Ce travail explore la dynamique de consommation résidentielle d’électricité au Québec à l’aide de données horaires fournies par Hydro-Québec pour la période de janvier 2006 à décembre 2010. Nous considérons trois modèles autorégressifs standards en analyse des séries temporelles : le lissage exponentiel Holt-Winters, le modèle ARIMA saisonnier (SARIMA) et le modèle ARIMA saisonnier avec variables exogènes (SARIMAX). Pour ce dernier modèle, nous nous concentrons sur l’effet des variables climatiques (la température, l’humidité relative et le point de rosé et la nébulosité). Les facteurs climatiques ont un impact important sur la consommation d’électricité à très court terme. La performance prédictive intra et hors échantillon de chaque modèle est évaluée avec différents indicateurs d’ajustement. Trois horizons temporels hors-échantillon sont testés : 24 heures (un jour), 72 heures (trois jours) et 168 heures (1 semaine). Le modèle SARIMA offre la meilleure performance prédictive hors-échantillon sur 24 heures. Le modèle SARIMAX se révèle le plus performant hors-échantillon sur les horizons temporels de 72 et 168 heures. Des recherches supplémentaires seraient nécessaires pour obtenir des modèles de prévision pleinement satisfaisant du point de vue méthodologique. Mots clés : modèles de séries temporelles, électricité, lissage exponentiel, SARIMA, SARIMAX. Mots clés : modèles de séries temporelles, électricité, lissage exponentiel, SARIMA, SARIMAX / This work explores the dynamics of residential electricity consumption in Quebec using hourly data from January 2006 to December 2010. We estimate three standard autoregressive models in time series analysis: the Holt-Winters exponential smoothing, the seasonal ARIMA model (SARIMA) and the seasonal ARIMA model with exogenous variables (SARIMAX). For the latter model, we focus on the effect of climate variables (temperature, relative humidity and dew point and cloud cover). Climatic factors have a significant impact on the short-term electricity consumption. The intra-sample and out-of-sample predictive performance of each model is evaluated with various adjustment indicators. Three out-of-sample time horizons are tested: 24 hours (one day), 72 hours (three days) and 168 hours (1 week). The SARIMA model provides the best out-of-sample predictive performance of 24 hours. The SARIMAX model reveals the most powerful out-of-sample time horizons of 72 and 168 hours. Additional research is needed to obtain predictive models fully satisfactory from a methodological point of view. Keywords: modeling, electricity, Holt-Winters, SARIMA, SARIMAX.

La tomographie d'émission par positrons (TEP) est devenue un outil important dans les diagnostics de la médecine nucléaire. Avec le développement et l'utilisation de différents radiotraceurs qui permettent de visualiser les processus métaboliques et les structures organiques par des procédés non invasifs, les caméras TEP cliniques sont largement utilisées et fournissent une résolution spatiale et temporelle suffisante pour les diagnostics humains. De plus, la recherche en pharmacologie et en médecine sont d'autres champs d'applications en développement. En effet, par l'utilisation de la TEP dans les expérimentations avec des petits animaux, l'efficacité de nouveaux médicaments peut être facilement vérifiée. Cependant, le problème avec les tomographes TEP pour petits animaux est la nécessité d'une résolution spatiale et temporelle beaucoup plus grande que celle pour les examens cliniques sur les humains. Ceci requiert de nouveaux concepts de détecteurs et de traitement de signal dans le développement des systèmes TEP dédiés pour les petits animaux. En outre, ces concepts sont complémentés, pour résoudre ce problème, par la fusion d'une image morphologique (tomodensitométrie-TDM) à une image métabolique (TEP). Le LabPET[exposant TM], un scanner TEP dont l'aspect bimodal TEP/TDM est en développement. Ce scanner, dédié aux petits animaux, est développé à l'Université de Sherbrooke. Il utilise des photodiodes à avalanche (PDA) connectées individuellement à des scintillateurs et combinés à de nouveaux algorithmes numériques. Ce scanner vise à répondre aux besoins relatifs à la résolution spatiale et temporelle de l'imagerie TEP pour petits animaux. Dans cette thèse, de nouveaux algorithmes sont développés et testés afin d'augmenter la résolution spatiale et temporelle du LabPET. L'augmentation de la résolution spatiale est basée sur des algorithmes d'identification de cristaux, excités, au sein d'un détecteur multicristaux. Tandis que, l'augmentation de la résolution temporelle est basée sur un concept de déconvolution utilisant le résultat de l'identification de cristaux.

