Cette thèse présente quatre travaux de recherche mêlant probabilités et analyse, ayant en commun de s'appuyer sur l'intuition physique, tant dans la position des problèmes que dans leur résolution : 1. On borne les probabilités de transition des chaînes de Markov réversibles discrètes, améliorant la borne de Carne grâce à une démonstration alternative. 2. On démontre la convergence vers la limite de champ moyen dans une approche uniforme et non asymptotique pour un modèle de Boltzmann spatialement homogène. 3. On étudie le coefficient de rho-mélange entre deux tribus, montrant en particulier comment cette quantité peut être tensorisée dans un cadre général, ce qui implique des résultats de décorrélation entre groupes infinis de spins en physique statistique. 4. On s'intéresse, pour une équation de McKean-Vlasov, à la stabilité de l'équilibre homogène en fonction de la température, minorant notamment l'énergie d'activation.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique des effets de désordre dans divers systèmes physiques. On commence par trois problèmes d'homogénéisation stochastique en lien avec des questions statiques de physique classique. Premièrement, en vue de la déduction rigoureuse de l'élasticité non linéaire à partir de la physique statistique de réseaux de chaînes de polymères, on établit l'existence de propriétés effectives pour des matériaux hyperélastiques hétérogènes aléatoires sous des hypothèses générales de croissance. Deuxièmement, dans un cadre linéarisé simplifié, on étudie les formules de Clausius-Mossotti pour les propriétés effectives d'alliages binaires dilués: on donne la première preuve générale et rigoureuse de ces formules, ainsi qu'une extension aux ordres supérieurs. Troisièmement, encore pour des systèmes linéarisés, on propose d'étudier les déviations par rapport aux propriétés effectives et on établit la première théorie générale des fluctuations en homogénéisation stochastique. Dans la seconde partie de cette thèse, on se focalise sur la compétition entre désordre et interactions, et on étudie plus particulièrement la dynamique des vortex de Ginzburg-Landau dans des supraconducteurs 2D de type II en présence d'impuretés. Bien que la compréhension mathématique des propriétés vitreuses complexes de ces systèmes semble hors de portée, on établit rigoureusement la limite de champ moyen pour la dynamique d'un grand nombre de vortex, et on étudie l'homogénéisation de ces équations limites et leurs propriétés. / This thesis is devoted to the mathematical study of effects of disorder in various physical systems. We start with three stochastic homogenization problems in connection with static classical physics questions. First, motivated by the rigorous derivation of nonlinear elasticity from the statistical physics of polymer-chain networks, we establish the existence of effective properties for randomly heterogeneous hyperelastic materials under general growth assumptions. Second, in the simplest linearized setting, we investigate the so-called Clausius-Mossotti formulas for the effective properties of dilute two-phase dispersed media: we provide the first general and rigorous proof of these formulas, as well as an extension to higher orders. Third, again for linearized models, we propose to study deviations with respect to effective properties and we establish the first general theory of fluctuations in stochastic homogenization. In the second part of this thesis, the focus is on the interplay between disorder and interactions, and more precisely we study the dynamics of Ginzburg-Landau vortices in 2D type-II superconductors in the presence of several impurities. Although a complete mathematical understanding of the complex glassy properties of such systems seems out of reach, we rigorously establish the mean-field dynamics of a large number of vortices, and we investigate the homogenization of the fluid-like mean-field equations and their stick-slip properties.

Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique des effets de désordre dans divers systèmes physiques. On commence par trois problèmes d’homogénéisation stochastique en lien avec des questions statiques de physique classique. Premièrement, en vue de la déduction rigoureuse de l’élasticité non-linéaire à partir de la physique statistique de réseaux de chaînes de polymères, on établit l’existence de propriétés effectives pour des matériaux hyperélastiques hétérogènes aléatoires sous des hypothèses générales de croissance. Deuxièmement, dans un cadre linéarisé simplifié, on étudie les formules de Clausius-Mossotti pour les propriétés effectives d’alliages binaires dilués: on donne la première preuve générale et rigoureuse de ces formules, ainsi qu’une extension aux ordres supérieurs. Troisièmement, encore pour des systèmes linéarisés, on propose d’étudier les déviations par rapport aux propriétés effectives et on établit la première théorie générale des fluctuations en homogénéisation stochastique. Dans la seconde partie de cette thèse, on se focalise sur la compétition entre désordre et interactions, et on étudie plus particulièrement la dynamique des vortex de Ginzburg-Landau dans des supraconducteurs 2D de type II en présence d’impuretés. Bien que la compréhension mathématique des propriétés vitreuses complexes de ces systèmes semble hors de portée, on établit rigoureusement la limite de champ moyen pour la dynamique d’un grand nombre de vortex, et on étudie l’homogénéisation de ces équations limites et leurs propriétés. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse, on étudie des problèmes de propagation du chaos et de limite de champ moyen pour des modèles relatant le comportement collectif d'individus ou de particules. Particulièrement, on se place dans des cas où l'interaction entre ces individus/particules est discontinue. Le premier travail établit la propagation du chaos pour l'équation de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 1d. Plus précisément, on montre que la distribution des particules évoluant sur la droite des réels interagissant via la fonction signe, converge vers la solution de l'équation de VPFP 1d, en probabilité par des techniques de type grandes déviations, et en espérance par des techniques de loi des grands nombre. Dans le second travail, on étudie une variante du modèle de Cucker-Smale, où le noyau de communication est l'indicatrice d'un cône dont l'orientation dépend de la vitesse de l'individu. Une estimation de stabilité fort-faible en distance de M.K.W. est obtenue, qui implique la limite de champ moyen. Le troisième travail a consisté à introduire de la diffusion en vitesse dans le modèle précédemment cité. Cependant, il faut ajouter une diffusion tronquée afin de préserver un système dans lequel les vitesses restent uniformément bornées. Finalement, on étudie une variante de l'équation d'agrégation où l'interaction entre individus est donnée par un cône dont l'orientation dépend de la position de l'individu. Dans ce cas on peut seulement donner une estimation de stabilité fort-faible en distance $W_\infty$, et le modèle doit être posé dans un domaine borné dans le cas avec diffusion. / In this thesis, we study some propagation of chaos and mean field limit problems arising in modelisation of collective behavior of individuals or particles. Particularly, we set ourselves in the case where the interaction between the individuals/particles is discontinuous. The first work establihes the propagation of chaos for the 1d Vlasov-Poisson-Fokker-Planck equation. More precisely, we show that the distribution of particles evolving on the real line and interacting through the sign function converges to the solution of the 1d VPFP equation, in probability by large deviations-like techniques, and in expectation by law of large numbers-like techniques. In the second work, we study a variant of the Cucker-Smale, where the communication weight is the indicatrix function of a cone which orientation depends on the velocity of the individual. Some weak-strong stability estimate in M.K.W. distance is obtained for the limit equation, which implies the mean field limit. The third work consists in adding some diffusion in velocity to the model previously quoted. However one must add some truncated diffusion in order to preserve a system in which velocities remain unifomrly bounded. Finally we study a variant of the aggregation equation where the interaction between individuals is also given by a cone which orientation depends on the position of the individual. In this case we are only able to provide some weak-strong stability estimate in $W_\infty$ distance, and the problem must be set in a bounded domain for the case with diffusion.

