Abstract : This thesis tackles the problem of the possible phase transitions in the presence of a magnetic field, and of the transport properties of quasi-one-dimensional (quasi-1D) superconductors like Bechgaard salts. In the framework of the quasi-1D electron-gas model, the renormalization group (RG) method is used for studying the effect of Zeeman coupling to a magnetic field on the structure of the phase diagram of the quasi-1D electron gas model. For the transport theory, a combination of linearized Boltzmann equation and renormalization group method is used to investigate the electrical resistivity and the Seebeck coefficient of quasi-1D correlated organic metals like the Bechgaard salts near their quantum critical point that joins antiferromagnetism and superconductivity. The thesis is organized in four chapters. In the first chapter, an introduction to the Bechgaard and Fabre salts is given and properties of their generic temperature-pressure phase diagram are explained. These compounds are considered as the reference systems for the comparison between theory and experiments on the nature and symmetry of the superconducting phase in a magnetic field and the anomalous transport properties in the normal phase. The problem of the observed anomalously high value of the upper critical field of Bechgaard salts is the main issue of chapter two. We approach this problem with the aid of the weak coupling renormalization group technique in the presence of Zeeman coupling, for an extended quasi-1D electron-gas model, which includes inter-chain hopping, nesting deviations along with both intrachain and inter-chain repulsive interactions. This allows us to study the efect of quasi-1D spin fluctuations originating from constructive interference between unconventional superconductivity (SC) and density-wave instabilities on the magnetic field vs temperature phase diagram of these quasi-1D superconductors. Our results support the existence of a crossover from d-wave to an inhomogeneous d-wave FFLO superconducting state under field. In the third chapter, we introduce the semi-classical Boltzmann equation for transport in its linearized form. The Boltzmann theory is coupled to the RG method for the calculation of the renormalized umklapp scattering amplitude for the anisotropic scattering time. We then study the temperature and pressure variation of the electrical resistivity and the Seebeck coefficient of the Bechgaard salts quasi-one-dimensional organic superconductors in the quantum critical domain of their normal phase. We demonstrate that momentum and temperature dependence of umklapp scattering strongly affects the temperature behavior of transport in the metallic state, as a function of nesting deviations that simulate the influence of pressure in the actual phase diagram. This defines a characteristic quantum critical region where significant deviations from the Fermi-liquid behavior are seen, either as an anomalous power law of electrical resistivity or sign reversal of the Seebeck coefficient. / Cette thèse aborde le problème des transitions de phase possibles, en présence d'un champ magnétique, et des propriétés de transport dans des supraconducteurs quasi-unidimensionnels (quasi-1D) comme les sels de Bechgaard. Dans le cadre du modèle d'un gaz d'électrons quasi-1D, on utilise la méthode du groupe de renormalisation (GR) pour étudier l'effet du couplage Zeeman sur le diagramme de phase ce système. Pour la théorie du transport, une combinaison de l'équation de Boltzmann linéarisée et de la méthode de groupe de renormalisation est utilisée pour étudier la résistivité électrique et le coefficient de Seebeck de métaux organiques comme les sels de Bechgaard au voisinage de leur point critique quantique joignant l'antiferromagnétisme et la supraconductivité. La thèse est organisée en quatre chapitres. Dans le chapitre un, une introduction aux sels de Bechgaard et de Fabre est donnée et les propriétés de leur diagramme de phase générique en température-pression sont expliquées. Ces composés sont considérés comme des systèmes de référence pour la comparaison entre la théorie et les expériences sur la nature et la symétrie de la phase supraconductrice sous un champ magnétique et les propriétés anormales de transport dans la phase normale. Le problème de la valeur anormalement élevée du champ critique supérieur observée dans les sels de Bechgaard est la question principale traitée au chapitre deux. Nous abordons ce problème à l'aide de la technique de couplage faible du groupe de renormalisation, pour le modèle du gaz d'électrons quasi-1D étendu, qui contient le saut inter-chaînes, les déviations par rapport à l'emboitement parfait, ainsi que les interactions intra-chaînes et inter-chaînes répulsives. Ceci nous permet d'étudier l'effet des fluctuations de spin quasi-1D provenant d'une interférence constructive entre la supraconductivité non conventionnelle (SC) et les instabilités d'onde de densité sur le diagramme de phase en champ magnétique et en température de ces supraconducteurs quasi-1D. Grâce à notre approche, nous examinons les instabilités possibles dans la partie basse température/champ élevé du diagramme de phase. Dans le troisième chapitre, nous introduisons l'équation semi-classique de Boltzmann pour le transport dans sa forme linéarisée. La théorie de Boltzmann est couplée à la méthode du GR pour le calcul de l'amplitude de diffusion umklapp renormalisée entrant dans l'évaluation du temps de diffusion anisotrope. Nous étudions ensuite la variation en température et en pression de la résistivité électrique et le coefficient de Seebeck pour les supraconducteurs organiques quasi-1D, les sels de Bechgaard, dans le domaine critique quantique de leur phase métallique. Nous démontrons que la variation en quantité du mouvement et en température de la diffusion umklapp sur la surface de Fermi affecte fortement le comportement thermique du transport dans l'état métallique, en fonction des déviations à l'emboîtement parfait. Dans notre modèle, ces déviations simulent l'influence de la pression dans le diagramme de phase réel. Ceci définit une région critique quantique caractéristique où des écarts significatifs par rapport au comportement du liquide de Fermi sont observés, soit comme une loi de puissance anormale de la résistivité électrique, soit comme un changement de signe du coefficient de Seebeck.