La compréhension du comportement des matériaux en présence d'impuretés, durant le processus de solidification, nécessite le développement de méthodologies appropriées pour une analyse et un contrôle efficace des changements topologiques des microstructures (par exemple, la formation des dendrites) au cours des différentes phases de transformation. L'objectif de cette thèse est de construire un modèle pertinent de solidification d'alliages binaires sous l'action de champs magnétiques, d'analyser les systèmes issus du modèle mathématique ainsi développé, d'un point de vue théorique et numérique, et enfin de développer une méthode de contrôle optimal afin de contrôler la dynamique du front de solidification par l'action du champs magnétiques. Dans un premier temps, nous avons décrit la physique du problème et les lois fondamentales nécessaires à la modélisation, puis nous avons construit un nouveau modèle de champ de phase, qui tient compte de l'influence de l'action du champ magnétique sur le mouvement du front de solidification. Le modèle ainsi développé est caractérisé par le couplage de trois systèmes : un de type magnétohydrodynamique, un second de type Warren-Boettingger avec convection (représentant l'évolution du front de solidification et la concentration du mélange binaire) et un troisième représentant l'évolution de la température. Les équations du système complet décrivant le modèle, dans un domaine Ω inclus dans R^{n}, n ≤ 3, sont évolutives, non linéaires, couplées et anisotropes. Dans une seconde partie, nous avons effectué l'analyse théorique du modèle développé dans le cas isotherme et isotrope en dimension deux. Nous avons obtenu des résultats d'existence, de régularité, de stabilité et d'unicité d'une solution, sous certaines conditions sur des opérateurs non linéaires du système. Enfin, nous avons développé une méthode de contrôle optimal non linéaire : le champ magnétique (qui intervient sous forme multiplicative) joue le rôle de contrôle, et l'observation est l'état désiré de la dynamique du front. Nous avons démontré l'existence d'une solution optimale et obtenu la sensibilité de l'opérateur solution et les conditions d'optimalité en introduisant un problème adjoint. Cette partie théorique de la thèse est complétée par un important travail numérique. L'analyse et les simulations numériques ont été menées sur le problème complet bi-dimensionnel non linéaire (isotrope et anisotrope). Nous avons utilisé pour la discrétisation la méthode des lignes qui consiste à considérer séparément la discrétisation temporelle et spatiale. La discrétisation spatiale est effectuée par un schéma d'éléments finis mixtes et le système différentiel algébrique obtenu est résolu par l'utilisation du solveur DASSL. La discrétisation du domaine est effectuée par des mailles triangulaires non structurées. Dans le cas réaliste, elles correspondent à un maillage non uniforme et trés fin dans la zone de la dendrite et au niveau de l'interface. Nous avons obtenu des estimations d'erreur pour les différentes variables d'état du modèle et analysé la robustesse et la stabilité des schémas d'approximation. Ce code numérique a été validé sur différents exemples, et donne d'excellents résultats. Ensuite, nous avons exploité le code pour traiter un problème réaliste, à savoir la solidification dendritique d'un alliage binaire Nickel-Cuivre, et analyser l'influence de champs magnétiques sur l'évolution des dendrites. Les résultats obtenus montrent l'efficacité de l'approche à reproduire les observations expérimentales.

