Les véhicules en roulement sont à l'origine du bruit routier. Pour un véhicule, on distingue plusieurs sources de bruit en fonction de leur origine physique, groupe propulseur, échappement, ... et bruit de roulement des pneumatiques. Le travail présenté développe l'étude de la génération des vibrations dans le pneumatique et de leur propagation dans la structure du pneumatique. Il peut servir à la réduction du bruit de roulement à la source. Lors de l'étude bibliographique (chapitre 1), on a choisi de s'intéresser plus particulièrement à deux questions : 1. Pourquoi le bruit de roulement augmente comme la vitesse du véhicule au carré, quelque soit le type de pneumatique ou de chaussée? 2. Pourquoi la seule fréquence caractéristique des pneumatiques est liée au motif des patins de gomme? Pourquoi n'entendons nous pas de fréquence de résonance? Pour répondre à cette question, nous avons tenté de développer des équations qui décrivent les vibrations du pneumatique (chapitre 2). En cherchant à résoudre ces équations, nous avons mis en évidence d'une part des termes d'excitation dont l'amplitude varie comme le carré de la vitesse du véhicule et d'autre part une condition d'amplification originale. On a confronté sommairement l'expression des sources d'excitation avec des expériences connues. On trouve une expression cohérente avec les mesures. On a cherché à interpréter physiquement la condition d'amplification. Elle semble porter uniquement sur le bruit dû au défilement du motif de la bande de roulement (chapitre 4). On s'est intéressé plus particulièrement à la prévision de ces amplifications par des moyens numériques. On a développé un modèle simplifié de pneumatique (chapitre 5), sur lequel on a testé des algorithmes de recherche des conditions d'amplification par la structure du pneumatique (chapitre 6).

Quelles sont les déformations et les contraintes que subissent une structure gonflée précontrainte lorsqu'elle est soumise à des perturbations de son environnement extérieur? Cette thèse répond à cette interrogation dans le cas d'un lobe formé de deux membranes orthotropes, fixées sur leurs longueurs à deux axes rigides, successivement rectilignes puis légèrement arrondis, et sur leurs largeurs à des arcs de cercle également rigides. L'intérieur est gonflé par un gaz supposé parfait.<br /> A partir d'une modélisation mécanique en élasticité linéaire, nous avons établi un modèle mathématique rigoureux en 3D. Puis en faisant tendre l'épaisseur des membranes vers zéro, nous avons obtenu un modèle asymptotique 2D, bien posé pour certaines forces, dites admissibles, dans des espaces obtenus par complétion. Nous avons alors démontré que la suite des valeurs moyennes dans l'épaisseur des solutions des problèmes 3D converge fortement vers l'unique solution du problème asymptotique. Nous avons de plus mis en évidence des conditions suffisantes d'admissibilité des forces extérieures.<br /> L'analyse numérique du modèle asymptotique a montré que les estimations d'erreur a priori se font dans la norme de l'énergie. Ce qui, comme l'ont confirmé quelques essais numériques, ne va pas sans poser de problèmes quand on s'intéresse aux déplacements, mais est tout à fait satisfaisant du point de vue des contraintes.

Nous étudions dans ce travail une méthode de type éléments finis dans le but de simuler le mouvement de particules rigides immergées. La méthode développée ici est une méthode de type domaine fictif. L'idée est de chercher un prolongement régulier de la solution exacte à tout le domaine fictif afin d'obtenir une solution régulière sur tout le domaine et retrouver l'ordre optimal de l'erreur avec des éléments d'ordre 1. Le prolongement régulier est cherché en minimisant une fonctionnelle dont le gradient est donné par la solution d'un nouveau problème fluide faisant intervenir une distribution simple couche dans le second membre. Nous faisons une analyse numérique, dans le cas scalaire, de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masse de Dirac. Un des avantages de cette méthode est de pouvoir utiliser des solveurs rapides sur maillages cartésiens tout en conservant l'ordre optimal de l'erreur. Un autre avantage de la méthode vient du fait que les opérateurs ne sont pas modifiés, seul les seconds membres dépendent de la géométrie du domaine initial. Nous avons de plus écrit un code C++ parallèle en deux et trois dimensions, permettant de simuler des écoulements fluide/particules rigides avec cette méthode. Nous présentons ainsi une description des principales composantes de ce code.

