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Cette th'ese est consacr'ee 'a l''etude et la r'esolution de certains probl'emes non lin'eaires du traitement du signal et de l'image via l'analyse convexe. Nous proposons une 'etude variationnelle unifi'ee de probl'emes inverses et de probl'emes de d'ecomposition de signaux qui ont, jusqu''a pr'esent, 'et'e 'etudi'es individuellement en raison de leur apparente disparit'e. Dans le mod'ele adopt'e, cette famille de probl'emes est r'eduite g'en'eriquement 'a la minimisation d'une somme de deux fonctions soumises 'a certaines propri'et'es de r'egularit'e. Des r'esultats d'existence, d'unicit'e et de caract'erisation du probl'eme ainsi pos'e sont obtenus. L'op'erateur proximal, introduit par Moreau en 1962 pour les besoins de la m'ecanique, joue un rˆole essentiel dans notre analyse. Nous l'utilisons notamment pour obtenir de nouveaux sch'emas non lin'eaires de d'ecomposition de signaux. Cet outil est par ailleurs au coeur de l'algorithme explicite-implicite que nous proposons pour la r'esolution du probl'eme g'en'erique. Ce cadre th'eorique est appliqu'e 'a l'analyse de signaux et 'a la restauration d'images. Les probl'emes de restauration que nous abordons sont pos'es sur des trames et notre approche permet de prendre en compte des contraintes de parcimonie ou de mod'eliser des formulations bay'esiennes avec des connaissances a priori sur les lois des coefficients de la d'ecomposition. Des r'esultats num'eriques sont fournis.

Cette thèse est dédiée à l'intégration de données complexes issues de l'imagerie dans une stratégie d'assimilation de données pour des modèles mécaniques. Notre stratégie s'appuie sur des travaux récents proposant une méthode séquentielle d'assimilation de données qui se décompose en un filtre de Luenberger pour l'espace d'état et un filtre optimal réduit à l'espace des paramètres. Nous l'appliquons à l'identification de paramètres pour un modèle biomécanique du cœur et, dans ce cadre, nous formalisons la construction de comparateurs de formes évolués pour deux types de données : d'une part des données extraites d'un traitement de l'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) de marquage tissulaire et, d'autre part, des données plus classiques de type contours de l'objet. D'abord fondés sur des simples distances nous enrichissons ces comparateurs grâce au formalisme des courants permettant d'inscrire le contour de l'objet dans le dual d'un espace de fonctions-test appropriées. Pour chacun des comparateurs nous analysons son impact sur l'observabilité du système et, pour le cas de l'imagerie de marquage tissulaire, nous prouvons qu'ils sont équivalents à une mesure directe du déplacement. D'un point de vue numérique, la prise en compte de ces mesures complexes présente d'importantes difficultées nous poussant à mettre en place des schémas numériques originaux permettant une manipulation plus flexible des différents opérateurs d'observation. Nous profitons de ces nouveaux moyens d'extraction de l'information contenue dans les données d'imagerie pour permettre, dans des cas réalistes, l'identification de la position et de l'intensité d'un infarctus du myocarde.

Par une observation de l'enseignement de "la factorisation par un facteur commun (binôme)" au Liban et en France, nous avons recherché comment des professeurs envisagent cette notion et les techniques qu'ils enseignent, dans le cadre institutionnel fixé, que nous décrivons rapidement. Nos analyses comparées du travail de deux classes de chaque pays sont rapportées aux notions de registre combinatoire et registre signifiant empruntées à Serfati, et aux notions d'ostensifs proposées par Bosch et Chevallard, grâce auxquelles nous décrivons dans la deuxième partie le travail symbolique algébrique. Nous observons ainsi comment, pour traiter du travail algébrique, les enseignants et les élèves manquent de termes techniques leur permettant de décrire et de conduire les calculs, d'élaborer des algorithmes, de résoudre les problèmes qu'ils rencontrent. Même en France et malgré les injonctions des programmes qui insistent sur la fonctionnalité du travail algébrique, les élèves ne développent que des stratégies de type combinatoire, les professeurs n'arrivant pas à enseigner autre chose.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les structures nanophotoniques sont généralement simulées par des méthodes de volumes, comme la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD), ou la méthode des éléments finis (FEM). Toutefois, pour les grandes structures, ou des structures plasmoniques métalliques qui nécessitent, la mémoire et le temps de calcul requis peuvent augmenter de façon spectaculaire.Les méthodes de surface, comme la méthode des éléments de frontière (BEM) ont été développées afin de réduire le nombre d'éléments de maillage. Ces méthodes consistent à exprimer le champ formé dans tout l'espace en fonction des courants électrique et magnétique à la surface de l’objet. Combinées avec la méthode multipôle rapide (FMM) qui permet une accélération du calcul de l'interaction entre les éléments lointain du maillage, de grands systèmes peuvent ainsi être manipulés.Nous avons développé, pour la première fois à notre connaissance, une FMM sur un nouveau formalisme BEM, basé sur les potentiels scalaire et vectoriel au lieu de courants électriques et magnétiques. Cette méthode a été montrée pour permettre une simulation précise des systèmes plasmoniques métalliques, tout en offrant une réduction significative des besoins de calcul. Des systèmes nanophotoniques complexes ont été simulés, comme une lentille plasmonique composé d'un ensemble de nanotubes d'or. / Nanophotonic structures are generally simulated by volume methods, as Finite-difference time-domain (FDTD) method, or Finite element method (FEM). However, for large structures, or metallic plasmonic structures, the memory and time computation required can increase dramatically, and make proper simulation infeasible.Surface methods, like the boundary element method (BEM) have been developed to reduce the number of mesh elements. These methods consist in expressing the electromagnetic filed in whole space as a function of electric and magnetic currents at the surface of scatterers. Combined with the fast multipole method (FMM) that enables a huge acceleration of the calculation of interaction between far mesh elements, very large systems can thus be handled.What we performed is the development of an FMM on a new BEM formalism, based on scalar and vector potentials instead of electric and magnetic currents, for the first time to our knowledge. This method was shown to enable accurate simulation of metallic plasmonic systems, while providing a significant reduction of computation requirements, compared to BEM-alone. Several thousands of unknowns could be handled on a standard computer. More complex nanophotonic systems have been simulated, such as a plasmonic lens consisting of a collection of gold nanorods.