Dans ce travail, nous nous intéressons à des modèles cinétiques décrivant un aérosol constitué de particules solides dans un gaz raréfié. Ces modèles sont constitués d'un couplage de deux Équations aux Dérivées Partielles décrivant l'évolution spatio-temporelle des distributions en molécules de gaz et en particules de poussière. Le modèle présenté dans la première partie de ce travail est constitué d'un couplage de deux équations de type Boltzmann, dans lequel l'interaction entre les molécules de gaz et les particules de poussière est décrite par deux opérateurs de collision. Nous proposons deux modélisations de ces opérateurs. Dans la première, les collisions entre particules et molécules sont supposées élastiques. Dans la seconde, nous modélisons ces collisions par un mécanisme inélastique de réflexion diffuse sur la surface des particules. Nous établissons alors des opérateurs de collision d'expressions non classiques. D'un point de vue mathématique, nous montrons que le couplage homogène en espace muni des opérateurs de collision élastiques possède des solutions faibles préservant la masse et l'énergie, et vérifiant une inégalité d'entropie. Nous proposons ensuite une mise en oeuvre numérique du modèle dit de réflexion diffuse, basé sur un code de type Direct Simulation Monte Carlo. Celle-ci met en évidence un coût de simulation de l'opérateur particules-molécules trop élevé lorsque les particules ont un rayon trop grand. Nous introduisons alors dans la deuxième partie de ce travail un modèle constitué d'un couplage (par l'intermédiaire d'une force de traînée) entre une équation de Vlasov et une équation de Boltzmann. Pour cela, nous effectuons un adimensionnement du premier système, suivi d'un développement asymptotique de l'opérateur de collision particules-molécules adimensionné en fonction du rapport de masse entre une molécule et une particule de poussière. Nous justifions ensuite rigoureusement ce développement asymptotique dans le cas homogène en espace et pour le modèle de collisions élastiques en prouvant que les solutions du couplage Boltzmann/Boltzmann convergent faiblement vers des solutions du couplage asymptotique Vlasov/Boltzmann. Nous établissons pour cela une nouvelle variante de l'inégalité de Povzner, adaptée au cas de particules de masses très différentes. Par ailleurs, nous comparons numériquement les systèmes Boltzmann/Boltzmann et Vlasov/Boltzmann pour le modèle dit de réflexion diffuse. La mise en oeuvre numérique du système Vlasov/Boltzmann est réalisée par couplage entre une méthode de type Particle-In-Cell et une méthode Monte-Carlo. Enfin, nous présentons l'application de ces modèles à la simulation numérique de la mobilisation et du transport de particules de poussière au début d'un accident de perte de vide, dans le cadre d'étude de sûreté pour le réacteur ITER

Nous étudions la régularité des équations cinétiques de type Boltzmann. Nous nous basons essentiellement sur une méthode d'analyse harmonique de type "décomposition de Littlewood-Paley", consistant principalement à travailler avec des couronnes dyadiques. Nous nous intéressons de plus, au cadre homogène où la solution f(t,x,v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v, tout en travaillant avec des sections efficaces réalistes et singulières (non cutoff).<br />Dans une première partie, nous étudions le cas particulier des molécules Maxwelliennes. Sous cette hypothèse, la structure de l'opérateur de Boltzmann et de sa tranformée de Fourier s'expriment de manière simple. Nous montrons ainsi une régularité globale C^\infty.<br />Ensuite, nous traitons le cas des sections efficaces générales avec "potentiel dur". Nous nous intéressons d'abord à l'équation de Landau. C'est une équation limite de l'équation de Boltzmann prenant en compte les collisions rasantes. Nous prouvons que toute solution faible appartient à l'espace de Schwartz S. Nous démontrons ensuite une régularité identique pour le cas de l'équation de Boltzmann. Notons que notre méthode s'applique directement pour toutes les dimensions, en signalant que les preuves sont souvent plus simples comparées à d'autres preuves plus anciennes.<br />Enfin, nous terminons avec l'équation de Boltzmann-Dirac. En particulier, nous adaptons le résultat de régularité obtenu dans le travail de Alexandre, Desvillettes, Wennberg et Villani, en utilisant le taux de dissipation d'entropie relatif à l'équation de Boltzmann-Dirac.

