Ce travail est consacré à la simulation numérique des écoulements inertes et réactifs stabilisés en aval d'un élargissement brusque symétrique, alimenté par deux écoulements de canal pleinement développés d'air ou air+propane.<br />L'objectif est, d'une part, de tester sur une géométrie "simple", une modélisation de la combustion en écoulements turbulents et en régime de prémélange et, d'autre part, d'estimer le niveau de précision obtenue afin de pouvoir quantifier une éventuelle amélioration liée à l'utilisation de modèles plus sophistiqués. Le modèle de turbulence k-epsilon sous sa forme standard avec la loi de paroi, et le modèle de combustion du type PDF présumé, modèle CLE, ont été retenus pour nos simulations.<br />Une étude préliminaire du type KPP nous a permis de déduire les caractéristiques propagatives des zones de réactions moyennes à richesse constante, calculées sur la base du modèle de combustion retenu.<br />Dans ce travail, ont été simulés : trois écoulements inertes et trois écoulements réactifs à richesse constante pour nombres de Reynolds égaux à 25000, 50000 et 75000 et deux écoulements réactifs à richesse variable pour nombre de Reynolds 25000.<br />Concernant les écoulements inertes, on retrouve bien la dissymétrie observée expérimentalement des deux zones de recirculation moyennes. Pour les écoulements réactifs à richesse constante, on retrouve également la resymétrisation de l'écoulement moyen observée expérimentalement.<br />En revanche, la longueur des zones de recirculation moyenne est fortement sous-estimée par le calcul.<br />Un comportement auto-semblable dans la zone proche de l'élargissement est également retrouvé. Pour les écoulements à richesse variable, la perte de symétrie de l'écoulement moyen est bien retrouvée, mais les longueurs des zones de recirculation moyennes sont toujours sous-estimées par le calcul. Des indicateurs quantitatifs d'écart entre les résultats numériques et expérimentaux sont fournis pour les écoulements inertes et réactifs considérés, permettant à l'avenir, d'estimer le gain apporté par le recours à des simulations basées sur une évolution ou sur une amélioration de modèles physiques retenus de le cadre de cette étude.

On aborde des questions liées à l'étude de quelques aspects de la modélisation mathématique en mécanique des fluides et des structures. Cette étude s'articule principalement autour de deux thèmes : le couplage fluid-structure, l'analyse de problèmes d'écoulements peu profonds à surface libre.

Les travaux de recherches présentés dans ce document sont axés autour de deux thèmes. La première thématique concerne l'élaboration de méthodes numériques pour la simulation des solutions d'équations de type Schrödinger linéaire et non linéaire intervenant en mécanique des fluides et en optique non linéaire, en couplant l'analyse de schémas numériques et la construction de conditions aux limites artificielles. Le deuxième thème aborde la modélisation de phénomènes d'instabilité dans le plasma ionosphérique terrestre.

Dans le domaine de la forge, la problématique de la réduction des coûts de production se fait ressentir à plusieurs niveaux de la fabrication. Un point essentiel concerne la réduction du coût d'outillage par pièce forgée. La simulation numérique permet d'effectuer des études de faisabilité à coût réduit. On peut désormais utiliser la simulation numérique dans une approche d'optimisation des outillages. Pour augmenter la durée de vie des outils, il faudra prendre en compte deux facteurs essentiels: l'usure et les sollicitations thermomécaniques subies par les outils. Dans cette thèse, nous avons d'abord mis au point une formulation thermomécanique et numérique du problème thermomécanique couplé sur le système complet pièces-outillages. La résolution de ce problème multicorps nous a permis de modéliser le comportement des outils au cours du procédé de forgeage à chaud. Les temps de calculs importants générés par ce type d'approche nous ont conduit à mettre au point et à tester différentes stratégies algorithmiques pour permettre de réduire les temps de calcul. Ces stratégies sont maintenant utilisables et leur comparaison a mis en évidence leurs avantages relatifs. Il s'agira en fait dans la plupart des cas de faire un compromis entre la durée des calculs et la précision souhaitée. Les résultats présentés ici permettront aux futurs modélisateurs de faire le choix entre ces différentes méthodes. Les résultats thermomécaniques obtenus sur les outillages nous ont permis de mettre en place un modèle de calcul d'usure, ainsi qu'une stratégie de calcul pour obtenir dans des temps raisonnables des résultats sur des résultats sur des cas de cyclage, pour mieux simuler des passes de forgeage.

