Dans ce mémoire, une approche de calcul de sensibilité utilisée dans le domaine de l'optimisation, appelée la méthode adjointe, est explorée pour estimer et contrôler efficacement l'erreur en mécanique des fluides numérique (MFN). Les développements effectués ont été greffés à Fluent, un logiciel commercial. L'erreur est calculée en effectuant le produit scalaire du vecteur d'erreur de troncature liée à chaque équation de bilan et du vecteur des variables adjointes. Ces dernières sont intrinsèquement liées à une fonctionnelle sélectionnée par l'utilisateur (le rendement, la traînée, les pertes, etc.). En adaptant le maillage avec cette estimation d'erreur, l'adaptation devient très orientée vers le but spécifique de la simulation. Les résultats obtenus montrent que la méthode adjointe permet d'identifier les régions sensibles de la simulation. En adaptant la taille, l'étirement et l'orientation des cellules du maillage en conséquence, il est alors possible d'améliorer la précision numérique ou encore de limiter la taille de maillage requise pour une précision donnée. Quoique se limitant aux cas 2-D stationnaires, les résultats obtenus laissent entrevoir que les maillages adaptés représentent une amélioration substantielle comparativement aux maillages structurés utilisés actuellement. À terme, l'intégration des techniques d'adaptation dans les processus de simulation pourrait fortement influencer les façons de faire de l'Institut de Recherche d'Hydro-Québec (IREQ) ainsi que du Laboratoire de Machines Hydrauliques (LAMH) de l'Université Laval.

Cette thèse est consacrée à l’analyse numérique en particulier aux estimations a posteriori de l’erreur dans la méthode de décomposition asymptotique partielle de domaine. Il s’agit de problèmes au dérivées partielles elliptiques linéaires et semi- linéaires avec une source qui ne dépend que d’une seule variable dans une partie du domaine. La MAPDD - Méthod of Asymptotic Partial Domain Decomposition - est une méthode inventée par Grigori . Panasenko et développée dans les références [G.P98, G.P99]. L’aidée principale est de remplacer un problème 3D ou 2D par un problème hybride combinée 3D−1D, 3D−2D ou 2D−1D, ou la dimension du problème diminue dans une partie du domaine. Des méthodes de calcul efficaces de solution pour le problème hybride en résultant sont récemment devenues disponibles pour plusieurs systèmes (linéaires/non linéaires, fluide/solide, etc.) ainsi chaque sous-problème est calcul ́ avec un code indépendant de type boîte noire [PBB10, JLB09, JLB11]. La position de la jonction entre les problèmes hétérogènes est asymptotiquement estimée dans les travaux de G. Panasenko [G.P98]. La méthode MAPDD a été conçu pour traiter des problèmes ou un petit paramètre apparaître, et fournit un développement en série de la solution avec des solutions de problèmes simplifiées à l’égard de ce petit paramètre. Dans le problème considéré dans les chapitres 3 et 4, aucun petit paramètre n’existe, mais en raison de considérations géométriques concernant le domaine on suppose que la solution ne diffère pas significativement d’une fonction qui dépend seulement d’une variable dans une partie du domaine Ω. La théorie de MAPDD n’est pas adaptée pour une telle situation, et si cette théorie est appliquée formellement elle ne fournit pas d’estimation d’erreur. / This thesis is devoted to numerical analysis in particular a postoriori estimates of the error in the method of asymptotic partial domain decomposition. There are problems in linear elliptic partial and semi-linear with a source which depends only of one variable in a portion of domain. Method of Asymptotic Partial Decomposition of a Domain (MAPDD) originates from the works of Grigori.Panasonko [12, 13]. The idea is to replace an original 3D or 2D problem by a hybrid one 3D − 1D; or 2D − 1D, where the dimension of the problem decreases in part of domain. Effective solution methods for the resulting hybrid problem have recently become available for several systems (linear/nonlinear, fluid/solid, etc.) which allow for each subproblem to be computed with an independent black-box code [21, 17, 18]. The location of the junction between the heterogeneous problems is asymptotically estimated in the works of Panasenko [12]. MAPDD has been designed for handling problems where a small parameter appears, and provides a series expansion of the solution with solutions of simplified problems with respect to this small parameter. In the problem considered in chapter 3 and 4, no small parameter exists, but due to geometrical considerations concerning the domain Ω it is assumed that the solution does not differ very much from a function which depends only on one variable in a part of the domain. The MAPDD theory is not suited for such a context, but if this theory is applied formally it does not provide any error estimate. The a posteriori error estimate proved in this chapter 3 and 4, is able to measure the discrepancy between the exact solution and the hybrid solution which corresponds to the zero-order term in the series expansion with respect to a small parameter when it exists. Numerically, independently of the existence of an asymptotical estimate of the location of the junction, it is essential to detect with accuracy the location of the junction. Let us also mention the interest of locating with accuracy the position of the junction in blood flows simulations [23]. Here in this chapter 3,4 the method proposed is to determine the location of the junction (i.e. the location of the boundary Γ in the example treated) by using optimization techniques. First it is shown that MAPDD can be expressed with a mixed domain decomposition formulation (as in [22]) in two different ways. Then it is proposed to use an a posteriori error estimate for locating the best position of the junction. A posteriori error estimates have been extensively used in optimization problems, the reader is referred to, e.g. [1, 11].

Cette thèse se compose de trois parties indépendantes portant sur l'application du contrôle stochastique à la finance. Dans la première partie, nous étudions le problème de maximisation de la fonction d'utilité dans un marché incomplet avec défauts et information totale/partielle. Nous utilisons le principe de la programmation dynamique pour pouvoir caractériser la fonction valeur solution du problème. Ensuite, nous utilisons cette caractérisation pour en déduire une EDSR dont la fonction valeur est solution. Nous donnons également une approximation de cette fonction valeur. Dans la seconde partie, nous étudions les EDSR à sauts. En utilisant les résultats de décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration, nous faisons un lien entre les EDSR à sauts et les EDSR browniennes. Cela nous permet de donner un résultat d'existence, un théorème de comparaison ainsi qu'une décomposition de la formule de Feynman-Kac. Puis nous utilisons ces techniques pour la détermination du prix d'une option européenne dans un marché complet et le prix d'indifférence d'un actif contingent non duplicable dans un marché incomplet. Enfin, dans la troisième partie, nous utilisons la théorie des erreurs pour expliquer le risque de liquidité comme une propriété intrinsèque au marché. Cela nous permet de modéliser la fourchette Bid-Ask. Puis nous résolvons dans ce modèle le problème de liquidation optimale d'un portefeuille en temps discret et déterministe en utilisant la programmation dynamique.