Cette thèse est consacrée à l’analyse numérique en particulier aux estimations a posteriori de l’erreur dans la méthode de décomposition asymptotique partielle de domaine. Il s’agit de problèmes au dérivées partielles elliptiques linéaires et semi- linéaires avec une source qui ne dépend que d’une seule variable dans une partie du domaine. La MAPDD - Méthod of Asymptotic Partial Domain Decomposition - est une méthode inventée par Grigori . Panasenko et développée dans les références [G.P98, G.P99]. L’aidée principale est de remplacer un problème 3D ou 2D par un problème hybride combinée 3D−1D, 3D−2D ou 2D−1D, ou la dimension du problème diminue dans une partie du domaine. Des méthodes de calcul efficaces de solution pour le problème hybride en résultant sont récemment devenues disponibles pour plusieurs systèmes (linéaires/non linéaires, fluide/solide, etc.) ainsi chaque sous-problème est calcul ́ avec un code indépendant de type boîte noire [PBB10, JLB09, JLB11]. La position de la jonction entre les problèmes hétérogènes est asymptotiquement estimée dans les travaux de G. Panasenko [G.P98]. La méthode MAPDD a été conçu pour traiter des problèmes ou un petit paramètre apparaître, et fournit un développement en série de la solution avec des solutions de problèmes simplifiées à l’égard de ce petit paramètre. Dans le problème considéré dans les chapitres 3 et 4, aucun petit paramètre n’existe, mais en raison de considérations géométriques concernant le domaine on suppose que la solution ne diffère pas significativement d’une fonction qui dépend seulement d’une variable dans une partie du domaine Ω. La théorie de MAPDD n’est pas adaptée pour une telle situation, et si cette théorie est appliquée formellement elle ne fournit pas d’estimation d’erreur. / This thesis is devoted to numerical analysis in particular a postoriori estimates of the error in the method of asymptotic partial domain decomposition. There are problems in linear elliptic partial and semi-linear with a source which depends only of one variable in a portion of domain. Method of Asymptotic Partial Decomposition of a Domain (MAPDD) originates from the works of Grigori.Panasonko [12, 13]. The idea is to replace an original 3D or 2D problem by a hybrid one 3D − 1D; or 2D − 1D, where the dimension of the problem decreases in part of domain. Effective solution methods for the resulting hybrid problem have recently become available for several systems (linear/nonlinear, fluid/solid, etc.) which allow for each subproblem to be computed with an independent black-box code [21, 17, 18]. The location of the junction between the heterogeneous problems is asymptotically estimated in the works of Panasenko [12]. MAPDD has been designed for handling problems where a small parameter appears, and provides a series expansion of the solution with solutions of simplified problems with respect to this small parameter. In the problem considered in chapter 3 and 4, no small parameter exists, but due to geometrical considerations concerning the domain Ω it is assumed that the solution does not differ very much from a function which depends only on one variable in a part of the domain. The MAPDD theory is not suited for such a context, but if this theory is applied formally it does not provide any error estimate. The a posteriori error estimate proved in this chapter 3 and 4, is able to measure the discrepancy between the exact solution and the hybrid solution which corresponds to the zero-order term in the series expansion with respect to a small parameter when it exists. Numerically, independently of the existence of an asymptotical estimate of the location of the junction, it is essential to detect with accuracy the location of the junction. Let us also mention the interest of locating with accuracy the position of the junction in blood flows simulations [23]. Here in this chapter 3,4 the method proposed is to determine the location of the junction (i.e. the location of the boundary Γ in the example treated) by using optimization techniques. First it is shown that MAPDD can be expressed with a mixed domain decomposition formulation (as in [22]) in two different ways. Then it is proposed to use an a posteriori error estimate for locating the best position of the junction. A posteriori error estimates have been extensively used in optimization problems, the reader is referred to, e.g. [1, 11].