<p align="justify">Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode.</p>

Résumé : Cette étude examine l'impact de la taille et de la gradation de particules sur les corrélations théoriques et empiriques existantes les plus connues entre la résistance au cisaillement et le comportement dilatatant des matériaux granulaires en condition de déformation plane et en compression triaxiale drainée. À cette fin, 276 tests de cisaillements symétriques directs et 35 tests de compressions triaxiales drainées ont été menés sur des échantillons composés de billes de basalte (particules rondes), et de sables constitués de particules angulaires (sable de Péribonka et sable d'Eastmain) sur une échelle de 63 µm à 2000 µm afin d'évaluer leur résistance au cisaillement et leur comportement de dilatance sur une vaste échelle de pressions normales et de densités relatives initiales. Premièrement, la fiabilité et l'applicabilité des limites de mesure à l’aide de tests physiques de cisaillements symétriques directs dans l'interprétation de la résistance au cisaillement frictionnel en déformation plane des matériaux granulaires ont été discutées et confirmées par l'usage du code informatique DEM, SiGran. L'accent a été particulièrement mis sur la validation du modèle DEM au moyen de comparaison des résultats des simulations DEM avec leurs équivalents physiques à une échelle macro. Les résultats virtuels DSA sont abordés du point de vue de la coaxialité entre les principales tensions et les principales directions des paliers de pression ainsi que de la déviation de la direction d'extension nulle à partir de la direction horizontale. Les résultats numériques fournissent également des données quantitatives sur les différentes formes d'énergie consommées durant le cisaillement confirmées par d'autres résultats physiques et numériques publiés. Sur la base des postulats précédents, un examen minutieux des résultats des essais de cisaillements directs et de données issues de la littérature a été accompli afin d'évaluer la fiabilité des formules empiriques bien connues de Bolton et Collins et al. avec leurs constantes couramment employées en condition de déformation plane. L'étude montre qu'une application des relations empiriques de force-dilatation de cisaillement avec les constantes proposées par Bolton (1986) et Collins et al. (1992) aux sables ayant une distribution de taille de particules différente peut conduire à surestimer leurs valeurs en terme de force de cisaillement. Dans cette étude, les coefficients des équations de Bolton et Collins et al. ont donc été ajustée afin de prendre en compte les caractéristiques des particules, en particulier le diamètre médian, D50. De manière analogue, les effets microstructuraux imposés par la géométrie interne des particules (par exemple la taille, la forme et la gradation des particules) sur la relation tension-dilatation très connue, celle de Rowe (1962), et son ajustement empirique en condition triaxiale drainée ont été examinés dans cette étude. Une comparaison des prédictions des formules proposées avec les données de force de cisaillement issues de la littérature fournit de nombreuses preuves en faveur des contraintes mises en place au sein des relations existantes de force-dilatation de cisaillement en condition de déformation plane et triaxiale. Ces comparaisons prouvent également que la prise en compte de la taille des grains conduit à des résultats plus tangibles que lorsque la taille de la particule n'est pas considérée. Les formules de force-dilatation ajustées peuvent se révéler avantageuses pour évaluer indépendamment la cohérence des forces de cisaillement déterminées expérimentalement et pour introduire des lois d’écoulement plus précises dans les analyses géotechniques analytiques et numériques. / Abstract : The present study examines more closely the potential impact of particle size and gradation on the most famous existing theoretical and empirical correlations between the shear strength and the dilation behavior of granular materials in plane strain and drained triaxial compression conditions. For this purpose, 276 symmetrical direct shear and 35 drained triaxial compression tests have been carried out on samples made up of basalt beads (rounded particles), and sands consisting of angular particles (Péribonka sand and Eastmain sand) in the range of 63 µm to 2000 µm to evaluate their shear resistance and dilation behavior over a wide range of normal pressures and initial relative densities. First, the reliability and applicability of boundary measurements in physical symmetrical direct shear tests to interpret the plane strain frictional shearing resistance of granular material have been discussed and confirmed using DEM computer code SiGran. Particular emphasis is placed on the validation of the DEM model by comparing the results of DEM simulations with their physical counterparts at the macro-scale. The virtual DSA results are discussed in terms of the coaxiality between the principal stresses and the principal strains increments directions as well as the deviation of the zero extension direction from the horizontal direction. The numerical results also provide quantitative data on different forms of energy consumed during shearing confirming other published physical and numerical results found in the literature. Following the assumptions above, a close scrutiny of symmetrical direct shear test results and strength and dilation data from the literature have been done to evaluate the reliability of well-known empirical Bolton’s and Collins et al.’s formulations with their commonly used constants in plane strain condition. The study shows that an application of empirical shear strength-dilation relationships with the constants proposed by Bolton (1986) and Collins et al. (1992) to sands with different particle-size distribution may strongly over-predict their shear strength values. In this study, the coefficients of Bolton’s and Collins et al.’s equations have been, therefore, adjusted to account for particle characteristics, in particular for D50. Similarly, the microstructural effects imposed by internal particle geometry (e.g. particle-size, particle shape, and particle gradation) on most popular stress-dilatancy relationship of Rowe (1962), and its empirical adjustment in drained triaxial condition have been investigated in this study. A comparison of the predictions by the proposed formulas with shear strength data from the literature provides evidences in support of the implemented constraints into existing shear strength-dilation relations in plane strain and drained triaxial conditions. These comparisons also proves that accounting for the grain size yields more authentic results than when particle size is not considered. The adjusted strength-dilation formulas may be beneficial for independently assessing the consistency of the experimentally-determined shear strengths, and introducing more refined flow rules into analytical and numerical geotechnical analyses.