Deux concepts très importants dans mes travaux sont ceux de la diffusion (mouvement aléatoire des particules) et de ceux de la transformée de Fourier. La diffusion des particules peut être décrite par l'équation de la diffusion, dont la solution fondamentale a un forme beaucoup plus complexe que sa transformée de Fourier. Tout d'abord, nous profitons de la forme spéciale de la transformée de Fourier (dans l'espace) de la fonction de Green de l'équation de diffusion pour formuler des méthodes numériques qui sont locales en temps pour la solution des équations avec mémoire. L'idée principale est que la solution sera calculée dans le domaine de Fourier, pour éviter d'évaluer les intégrales de convolution en temps portent la " mémoire ". Ce travail a été rendu possible par le développement d'une quadrature adaptée de l'intégrale de Fourier où un petit nombre de points dans la variable de Fourier était suffisant pour une bonne résolution du problème dans l'espace physique, sur un intervalle de temps important. En particulier, nous avons développé une méthode numérique pour simuler la diffusion dans des domaines non bornés avec sources et l'avons appliquée à la modélisation de la croissance des cristaux, à l'aide du modèle du champ de phase. Puis, afin d'étendre cette approche à des problèmes aux limites, nous avons abordé la question de l'évaluation des potentiels de simple couche et de double couche sur le bord du domaine. Enfin, nous avons généralisé l'idée de remplacer les intégrales de convolution en temps par une quadrature efficace dans le domaine de Fourier, aux intégrales et aux dérivés d'ordres fractionnaires, et obtenu une borne rigoureuse de l'erreur de quadrature. Nous avons aussi appliqué cette approche à une équation des ondes fractionnaire. En 2010, j'ai commencé à appliquer les outils numériques et analytiques à l'équation de Bloch-Torrey, dans le domaine de l'imagerie par résonance magnétique de la diffusion (IRMd) du cerveau. Ce travail a commencé dans le cadre d'une collaboration avec des physiciens d'IRM de Neurospin. Nous avons essayé d'expliquer la relation entre la géométrie cellulaire, la perméabilité membranaire et le signal d'IRMd obtenu. Certaines difficultés de la modélisation et de la simulation du signal d'IRMd au niveau de l'échelle de temps et de l'espace viennent de la physique et de la biologie d'IRMd du cerveau. Premièrement, pour des raisons biologiques et techniques, l'IRMd ne peut mesurer que des temps de diffusion compris entre une et cent millisecondes, correspondant à une distance de diffusion moyenne de 2,5 à 25 micromètres. Cette distance est moyennée sur toutes les molécules d'eau, et la distance de diffusion réelle peut être différente selon que la localisation, au début de la mesure, des molécules d'eau : dans les corps neuronaux, dans les neurites (dendrites et axones) ou dans l'espace extra-cellulaire. Deuxièmement, certaines caractéristiques de la matière grise du cerveau rendent l'analyse et la simulation très difficiles: \begin{enumerate} \item Les cellules sont géométriquement complexes. Les neurones ont un corps solide, mesurant 1 à 10 micromètres de diamètre auquel sont attachés de longues neurites (axones et dendrites) qui mesurent de l'ordre d'un micromètre de diamètre et de plusieurs centaines de micromètres de longueur. \item Les cellules ont une répartition très dense. Les corps neuronaux occupent 12\% du volume du cortex cérébral, les axones 34\%, les dendrites 35\%, l'espace extracellulaire 6\%, pour une largeur moyenne de 10 à 30 nanomètres. \item L'organisation cellulaire est complexe. Les cellules du cortex sont organisées en couches, avec des colonnes de cellules liant différentes couches. \item Les cellules sont perméables. En général, l'eau peut se déplacer entre les cellules et l'espace extracellulaire. \end{enumerate} La résolution d'IRMd est de l'ordre de 1 mm$^3$, ce qui signifie que chaque pixel de l'image affiche les caractéristiques de diffusion moyennées dans un volume de tissu (voxel) de 1 mm$^3$, ce qui est très grand devant les échelles spatiales cellulaires. Pour modéliser le signal de l'IMRd dans un voxel, il faut simuler l'aimantation à l'intérieur de ce voxel et calculer son intégrale au moment de l'écho. La distance de diffusion moyenne ne dépassant pas 25 micromètres, il suffit de faire le calcul dans un domaine légèrement plus grand qu'un voxel pour tenir compte de la diffusion de toutes les molécules d'eau qui auront " vu " ce voxel durant le temps de diffusion. De plus, si nous supposons que le voxel contient un environnement cellulaire qui ne varie pas beaucoup à dans le voxel, nous utilisons un domaine de calcul plus petit, celui-ci devra ne contenir qu'une " portion représentative " du tissu dans le voxel. Pour étudier le lien entre l'atténuation du signal d'IRMd et les propriétés géométriques du tissu, tels que le diamètre moyen des cellules et la fraction volumique cellulaire, nous avons généré, dans un premier temps, des domaines de calcul qui contiennent une configuration cellulaire à étudier. A terme, nous envisageons des simulations sur beaucoup de configurations pour obtenir des résultats statistiquement significatifs. Actuellement, nous construisons une seule configuration cellulaire et résolvons le problème forward et inverse associé. Le signal d'imagerie par résonance magnétique de diffusion dans le tissu biologique peut être considéré comme une sorte de " transformée de Fourier " de la fonction de densité de probabilité de déplacement de l'eau dans les milieux hétérogènes. L'aimantation des protons de l'eau en tissu biologique en présence d'impulsions du gradient de champ magnétique, peut être modélisée par une équation aux dérivées partielles (EDP), l'équation de Bloch-Torrey microscopique à compartiments multiples. Cette EDP peut être comprise comme l'attribution aux molécules d'eau en milieu hétérogène, d'une fréquence spatiale qui dépend de leurs positions. Le signal d'IRMd est l'intégrale de la solution de cette EDP au moment de l'écho. Nous avons résolu numériquement cette EDP en couplant une discrétisation spatiale cartésienne standard avec une discrétisation en temps adaptative (Runge-Kutta Chebyshev " RKC ") et nous avons étudié les caractéristiques de la diffusion d'un modèle de la matière grise du cerveau constitué de cellules cylindriques et sphériques dans l'espace extracellulaire. Puis, par homogénéisation, nous avons formulé un nouveau modèle macroscopique, sous forme d'un système d'équations aux dérivées ordinaires (EDO), pour le signal d'IRMd. Ensuite, nous avons montré par des simulations numériques que ce modèle d'EDO donne une bonne approximation du signal du modèle d'EDP complet pour des temps de diffusion relativement longs. Je mentionne aussi le travail de deux doctorants que je co-encadre actuellement. Dang Van Nguyen (soutenu par le projet SIMUDMRI, ANR COSINUS 2010-2013) a couplé une discrétisation d'éléments finis avec la méthode RKC pour obtenir une discrétisation plus précise des surfaces cellulaires. Il travaille sur l'analyse du signal de l'IRMd des neurones isolés. Huan Tuan Nguyen (soutenu par une bourse de l'École Doctorale " Sciences et Technologies de l'Information, des Télécommunications et des Systèmes " ED STITS, 2010-2013) travaille sur le problème inverse du modèle d'EDO. Enfin, j'envisage trois orientations futures de mes recherches dans l'IRMd. \begin{enumerate} \item En collaboration avec le centre Neurospin IRM, confronter les résultats numériques du modèle d'EDP avec les données expérimentales IRMd des ganglions (réseaux neuronaux) de l'Aplysie (limace de mer géante). \item Prendre en compte l'écoulement sanguin dans les micro-vaisseaux du cerveau, via un nouveau modèle d'EDP. \item Obtenir la formulation d'un nouveau modèle d'EDO valable aux temps de diffusion plus courts ou en présence des cellules plus grandes. \end{enumerate}