Cette thèse présente quatre travaux de recherche mêlant probabilités et analyse, ayant en commun de s'appuyer sur l'intuition physique, tant dans la position des problèmes que dans leur résolution : 1. On borne les probabilités de transition des chaînes de Markov réversibles discrètes, améliorant la borne de Carne grâce à une démonstration alternative. 2. On démontre la convergence vers la limite de champ moyen dans une approche uniforme et non asymptotique pour un modèle de Boltzmann spatialement homogène. 3. On étudie le coefficient de rho-mélange entre deux tribus, montrant en particulier comment cette quantité peut être tensorisée dans un cadre général, ce qui implique des résultats de décorrélation entre groupes infinis de spins en physique statistique. 4. On s'intéresse, pour une équation de McKean-Vlasov, à la stabilité de l'équilibre homogène en fonction de la température, minorant notamment l'énergie d'activation.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation / This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations

Ce travail est dédié à la simulation d’écoulements multidimensionnels de gaz raréfiés dans un domaine où l’interface avec le solide est mobile. Le comportement du gaz est modélisé par un modèle de type BGK de l’équation de Boltzmann et une méthode déterministe de vitesses discrètes est utilisée pour discrétiser l’espace des vitesses microscopiques.Dans ce document, nous proposons tout d’abord trois discrétisations spatiales du modèle qui permettent la prise en compte du mouvement des parois solides, grâce à un traitement spécifique des conditions aux limites. Ces approches sont implémentées et validées pour plusieurs cas unidimensionnels et à la suite de cette étude, la méthode maille coupée est choisie pour une extension à des écoulements de dimensions plus élevées.La suite du travail présente l’algorithme utilisé pour la simulation d’écoulements 2D et 3D. La précision et la robustesse de l’implémentation sont mises en avant grâce à la simulation de nombreux cas tests, dont les résultats sont comparés à ceux issus de la littérature. La méthode maille coupée a notamment été optimisée par une technique de raffinement de maillage adaptatif. La simulation instationnaire 3D de la rotation des pâles du radiomètre de Crookes illustre pleinement le potentiel de la méthode. / This work is devoted to the multidimentional simulation of rarefied gases in a domain with moving boundary. The governing equation is given by BGKtype model of Boltzmann equation and velocity space is discretized with a standard discrete velocity method.We first propose three space discretizations that take boundary motion into account by specific treatment of the boundary conditions. These approaches are implemented and validated for several 1D flows. Based on this study, the cut cell method is chosen to be extend to multidimentional flows.Then we detail the cut cell algorithm for 2D and 3D flow simulations. Robustness and accuracy of the implementation are investigated through the simulation of numerous test cases. Our results are rigorously compared to the ones coming from the literature and good agreement is shown. The cut cell method has been optimized with an adaptive refinement mesh technique. The 3D unstationary simulation of the Crookes radiometer rotating vanes is a perfect illustration of the method potential.

Première partie : Les effets d'interférences lors des diffusions multiples d'une onde dans un potentiel aléatoire peuvent conduire au phénomène de localisation d'Anderson, ce qui modifie profondément les propriétés de transport. Nous étudions la possibilité d'observer des effets de localisation de la lumière dans un condensat atomique gazeux. Nous voulons déterminer la distribution des temps de sortie d'un photon initialement placé dans un nuage atomique. Pour cela, nous modélisons la dynamique de ce système à l'aide de l'équation pilote qui décrit l'évolution de la matrice densité atomique. Dans l'hypothèse où le mouvement des atomes peut être négligé, l'apparition d'échelles de temps qui varient exponentiellement avec la taille du nuage permet d'obtenir une signature d'un effet de localisation.<br /><br />Deuxième partie : Nous étudions le refroidissement par évaporation d'un jet atomique en vue de l'obtention d'un laser à atomes continu. Pour estimer la longueur du jet permettant d'atteindre le régime de dégénérescence quantique, on développe deux méthodes de résolution de l'équation de Boltzmann : l'une, purement numérique, utilise une simulation Monte-Carlo ; l'autre, essentiellement analytique, repose sur un ansatz de la densité dans l'espace des phases. Nous décrivons alors les principales propriétés de cohérence du faisceau atomique ainsi obtenu en prenant en compte les effets de la statistique quantique et des interactions entre les atomes.