Dans la première partie de ce travail nous considérons des problèmes hyperboliques du premier ordre linéaires où des problèmes paraboliques linéaires dégénérés en temps. En utilisant une méthode de matrice de masse singulière, nous proposons une méthode d’élément finis permettant d’avoir des estimations d’erreur en espace optimale pour l’élément fini de Lagrange P1 par exemple. Nous appliquons ces résultats au cas d’un système parabolique utilisé en electroradiologie. La seconde partie est consacrée aux polynômes Lp extrémaux à l’extérieur du cercle unité associés à une mesure de la forme générale α = βa + βs + γ, où βa est régulière, βs singulière et γ discrète. Dans un premier temps nous considérons βs = 0, et nous avons généralisé au cas Lp des résultats connus dans le cas L2. Dans le cas où βs = 0 nous montrons les mêmes résultats (formules d’optimalité) mais en utilisant d’autres fonctions de régularité. / In the first part of this work, we deal with, linear hyperbolic problems of first order or linear parabolic problems, which are degenerated with respect to the time operator. By using a singular mass matrix technique, we propose a finite element method allowing to get optimal error estimates with respect to space for the Lagrange first order finite element for example. Then our method is applied to a parabolic system degenerated with respect to time which is used in electrocardiology. The second part of this work is dedicated to extremal polynomials in Lp , outside to the unit circle associated to a measure α, with a general form given by α = βa + βs + γ. The regular part is denoted βa , the singular part βs and the discrete part γ. In a first step we take βs = 0, and we generalized to the Lp case the known results in the L2 case. When the singular part is non zero, by using different regularity functions, we get the same optimality formulae.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation / This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations

Les pathologies cardiovasculaires sont la première cause des décès dans le monde. Il est donc vital de les étudier afin d’en comprendre les mécanismes et pouvoir prévenir et traiter plus efficacement ces maladies. Cela passe donc par la compréhension de l’anatomie, de la structure et du mouvement du coeur. Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes intéressés dans un premier temps au modèle de Gabarit Déformable Élastique qui permet d’extraire l’anatomie et le mouvement cardiaques. Le Gabarit Déformable Élastique consiste à représenter le myocarde par un modèle de forme a priori donné que l’on déforme élastiquement pour l’adapter à la forme spécifique du coeur du patient Dans le premier chapitre de cette thèse, nous utilisons une méthode de perturbation singulière permettant la segmentation avec précision de l’image. Nous avons démontré que si l’on faisait tendre vers 0 les coefficients de l’élasticité, le modèle mathématique convergeait vers une solution permettant la segmentation. Dans le cadre d’une formulation au sens des moindres carrés il est nécessaire de disposer d’une méthode numérique performante pour résoudre l’équation du transport au sens des moindres carrés. La méthode des éléments finis pour traiter les phénomènes de transport ne permet pas d’avoir un principe du maximum faible, sauf si l’opérateur aux dérivées partielles en temps est séparé de l’opérateur aux dérivées partielles en espace. Dans le chapitre 2 de la thèse nous considérons une formulation au sens des moindres carrés espace-temps et nous proposons de résoudre un problème sous contraintes afin de récupérer un principe du maximum discret. Le dernier objectif de la thèse est le suivi dynamique d’images cardiaques ou la reconstruction anatomique du coeur à partir de coupes 2D dans le plan orthogonal au grand axe du cœur. La méthode mathématique que nous utilisons pour cela est le transport optimal. Dans le chapitre 3 nous analysons les performances de l’algorithme proposé par Peyré pour calculer le transport optimal de nos images. La résolution numérique du transport optimal est un problème difficile et couteux en temps de calcul. C’est pourquoi nous proposons une méthode adaptative pour le calcul de l’opérateur proximal de la fonction à minimiser permettant de diviser par quatre le nombre nécessaire des itérations pour que l’algorithme converge. / Cardiovascular disease are the leading cause of death worldwide. It is therefore vital to study them in order to understand the mechanisms and to prevent and