Les méthodes classiques de résolution des équations de l'élasticité linéaire sont les méthodes éléments finis. Ces méthodes produisent de très bons résultats et sont très largement analysées mathématiquement pour l'étude des déformations solides. Pour des problèmes de couplage solide/fluide, pour des situations réalistes en présence de discontinuités (modélisation des fronts de gel dans les sols humides), ou bien encore pour des domaines de calcul mieux adaptés aux maillages non conformes, il parait intéressant de disposer de solveurs Volumes Finis. Les méthodes Volumes Finis sont très largement utilisées en mécanique des fluides. Appliquées aux problèmes de convection, elles sont bien adaptées à la capture de solutions présentant des discontinuités et ne nécessitent pas de maillages conformes. De plus, elles présentent l'avantage de conserver au niveau discret les flux à travers les interfaces du maillage. C'est pourquoi sont développées et testées, dans cette thèse, plusieurs méthodes de volumes finis, qui permettent de traiter le problème de l'élasticité. On a, dans un premier temps, mis en œuvre la méthode LSGR (Least Squares Gradient Reconstruction), qui reconstruit des gradients par volumes à partir d'une formule de moindres carrés pondérés sur les volumes voisins. Elle est testée pour des maillages tétraédriques non structurés, et montre un ordre 1 de convergence. La méthode des Volumes Finis mixtes est ensuite présentée, basée sur la conservation d'un flux "pénalisé" à travers les interfaces. Cette pénalisation impose une contrainte sur le type de maillage utilisé, et des tests sont réalisés en 2d avec des maillages structurés et non structurés de quadrangles. On étend ensuite la méthode des Volumes Finis diamants à l'élasticité. Cette méthode détermine un gradient discret sur des sous volumes associés aux interfaces à partir de l'interpolation de la solution aux sommets du maillage. La convergence théorique est prouvée sous réserve de vérifier une condition de coercivité. Les résultats numériques, en 2d pour des maillages non structurés, conduisent à un ordre de convergence meilleur que celui prouvé. Enfin, la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui est une extension de la méthode Diamant, est présentée. Elle est basée sur une correspondance entre plusieurs maillages afin d'y construire des opérateurs discrets en "dualité discrète". On montre que la méthode est convergente d'ordre 1. Les illustrations numériques, réalisées en 2d et en 3d pour des maillages non structurés, montrent une convergence d'ordre 2, ce qui est fréquemment observé pour cette méthode.