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Les méthodes particulaires sont des méthodes numériques adaptées à la résolution d'équations de conservation. Leur principe consiste à introduire des particules ''numériques'' conservant localement l'inconnue sur un petit volume, puis à les transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu'un terme source est présent dans les équations, l'évolution de la solution le long des caractéristiques est prise en compte par une intéraction entre les particules. Ces méthodes possèdent de bonnes propriétés de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL qui peuvent être contraignantes pour les méthodes Eulériennes. Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit être satisfaite pour vérifier des propriétés de convergence de la méthode. Pour satisfaire cette condition de recouvrement, un remaillage périodique des particules est souvent utilisé. Elle consiste à recréer régulièrement de nouvelles particules uniformément réparties, à partir de celles ayant été advectées à l'itération précédente. Quand cette étape de remaillage est effectuée à chaque pas de temps, l'analyse numérique de ces méthodes particulaires remaillées nécessite d'être reconsidérée, ce qui représente l'objectif de ces travaux de thèse. Pour mener à bien cette analyse, nous nous basons sur une analogie entre méthodes particulaires avec remaillage et schémas de grille. Nous montrons que pour des grands pas de temps les schémas numériques obtenus souffrent d'une perte de précision. Nous proposons des méthodes de correction, assurant la consistance des schémas en tout point de grille, le pas de temps étant contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette méthode est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites de manière à remailler les particules sans créer d'oscillations en présence de fortes variations de la solution. Enfin, ces méthodes sont généralisées aux dimensions plus grandes que un en s'inspirant du principe de splitting d'opérateurs. Les applications numériques présentées dans cette thèse concernent la résolution de l'équation de transport sous forme conservative en dimension un à trois, dans des régimes linéaires ou non-linéaires.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relâchée et pour lequel la convergence est garantie. Dans la dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour plusieurs modèles. Dans un premier temps nous considérons un système purement gravitationnel où les particules interagissent avec le potentiel de Newton. Nos simulations montrent que la matrice d'appariement est toujours non nulle, un fait qui n'a pas encore pu être démontré rigoureusement. Nous étudions ensuite un modèle très simplifié pour la description de protons et neutrons dans le noyau atomique.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relachée et pour lequel la convergence est garantie. Dans dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour plusieurs modèles. Dans un premier temps nous considérons un système purement gravitationnel où les particules interagissent avec le potentiel de Newton. Nos simulations montrent que la matrice d'appariement est toujours non nulle, un fait qui n'a pas encore pu être démontré rigoureusement. Nous étudions ensuite un modèle très simplifié pour la description de protons et neutrons dans le noyau atomique.

Cette thèse porte sur la stabilité des ondes solitaires et plus précisément sur les applications de l'indice de Maslov au problème de la stabilité spectrale des ondes solitaires unidimensionnelles. Nous montrons comment la stabilité peut être liée à l'étude d'une famille d'équations aux dérivées ordinaires linéaires hamiltoniennes. Il est alors possible de définir un indice de Maslov pour les ondes périodiques et les ondes solitaires. Nous calculons ensuite la limite de l'indice de Maslov d'une suite d'ondes périodiques approchant une onde solitaire et la comparons à l'indice de Maslov de l'onde solitaire. Nous décrivons un algorithme utilisant l'algèbre extérieure pour calculer cet indice de Maslov à la fois dans le cas périodique et le cas onde solitaire. Nous appliquons cette approche aux ondes périodiques et aux ondes solitaires de l'équation de Kawahara ainsi qu'aux ondes solitaires apparaissant dans un modèle pour l'interaction entre ondes longues et ondes courtes. Enfin, nous examinons la stabilité des ondes stationnaires apparaissant dans l'équation de Korteweg-de Vries avec forçage en utilisant une méthode légèrement différente.

