergence. Le calcul des paramètres effectifs nécessite la résolution de problèmes locaux sur une cellule de base. Les méthodes numériques utilisées sont de type éléments finis conformes, éléments finis mixtes et volumes finis. Nous avons développé une plate-forme (Homogenizer++), en Java, de calcul de paramètres effectifs. Homogenizer++ est basée sur une Interface Homme Machine conviviale et utilisée comme un pré-processing à des simulations numériques d'écoulements en milieux poreux hétérogènes. Le deuxième thème porte sur l'approximation numérique de systèmes d'écoulements diphasiques miscibles ou immiscibles en milieux poreux. Le modèle miscible fait intervenir une équation elliptique couplée à une équation de diffusion-convection-réaction linéaire. Tandis que le modèle immiscible fait intervenir une équation elliptique couplée à une équation de diffusion-convection nonlinéaire et dégénérée. On utilise une méthode d'éléments finis mixtes pour l'approximation de l'équation elliptique combinée à un schéma volumes finis pour l'équation de diffusion-convection. Pour chaque système, on montre que le schéma est $L^\infty$ et BV stables, sous une condition CFL, et satisfait le principe du maximum discret. Ensuite, on établit des résultats de convergence vers la solution faible du problème. Les simulations numériques réalisées confirment l'efficacité des schémas numériques proposés. Un estimateur a posteriori d'un schéma volume finis pour l'équation de Darcy a été développé pour des maillages anisotropiques. On montre théoriquement et numériquement l'efficacité de cette méthode d'adaptation de maillage. Enfin le dernier thème concerne des méthodes d'approximation numérique pour des problèmes de ressources en eau souterraines. Une méthode sans maillage couplée à un algorithme génétique a été développée et implémentée pour une équation de diffusion modélisant un écoulement monophasique en milieux poreux. Puis on montre numériquement l'efficacité d'une méthode combinant les éléments frontières et un algorithme génétique pour un problème d'intrusion d'eau marine dans les nappes aquifères.

Nous présentons de nouveaux schémas numériques pour l'approximation de problèmes de diffusion hétérogène et anisotrope sur des maillages généraux. Sous des hypothèses correspondant aux cas industriels, nous montrons qu'un premier schéma, qui est centré sur les mailles, possède un petit stencil et converge dans le cas de tenseurs discontinus. La preuve de la convergence repose sur des propriétés de consistance des gradients discrets issus du schéma. Dans une seconde partie, nous proposons des méthodes de correction non linéaire du schéma initial pour obtenir le principe du maximum. L'efficacité de ces schémas est étudiée sur des tests numériques ayant fait l'objet de bancs d'essais d'une grande variété de schémas de volumes finis. Les comparaisons avec les schémas volumes finis classiques montrent l'apport de ces schémas en termes de précision. Nous montrons ainsi le bon comportement de ces schémas sur des maillages déformés, et le maintien de la précision des schémas non-linéaires, alors que les oscillations ont été supprimées.

Nous avons modélisé numériquement la stabilité d'un système de deux couches d'un même fluide pur supercritique soumis à une différence de température initiale à l'interface. La grande compressibilité et la faible diffusivité thermique des fluides critiques entraînent une instabilité gravitationnelle de type Rayleigh-Taylor de la couche de diffusion. Cette instabilité est similaire à celle que l'on retrouve dans le cas de deux fluides miscibles à condition de remplacer le coefficient de diffusion moléculaire par celui de la diffusion thermique. Nos résultats numériques semblent être consistants, d'un point de vue de la relation de dispersion dans le cas linéaire, avec ceux de Duff et al. [Duf62] considérés dans le cas de deux fluides miscibles. Nous avons aussi montré que, lorsque l'épaisseur de la couche inférieure devient plus petite que l'épaisseur de la couche de diffusion thermique basée sur le taux de croissance maximal alors le système devenait stable. Un diagramme de stabilité a été établi en fonction de trois paramètres: l'épaisseur de la couche inférieure, la différence de densité entre les deux couches et la distance au point critique. Lorsque l'on s'approche du point critique, la stratification devient de plus importante (à cause de la forte compressibilité) et tend à stabiliser la configuration. Par ailleurs, le filtrage acoustique initialement utilisé afin de réduire les coûts de calcul, ne s'est pas avéré nécessaire puisque la méthode des volumes finis est naturellement filtrante (formulation intégrale ou variationnelle des équations).

Reproduction de : Thèse de doctorat : Dynamique des fluides : Toulouse, INPT : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 114 réf.