treat these diseases more effectively. Therefore it requires an understanding of anatomy, structure and motion of the heart. In this thesis, we are interested in a first time at the Deformable Elastic Template model which can extract the cardiac anatomy and movement. The Elastic Deformable template is to represent the myocardium by a shape model a priori given that it elastically deforms to fit the specific shape of the patient’s heart. In the first chapter of this thesis, we use a singular perturbation method for accurately segmenting the image. We have demonstrated that if we did tend to 0 the coefficients of elasticity, the mathematical model converge to a solution to the problem of segmentation. As part of a formulation to the least squares sense it is necessary to have an efficient numerical method for solving the transport equation in the least squares sense. The finite element method to treat transport phenomena can not have a weak maximum principle, unless the operator of partial time is separated from the operator of partial space.In Chapter 2 of the thesis, we consider a least squares formulation of space-time and we propose to solve the problem constraints to recover a discrete maximum principle. The final objective of this thesis is the dynamic monitoring of cardiac images or anatomical reconstruction of the heart from 2D slices orthogonal to the long axis of the heart level. The mathematical method we use for this is the optimal transport. In Chapter 3 we analyze the performance of the algorithm proposed by Peyré to calculate the optimal transport of our images. The numerical resolution of optimal transport is a difficult and costly in computation time problem. That is why we propose an adaptive method for determining the proximity operator of the function to be minimized to divide by four the number of iterations required for the algorithm converges.

Les méthodes particulaires sont des méthodes numériques adaptées à la résolution d'équations de conservation. Leur principe consiste à introduire des particules ``numériques'' conservant localement l'inconnue sur un petit volume, puis à les transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu'un terme source est présent dans les équations, l'évolution de la solution le long des caractéristiques est prise en compte par une intéraction entre les particules. Ces méthodes possèdent de bonnes propriétés de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL qui peuvent être contraignantes pour les méthodes Eulériennes. Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit être satisfaite pour vérifier des propriétés de convergence de la méthode. Pour satisfaire cette condition de recouvrement, un remaillage périodique des particules est souvent utilisé. Elle consiste à recréer régulièrement de nouvelles particules uniformément réparties, à partir de celles ayant été advectées à l'itération précédente. Quand cette étape de remaillage est effectuée à chaque pas de temps, l'analyse numérique de ces méthodes particulaires remaillées nécessite d'être reconsidérée, ce qui représente l'objectif de ces travaux de thèse. Pour mener à bien cette analyse, nous nous basons sur une analogie entre méthodes particulaires avec remaillage et schémas de grille. Nous montrons que pour des grands pas de temps les schémas numériques obtenus souffrent d'une perte de précision. Nous proposons des méthodes de correction, assurant la consistance des schémas en tout point de grille, le pas de temps étant contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette méthode est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites de manière à remailler les particules sans créer d'oscillations en présence de fortes variations de la solution. Enfin, ces méthodes sont généralisées aux dimensions plus grandes que un en s'inspirant du principe de splitting d'opérateurs. Les applications numériques présentées dans cette thèse concernent la résolution de l'équation de transport sous forme conservative en dimension un à trois, dans des régimes linéaires ou non-linéaires. / Particle methods are numerical methods designed to solve advection dominated conservation equations. Their principle is to introduce ``numerical'' particles that concentrate the unknown locally on a small volume, and to transport them along their trajectories. These methods have good conservation properties and are not subject to the usual CFL conditions that can be binding for the Eulerian methods. However, an overlap condition must be satisfied between