Divers algorithmes d'études locale d'ensembles invariants compacts de systèmes dynamiques sont présentés dans ce travail. Nous commençons par développer des méthodes de calcul numérique de la densité locale autour d'un point d'un ensemble de Julia de fraction rationnelle. Ce problème est important dans le domaine de l'étude des modèles hiérarchiques de la physique statistique. De plus, cette densité serait un des paramètres principaux de la caractérisation d'invariants compacts de systèmes dynamiques (attracteur étrange...). L'application de ces méthodes demande des algorithmes d'accès rapide à des régions (rectangle, cercle) du compact numériquement approche par un ensemble forme d'un grand nombre de points. Nous avons mis au point un algorithme, réellement implémentable et expérimentalement efficace, qui résout ce problème. Nous montrons que, sous certaines conditions, ce procédé permet l'estimation de quelques dimensions fractales de l'ensemble considère. Un logiciel, nomme Elsep et écrit en langage Pascal, qui regroupe et exploite tous ces algorithmes ponctue cette étude. Des résultats numériques et graphiques illustrent chacune des parties traitées

En permettant le partage à grande échelle de données et d'algorithmes et en fournissant une quantité importante de puissance de calcul et de stockage, les grilles de calcul sont des plates-formes intéressantes pour les applications d'analyse d'images médicales. Dans cette thèse, nous étudions un problème d'analyse d'images médicales qui s'avère être une application dimensionnante pour les grilles, conduisant au développement de nouvelles méthodes et outils pour la description, l'implémentation et l'optimisation de flots de traitements. Le problème applicatif étudié est l'évaluation de la précision d'algorithmes de recalage d'images médicales en l'absence de vérité terrain. Nous faisons passer à l'échelle une méthode statistique d'évaluation de ces algorithmes et nous montrons des résultats de précision sur une base de données liée au suivi de la radiothérapie du cerveau. Ces résultats permettent notamment de détecter des défauts très légers au sein des données. Nous étendons ce schéma pour quantifier l'impact de la compression des images sur la qualité du recalage. Cette application étant représentative de problèmes typiques survenant sur les grilles, nous nous attachons à son déploiement et à son exécution sur ce type d'infrastructures. Pour faciliter une parallélisation transparente, nous adoptons un modèle générique de flots de traitements, dont nous proposons une nouvelle taxonomie. Pour répondre aux limitations de performance des moteurs d'exécution de flots existants, nous présentons MOTEUR, qui permet d'exploiter les différents types de parallélisme inhérents à ces applications. La définition d'un nouvel opérateur de composition de données facilite la description des applications d'analyse d'images médicales sur les grilles. Par une comparaison entre la grille de production EGEE et des grappes dédiées de Grid'5000, nous mettons en évidence l'importance de la variabilité de la latence sur une grille de production. En conséquence, nous proposons un modèle probabiliste du temps d'exécution d'un flot de traitement sur une grille. Ce modèle est centré sur l'utilisateur : il considère la grille toute entière comme une boîte noire introduisant une latence aléatoire sur le temps d'exécution d'une tâche. A partir de ce modèle, nous proposons trois stratégies d'optimisation visant à réduire l'impact de la latence et de sa variabilité : dans un flot de traitement, grouper les tâches séquentiellement liées permet de réduire la latence moyenne rencontrée, optimiser la valeur du délai d'expiration des tâches prémunit contre les valeurs extrêmes de la latence et optimiser la granularité des tâches permet de réduire le risque de rencontrer de fortes latences. Des accélérations significatives sont ainsi obtenues.

Ce travail est consacré à l'étude d'un problème de transmission d'ondes électromagnétiques dans des matériaux fortement conducteurs entourés d'un matériau diélectrique isolant. On analyse finement le phénomène de l'effet de peau à l'aide de l'analyse asymptotique et de la simulation numérique. On calcule un développement asymptotique multi-échelle à haute conductivité des solutions des équations de Maxwell tridimensionnelles en régime harmonique. Pour valider ce développement, on établit des estimations uniformes par sous-domaines des solutions de ces équations pour une conductivité assez élevée. Ces estimations ont motivé une étude préliminaire d'un problème de transmission scalaire pour lequel des estimations a priori sont démontrées grâce à la convergence normale d'un développement asymptotique. L'accord des formules théoriques avec les calculs numériques est remarquable et met en évidence l'influence de la géométrie de l'interface dans le phénomène de l'effet de peau.<br /><br />D'autre part, on étudie le comportement du champ électromagnétique dans une cellule biologique modélisée par un milieu entouré d'une couche mince et plongée dans un milieu ambiant. On calcule des conditions de transmission approchées sur le bord du domaine intérieur équivalentes à la couche mince.