La modélisation des propulseurs ioniques de type SPT pose de nombreux <br />problèmes dans le domaine du transport des particules chargées. Nous nous <br />intéressons à deux de ces problèmes, à savoir le transport des électrons et <br />le calcul du potentiel électrique.<br /><br />Le transport des électrons résulte de l'influence conjuguée des champs <br />(électrique et magnétique) établis dans la cavité du propulseur et des <br />collisions des électrons (dans la cavité et avec la paroi limitant celle-ci). <br />Nous avons participé au développement d'un modèle SHE (Spherical Harmonics <br />Expansion) qui résulte d'une analyse asymptotique de l'équation de Boltzmann <br />munie de conditions de réflexion aux bords. Ce modèle permet d'approcher la <br />fonction de distribution en énergie des électrons en résolvant une <br />équation de diffusion dans un espace \{position, énergie\}. Plus précisément, <br />nous avons étendu une démarche existante au cas où les collisions en volume <br />(excitation, ionisation) et les collisions inélastiques à la paroi <br />(attachement et émission secondaire) sont prises en compte. Enfin, nous <br />avons écrit un code de résolution du modèle SHE, dont les résultats ont <br />été comparés avec ceux d'une méthode de Monte Carlo. <br /><br />\vspace*{1mm}<br />Dans un deuxième temps, nous avons étudié le calcul du potentiel électrique. <br />La présence du champ magnétique impose d'écrire le courant d'électrons sous <br />la forme ${\cal J}=\sigma \nabla W$<br /> où W est le potentiel électrique et le tenseur de conductivité $\sigma$<br />est fortement anisotrope compte tenu des grandeurs physiques en jeu dans <br />le SPT. Pour résoudre $\mbox{div }{\cal J}(x,y)=S(x,y)$, <br />nous avons implémenté une méthode de volumes finis <br />sur maillage cartésien permettant de résoudre ce problème elliptique <br />anisotrope, et nous avons vérifié qu'elle échouait lorsque le rapport <br />d'anisotropie devenait grand. Aussi nous avons développé une méthode de <br />paramétrisation, qui consiste à extrapoler la solution d'un problème <br />anisotrope à l'aide d'une suite de problèmes isotropes. Cette méthode a <br />donné des résultats encourageants pour de forts rapports d'anisotropie, <br />et devrait nous permettre d'atteindre des cas réels.

Nous étudions la formation et les propriétés des systèmes auto-gravitants à l'aide de simulations numériques à N corps d'effondrements gravitationnels.<br />Nous effectuons dans un premier temps une synthèse des principaux résultats analytiques concernant les équations de Boltzmann sans collisions et de Poisson, qui modélisent les systèmes gravitationnels non collisionnels ainsi que certaines solutions analytiques de ce système couplé d'équations.<br />Nous présentons ensuite les codes de calcul utilisés pour les simulations. Nous avons parallélisé certains de ces codes, nous introduisons donc le calcul parallèle et la bibliothèque d'échange de message MPI.<br />Nous exposons enfin les résultats de nos simulations, et leurs analyses. Nous déduisons de ces analyses divers résultats pouvant expliquer différentes caractéristiques des systèmes auto-gravitants ainsi que les conditions initiales nécessaires au déclenchement des instabilités d'Antonov et d'orbites radiales.

La physique de la lumière ainsi que les outils géométriques pour la Conception Assistée par Ordinateur sont à la base des logiciels de simulation des phénomènes lumineux pour la fabrication des systèmes optiques. Ce n'est pas sans difficulté que les industriels conçoivent ces logiciels dont un des principaux handicaps est que les simulations sont très coûteuses en temps. L'objectif principal de ce travail est de rechercher et développer des algorithmes de calcul plus performants. Dans un premier temps, on décrit précisément le modèle du transport des photons dans ce contexte, composé de l'équation de Boltzmann accompagné de conditions de bord, et qui, dans le cas de milieux homogènes par morceaux, se ramène à l'équation de radiosité. Ensuite, on présente les outils géométriques utilisés dans le modeleur hybride CSG (Constructive Solid Geometry) et BRep (Boundary Representation) ainsi que les algorithmes de base nécessaires à la recherche d'intersections entre des demi-droites et des objets géométriques. Puis, un tour d'horizon des méthodes d'accélération des calculs en radiométrie par localisation spatiale est présenté. En tenant compte des contraintes industrielles, une telle méthode d'accélération est alors adaptée au contexte puis développée dans un environnement logiciel existant. Des expérimentations numériques montrent l'efficacité des nouvelles bibliothèques. Enfin, une étude théorique des complexités en temps et en mémoire liées aux méthodes de localisation spatiale, faisant intervenir les sommes de Minkowski d'ensembles géométriques, débouche sur une stratégie consistant à minimiser la complexité en temps pour choisir les paramètres de localisation.