Dans cette thèse on étudie le couplage de modèles à dimensions spatiales hétérogènes, avec une application en hydraulique fluviale. On commence par donner un cadre mathématique général à cette problématique. Ensuite, on étudie un cas académique de couplage 1-D/2-D dans le cadre elliptique. On définit les opérateurs de restriction et d'extension nécessaires à l'analyse en se basant sur la dérivation du modèle 1-D à partir du modèle 2-D. Après cela, on met en oeuvre un algorithme de couplage de type Schwarz avec des conditions de type Robin. On montre alors la convergence de cet algorithme, plus particulièrement sa convergence optimale en utilisant l'opérateur absorbant exact 1-D. On termine cette partie en établissant une majoration de l'erreur entre la solution couplée et la solution globale de référence en fonction du rapport d'aspect du domaine d'étude et de la position de l'interface de couplage. Ces résultats sont illustrés numériquement. Dans la deuxième partie, on généralise cette analyse mathématique au cas du couplage des systèmes linéaires de Saint-Venant 2-D et de Navier-Stokes hydrostatiques 3-D. En faisant l'hypothèse d'une friction nulle au fond, on montre que la convergence de l'algorithme de couplage est équivalente à celle de l'algorithme usuel de décomposition de domaine du Système de Saint-Venant. On calcule une approximation des opérateurs absorbants exacts du système de Saint-Venant, ce qui nécessite de faire des hypothèses restrictives. Comme alternative, on propose un algorithme avec des conditions de type Robin, dont on montre la convergence. Enfin, on présente une première étude d'un cas test réel de couplage des systèmes de Saint-Venant 1-D et Navier-Stokes 3-D en utilisant les codes numériques Mascaret 1-D et Telemac 3-D développés par EDF R&D.

En simulation de réservoir, les variations spatiales des propriétés des roches sont données par un modèle géologique défini sur une grille pouvant comporter plusieurs centaines de millions de mailles. Simuler des écoulements polyphasiques sur ce type de grille peut être très coûteux en temps de calculs. Les ingénieurs de gisement procèdent souvent à une mise à l'échelle de ces propriétés sur une grille plus grossière, utilisée ensuite pour la simulation. Cette façon de procéder ne permet pas toujours de bien prendre en compte l'influence sur l'écoulement des hétérogénéités présentes à l'échelle fine. Plusieurs méthodes multi-échelles ont donc été proposées ces dernières années afin d'obtenir un meilleur compromis entre les temps de calculs et la précision des solutions obtenues. Actuellement, la plupart de ces méthodes permettent de résoudre plus efficacement l'équation en pression. Les équations de transport sont, quant à elles, toujours résolues sur la grille fine. La première partie de cette thèse présente la mise en œuvre et les résultats de tests réalisés sur la méthode des éléments finis mixtes multi-échelles dans un environnement de calcul parallèle. Le second et principal objectif de ce travail est de proposer une nouvelle méthode multi-échelle pour la simulation du transport d'un traceur dans un milieu poreux. Cette méthode est construite à partir de résultats rigoureux d'homogénéisation en milieux périodiques. Cette thèse fournit une vitesse de convergence explicite pour ce procédé d'homogénéisation ainsi qu'une estimation d'erreur pour la méthode numérique multi-échelle associée. Des exemples numériques sont ensuite présentés.