Un des ingrédients principaux pour la simulation numérique des écoulements des fluides (hydrocarbures, gaz naturel) en milieux poreux est la discrétisation des termes elliptiques anisotropes et hétérogènes. Dans l’industrie pétrolière, la nécessité d’améliorer la précision des simulations dans les régions proches des puits a suscité l’utilisation de maillages non structurés généraux et des tenseurs de perméabilité pleins. Notre défi a été de trouver des discrétisations consistantes et robustes des termes elliptiques anisotropes, hétérogènes sur maillages généraux. Notre recherche s’est focalisée sur des méthodes volumes finis qui soient consistantes, stables sur maillages polyédriques généraux, robustes par rapport à l’anisotropie et l’hétérogénéité du tenseur de perméabilité, qui mènent à des systèmes linéaires bien conditionnés pour lesquels des stratégies de préconditionnement optimales peuvent être conçues et qui donnent un stencil compact pour réduire les communications dans les implémentations parallèles. Pour répondre à cette recherche, nous avons proposé plusieurs schémas tels que MPFA O généralisé, G scheme, CG method, VFSYM, DIOPTRE. Nous avons prouvé également que toutes ces méthodes convergent sous des hypothèses adéquates à la fois sur le tenseur de perméabilité et le maillage / One of the key ingredients for the numerical simulation of Darcy flow in heterogeneous porous media is the discretization of anisotropic heterogeneous elliptic terms. In the oil industry, the need to improve accuracy in near wellbore regions has prompted the use of general unstructured meshes and full permeability tensors. Our effort has therefore been devoted to find consistent and robust finite volume discretizations of anisotropic, heterogeneous elliptic terms on general meshes. Our research was focused on finite volume methods which are consistent and coercive on general polyhedral meshes as well as robust with respect to the anisotropy and heterogeneity of the permeability tensor ; yield well-conditioned linear systems for which optimal preconditioning strategies can be devised ; have a narrow stencil to reduce the communications in parallel implementations. To answer to this search, we have proposed several scemes such that generalized MPFA O, G scheme, CG method, VFSYM, DIOPTRE. We proved also the convergence of all these methods under suitable assumptions on both the permeability tensor and the mesh

Les transferts de chaleur par convection forcée turbulente dans une conduite plane partiellement remplie par un milieu poreux sont étudiés numériquement. L'étude concerne l'analyse de l'encrassement dans un canal plan représentatif d'un échangeur de chaleur à plaques. Un fluide, ayant un fort pouvoir encrassant, est considéré en régime turbulent. L'objectif de cette étude est de proposer une technique qui repose sur l'utilisation de matériaux fibreux comme capteur de particules pouvant réduire les méfaits de l'encrassement. Cela consiste à essayer de réduire la résistance d'encrassement en agissant sur les propriétés thermiques du dépôt. L'étude de la cinétique de l'encrassement permet de déterminer la loi de variation de l'épaisseur du dépôt au cours du temps. Cette équation est couplée aux équations de conservation. Un modèle de conductivité thermique effective (fluide, dépôt, fibres poreuses) a été choisi et le phénomène de colmatage de la matrice poreuse est considéré. L'apport du milieu poreux sur les performances de l'échangeur est analysé

Le Steam Assisted Gravity Drainage (SAGD) est le procédé de récupération thermique sur lequel plusieurs compagnies pétrolières fondent de grande espoirs. Il consiste en deux horizontaux forés l'un au-dessus de l'autre à quelques mètres d'écart. De la vapeur est injectée dans le réservoir par le puits supérieur ce qui provoque la formation d'une chambre. L'huile au voisinage des parois de la chambre se réchauffe et descend ensuite par gravité vers le puits producteur avec l'eau liquide issue de la condensation de la vapeur. La simulation numérique de ce procédé est un outil qui permet de comprendre les mécanismes physiques, d'estimer la production et d'évaluer les investissement ainsi que les risques associés. Cependant, les simulations numériques de SAGD présentent des inconvénients : la zone d'écoulement est peu épaisse comparée aux dimensions du réservoir. La discrétisation en espace doit être assez fine si l'on souhaite prédire de façon précise la production, ce qui peut amener à des simulations à plusieurs millions de mailles dans des cas réels et donc à des temps de simulation extrêments longs. A l'IFP, un générateur de maillages adaptatifs permet de mettre à jour le maillage au cours de la simulation en raffinant localement les mailles situées dans la zone d'écoulement. Basés sur des estimations d'erreur a posteriori pour des schémas volumes finis pour des équations hyperboliques non linéaires, les nouveaux critères de raffinement que nous proposons ont la particularité de dépendre des données initiales du problème

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.