the particles to ensure convergence properties of the method. To satisfy this condition, a periodic remeshing of the particles is often used. New particles uniformly distributed are created on a regular mesh. When this remeshing step is performed at every time step, numerical analysis of particle methods needs to be revisited. This is the purpose of this thesis. To carry out this analysis, we rely on an analogy between remeshed particle methods and grid schemes. We show that for large time step the numerical schemes have a loss of accuracy. We propose correction methods wich ensure consistency at any grid point, provided the time step satisfies a condition based on the gradient of the velocity field. Limitation techniques are also introduced to remesh particles without creating any oscillations in the presence of strong variations of the solution. Finally, these methods are generalized to dimensions greater than one. Numerical example on various transport equations are given to illustrate the benefit of the proposed algorithms.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la mise en place de schémas semi-implicites pour l’amélioration des simulations numériques du déplacement d’un globule rouge dans le sang. Nous considérons la méthode levelset, où l’interface fluide-structure est représentée comme la ligne de niveau 0 d’une fonction auxiliaire et le couplage est effectué en ajoutant un terme source dans l’équation fluide.Le principe de ces schémas semi-implicites est de prédire la position et la forme de la structure par une équation de la chaleur et d’utiliser cette prédiction pour obtenir un terme de force dans l’équation fluide plus précis. Ce type de schémas semi-implicites a d’abord été mis en place dans le cadre d’un système diphasique ou d’une membrane élastique immergée afin d’utiliser un plus grand pas de temps que pour un couplage explicite. Cela a permis d’améliorer les conditions sur le pas de temps et ainsi augmenter l’efficacité globale de l’algorithme complet par rapport à un schéma explicite classique.Pour étendre ce raisonnement au cas d’un globule rouge, nous proposons un algorithme pour simuler le flot de Willmore en dimension 2 et 3. Notre méthode s’inspire des méthodes de mouvements d’interface générés par diffusion et nous arrivons à obtenir un flot non linéaire d’ordre 4 uniquement avec des résolutions d’équations de la chaleur. Pour assurer la conservation du volume et de l’aire d’un globule rouge, nous proposons ensuite une méthode de correction qui déplace légèrement l’interface afin de recoller aux contraintes.La combinaison des deux étapes précédentes décrit le comportement d’un globule rouge laissé au repos. Nous validons cette méthode en obtenant une formed’équilibre d’un globule rouge. Nous proposons enfin un schéma semi-implicite dans le cas d’un globule rouge qui ouvre la voie vers l’utilisation de cette méthode comme prédicteur de l’algorithme de couplage complet. / In this work, we propose new semi-implicit schemes to improve the numerical simulations of the motion of an immersed red blood cell. We consider the levelset method where the interface is described as the 0 isoline of an auxiliary function and the fluid-structure coupling is done by adding a source term in the fluid equation.The idea of these semi-implicit scheme is to predict the position and the shape of the structure through a heat equation and to use this prediction to improve the accuracy of the source term in the fluid equation. This type of semi-implicit scheme has firstly been implemented in the case of a multiphase flow and a immersed elastic membrane and has shown better temporal stability than an explicit scheme, resulting in an improved global efficiency.In order extend this method to the case of a red blood cell, we propose an algorithm to compute the Willmore flow in dimenson 2 and 3. In the spirit of the diffusion generated motion methods, our method simulate a non linear four order flow by only solving heat equations. To ensure the conservation of the volume and area of the the vesicle, we add to the method a correction step that slightly moves the interface so that we recover the constraints.Combnation of these two steps allows to compute the behavior of a red blood cell left at rest. We validate this method by obtaining the convergence to an equilibrium shape in both 2D and 3D. Finaly we introduce a semi-implicit scheme in the case of a red blood cell that shows how we can use this method as a prediction in the complete coupling model.