Ce document est consacré à l'étude de quelques écoulements de fluides complexes appliquée à la micro-fluidique. Deux études indépendantes sont effectuées : d'une part l'étude des mélanges de fluides Newtoniens dans des micro-canaux fins, et d'autre part l'étude d'écoulements de Micelles géantes (fluides non-Newtoniens). Dans chaque étude on traite tout d'abord des modèles en détail, puis on effectue une étude numérique des modèles en question. Dans la première partie nous traitons de l'hydrodynamique de mélanges de fluides de différentes viscosités en régime de Stokes. Nous dériverons alors un modèle réduit de type Reynolds à partir modèle complet de Stokes. Cette réduction de modèle est particulièrement adaptée à des écoulements dans des micro-canaux dont le rapport d'aspect largeur/hauteur est important. Les modèles obtenus au final peuvent être 2D ou bien 2.5D (2D pour la pression 3D pour le mélange) selon que l'on souhaite ou non prendre en compte les variations de viscosité dans la direction "fine". De plus, les conditions aux limites en haut et au fond du canal pour le modèle complet (canal à reliefs, motifs de matériaux glissants) apparaissent dans le modèle réduit comme de simples coefficients de résistance à l'écoulement. Un résultat d'existence de solution est donné pour le modèle 2D. Une méthode numérique est alors donnée pour approcher ces modèles. Cette méthode numérique est basée sur une discrétisation des équations sur une grille cartésienne, ce qui permet une résolution rapide des systèmes linéaires obtenus après discrétisation. Deux études numériques sont alors menées, tout d'abord une étude de l'inter-diffusion de deux fluides dont les viscosités sont différentes dans des expériences dites de "co-flow", puis une autre étude sur des écoulements mono-fluides pour des canaux à reliefs et à surfaces glissantes utilisant des modèles 2.5D adaptés. La deuxième partie de ce document est consacrée à l'étude d'écoulements micro-fluidiques de micelles géantes en solution. Ce type particulier de fluide a tendance à former spontanément dans l'écoulement des phases dont les propriétés mécaniques peuvent être très différentes. Ces phases sont appelées communément "bandes de cisaillement", et l'origine de la formation de ces bandes de cisaillement tient dans les différentes conformations (conformation alignée, conformation enchevêtrée) possibles pour les micro-structures formant ces fluides. Un modèle particulier a été étudié pour décrire de tels écoulements : le modèle de Johnson-Segalman diffusif. Ce dernier permet de rendre compte de la transition entre phase alignée et phase enchevêtrée lorsque l'écoulement est cisaillé. Toutefois, ce modèle a un comportement instable dans un écoulement possédant un composante d'élongation suffisamment forte. Il est donc nécessaire de modifier le modèle par l'ajout d'une non-linéarité (quadratique) dans la loi de comportement. Une méthode numérique a ensuite été développée afin d'étudier le modèle dans diverses situations. Deux problèmes ont été mis en lumière dans l'analyse numérique des équations : un problème de stabilité lié au couplage nécessaire entre la loi de comportement du fluide et la loi de conservation de la quantité de mouvement, et un problème d'oscillations parasites sur la contrainte. Le premier problème peut être résolu par la détermination d'une nouvelle condition de stabilité sur le système, et le deuxième par l'ajout systématique d'un terme de diffusion dans les équations. Une première étude concernant la formation de bandes de cisaillement dans un canal droit a alors été menée. Cette étude a permis en particulier de déterminer le rôle exact de la diffusion dans le modèle. Une deuxième étude concernant des écoulements 3D dans des jonctions micro-fluidiques en T a permis de mieux comprendre les phénomènes étranges observés sur la répartition des débits dans les branches de sortie de ces jonctions.