Ce manuscrit présente des contributions aux méthodes de propagation et d'analyse d'incertitude pour des applications en Mécanique des Fluides Numérique. Dans un premier temps, deux schémas numériques innovantes sont présentées: une approche de type "Collocation", et une autre qui est basée sur une représentation de type "Volumes Finis" dans l'espace stochastique. Dans les deux, l''elément clé est donné par l'introduction d'une représentation de type "Multirésolution" dans l'espace stochastique. L'objective est à la fois de réduire le nombre de dimensions et d'appliquer un algorithme d'adaptation de maillage qui puisse ˆetre utilisé dans l'espace couplé physique/stochastique pour des problémes non-stationnaires. Pour finir, une stratégie d'optimisation robuste est proposée, qui est basée sur une analyse de décomposition de la variance et des moments statistiques d'ordre plus élevé. Dans ce cas, l'objectif est de traiter des probl'emes avec un grand nombre d'incertitudes.

Une modélisation numérique des grands barrages en enrochement à masque amont (CFRD) a été entreprise pour mieux comprendre les pathologies observées sur ces ouvrages récemment construits, principalement des fissures horizontales et verticales sur le masque amont en béton en phase de construction et de mise en eau. Le but de cette modélisation est ensuite de confirmer, préciser ou compléter les solutions proposées par les experts pour éviter ces désordres.D‟abord, une loi de comportement développée au sein d‟EDF-CIH appelée L&K-Enroch a été présentée. Il s'agit d'un modèle élastoplastique qui prend en compte les déformations irréversibles de l‟enrochement sous sollicitation déviatorique et isotrope dans les grands CFRD. Cette thèse propose aussi une méthode de calage des paramètres de ce modèle.Deux modélisations des barrages sont également présentées dans cette thèse afin de vérifier la fiabilité de la loi de comportement L&K-Enroch et de mieux comprendre les pathologies sur le masque amont en béton du CFRD. La modélisation en déformation plane (2D) est d‟abord entreprise et a comme support le barrage d‟Aguamilpa (180,5 m), au Mexique. Une modélisation plus poussée en 3D prenant en compte de l'effet de la vallée est ensuite entreprise. Elle a comme support le barrage de Mohale (145 m) au Lesotho.L'effet d‟échelle de l'enrochement est également étudié en comparant les résultats de simulation pour les matériaux de différentes tailles. L'impact de l‟effet d‟échelle sur le comportement du barrage est aussi analysé.Les simulations présentées en 2D et 3D sont une contribution à l'analyse du comportement mécanique des grands CFRD. Les résultats de la modélisation 2D montrent généralement une bonne correspondance avec les mesures in-situ. La modélisation 3D explique, d'une manière plus convaincante, l‟apparition des fissures sur le masque amont en béton des CFRD. Certaines mesures constructives sont finalement proposées afin de limiter ou d'éviter ces désordres dans le masque.

Dans ce travail, on s'intéresse à plusieurs aspects de l'approximation numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation. La première partie est dédiée à la construction de schémas d'ordre élevé sur des maillages 2D non structurés. On développe une nouvelle technique de reconstruction de gradients basée sur l'écriture de deux schémas MUSCL sur deux maillages imbriqués. Cette procédure augmente le nombre d'inconnues numériques, mais permet d'approcher la solution avec une grande précision. Dans la deuxième partie, on étudie la stabilité des schémas d'ordre élevé. On montre dans un premier temps que les inégalités d'entropie discrètes usuelles vérifiées par les schémas d'ordre élevé ne sont pas pertinentes pour assurer le bon comportement dans le régime de convergence. On propose alors une extension des techniques de limitation {\it a posteriori} pour forcer la vérification des inégalités d'entropie discrètes requises. Dans la dernière partie, on s'intéresse à la construction de schémas well-balanced pour le modèle de Saint-Venant, le modèle de Ripa et les équations d'Euler avec gravité. On propose plusieurs stratégies permettant d'obtenir des schémas numériques capables de préserver tous les régimes stationnaires au repos. On développe également des extensions d'ordre élevé.