Cette thèse s'intéresse au modèle diphasique de Baer-Nunziato. L'objectif de ce travail est de proposer quelques techniques de prise en compte de la disparition de phase, régime occasionnant d'importantes instabilités au niveau du modèle et de sa simulation numérique. Par des méthodes d'analyse et de simulation reposant sur les techniques d'approximation par relaxation à la Suliciu, on montre que dans ces régimes, on peut stabiliser les solutions en introduisant une dissipation de l'entropie totale de mélange. Dans une première approche dite approche Eulerienne directe, la résolution exacte du problème de Riemann pour le système relaxé permet de définir un schéma entropique extrêmement précis, et qui se révèle bien plus économique en terme de coût CPU (à précision donnée) que le schéma classique très simple de Rusanov. De plus, nous montrons que ce schéma permet de simuler avec robustesse des régimes de disparition de phase. Le schéma est développé en 1D puis étendu en 3D et intégré à un prototype de code industriel développé par EDF. La deuxième approche, dite approche par splitting acoustique, propose une séparation des ondes acoustiques rapides et des ondes de transport lentes. L'objectif est d'éviter la résonance due à l'interaction entre ces deux types d'ondes, et de permettre à long terme un traitement implicite de l'acoustique, et explicite du transport. Le schéma, très simple, permet la prise en compte simple de la disparition de phase. La nouveauté est ici l'exploitation de fermetures dissipatives nouvelles du couple vitesse et pression d'interface, qui permettent le contrôle des solutions du problème de Riemann associé à l'étape acoustique.

Nous étudions dans ce mémoire les méthodes de parallélisation en espace-temps pour résoudre des équations différentielles partielles (EDPs). En particulier, nous nous concentrons sur la méthode de Schwarz relaxation d'onde, l'algorithme Pararéel, et leur couplage, l'algorithme Pararéel Schwarz relaxation d'onde (PSWR). Nous nous intéressons à la résolution de l'équation de la chaleur. Nous introduisons ces méthodes, ainsi que d'autres méthodes de parallélisation en espace-temps. Puis nous présentons les méthodes mutligrilles et l'algorithme Multigrid reduction in time MGRIT en mettant en avant leur lien avec l'algorithme Pararéel. Nous proposons une implémentation de PSWR. Nous faisons plusieurs expériences numériques avec cette implémentation pour résoudre l'équation de la chaleur en 1D en parallèle. Nous expérimentons également en couplant la méthode MGRIT avec Schwarz relaxation d'onde. Enfin, nous proposons une nouvelle analyse de convergence pour PSWR et présentons des résultats d'expérience. Nous revenons également sur un autre résultat de convergence super-linéaire déjà existant. Nous discutons ensuite des différences entre notre résultat et ce dernier. / In this thesis, we study space-time parallelization methods for solving partial differential equations. Specifically, we focus on the Schwarz waveform relaxation method, the Parareal algorithm, and their coupling, the Pararel Schwarz waveform relaxation algorithm (PSWR). We are interested in solving the heat equation. We introduce these methods, along with other space-time parallelization methods. Then, we present multigrid methods and the MGRIT algorithm, highlighting their connection to the Parareal algorithm. We propose an implementation of PSWR. We conduct several numerical experiments with this implementation to solve the 1D heat equation in parallel. We also experiment with coupling the MGRIT method with Schwarz waveform relaxation. Finally, we propose a new convergence analysis for PSWR and present experimental results. We also talk about another existing super-linear convergence result and discuss the differences between our result and the latter.

Dans ce travail, on s'intéresse à plusieurs aspects de l'approximation numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation. La première partie est dédiée à la construction de schémas d'ordre élevé sur des maillages 2D non structurés. On développe une nouvelle technique de reconstruction de gradients basée sur l'écriture de deux schémas MUSCL sur deux maillages imbriqués. Cette procédure augmente le nombre d'inconnues numériques, mais permet d'approcher la solution avec une grande précision. Dans la deuxième partie, on étudie la stabilité des schémas d'ordre élevé. On montre dans un premier temps que les inégalités d'entropie discrètes usuelles vérifiées par les schémas d'ordre élevé ne sont pas pertinentes pour assurer le bon comportement dans le régime de convergence. On propose alors une extension des techniques de limitation {\it a posteriori} pour forcer la vérification des inégalités d'entropie discrètes requises. Dans la dernière partie, on s'intéresse à la construction de schémas well-balanced pour le modèle de Saint-Venant, le modèle de Ripa et les équations d'Euler avec gravité. On propose plusieurs stratégies permettant d'obtenir des schémas numériques capables de préserver tous les régimes stationnaires au repos. On développe également des extensions d'ordre élevé.