La dérivation d'équations cinétiques consiste à obtenir, à partir d'un modèle microscopique décrivant un système physique donné, des équations d'évolution contenant les informations pertinentes d'un point de vue macroscopique sur ce système. Dans cette thèse on s'intéresse, dans des cas particuliers, à la dérivation d'équations cinétiques par des méthodes utilisant le formalisme de la théorie quantique des champs (QFT) et le calcul semi-classique en dimension finie et infinie. Après une introduction générale, on traite dans la seconde partie de la dérivation de l'équation de Boltzmann linéaire pour une particule dans un champ aléatoire Gaussien, dans la limite de faible densité (ou de faible couplage). On considère des données initiales plus générales que dans les travaux de Erdös et Yau sur le même sujet mais on renouvelle l'aléa pour obtenir le caractère Markovien de l'évolution. On démontre dans la troisième partie une formule décrivant l'évolution, pour un Hamiltonien quantique quadratique dépendant du temps, d'une observable quantifiée à l'aide de la quantification de Wick. Cette formule est valable en dimension finie ou infinie. Enfin la quatrième partie est un travail conjoint avec Zied Ammari. On y considère des bosons interagissant via un potentiel delta, dans la limite de champ moyen, en dimension un. On dérive de ce modèle l'équation de Schrödinger non-linéaire cubique défocalisante.

Dans cette thèse, nous étudions la généralisation à une infinité de particules d'un modèle hamiltonien décrivant les interactions entre une particule et son environnement. Le milieu est considéré comme une superposition continue de membranes vibrantes. Au bout d'un certain temps, tout se passe comme si la particule était soumise à une force de frottement linéaire. Les équations obtenus pour un grand nombre de particules sont proches des équations de Vlasov. Dans un premier chapitre, on montre d'abord l'existence et l'unicité des solutions puis on s'intéresse à certains régimes asymptotiques; en faisant tendre la vitesse des ondes dans le milieu vers l'infini et en redimensionnant les échelles, on obtient à la limite une équation de Vlasov, on montre que si l'on modifie en plus une fonction paramètrisant le système, on obtient l'équation de Vlasov-Poisson attractive. Dans un deuxième chapitre, on ajoute un terme de diffusion à l'équation. Cela correspond à prendre en compte une agitation brownienne et un frottement linéaire sur les particules. Le principal résultat de ce chapitre est la convergence de la distribution de particules vers une unique distribution stationnaire. On montre la limite de diffusion pour ce nouveau système en faisant tendre simultanément la vitesse de propagation vers l'infini. On obtient une équation plus simple pour la densité spatiale. Dans le chapitre 3, nous montrons la validité des équations déjà étudiées par une limite de champ moyen. Dans le dernier chapitre, on étudie l'asymptotique en temps long de l'équation décrivant l'évolution de la densité spatiale obtenue dans le chapitre 2, des résultats faibles de convergence sont obtenus / The goal of this PhD is to study a generalisation of a model describing the interaction between a single particle and its environment. We consider an infinite number of particles represented by their distribution function. The environment is modelled by a vibrating scalar field which exchanges energy with the particles. In the single particle case, after a large time, the particle behaves as if it were subjected to a linear friction force driven by the environment. The equations that we obtain for a large number of particles are close to the Vlasov equation. In the first chapter, we prove that our new system has a unique solution. We then care about some asymptotic issues; if the wave velocity in the medium goes to infinity, adapting the scaling of the interaction, we connect our system with the Vlasov equation. Changing also continuously a function that parametrizes the model, we also connect our model with the attractive Vlasov-Poisson equation. In the second chapter, we add a diffusive term in our equation. It means that we consider that the particles are subjected to a friction force and a Brownian motion. Our main result states that the distribution function converges to the unique equilibrium distribution of the system. We also establish the diffusive limit making the wave velocity go to infinity at the same time. We find a simpler equation satisfied by the spatial density. In chapter 3, we prove the validity of both equations studied in the two first chapters by a mean field limit. The last chapter is devoted to studying the large time asymptotic properties of the equation that we obtained on the spatial density in chapter 2. We prove some weak convergence results