This thesis is devoted to the study the mixed dispersion fourth order nonlinear Schrodinger equations. Our main concern is standing wave solutions. Our approach is based on minimization methods with constraints. Under suitable conditions, we establish existence of minimizers and we investigate their qualitative properties, namely their sign, symmetry and decay at infinity as well as their uniqueness, nondegeneracy and orbital stability. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les travaux présentés concernent l'étude analytique et numérique de différents modèles cinétiques appliqués à plusieurs domaines, plus particulièrement : aux neurosciences computationelles et à la volcanologie. Les points communs à ces sujets de recherche sont : - l'utilisation des équations aux dérivées partielles pour l'écriture des modèles mathématiques en partant d'une description microscopique du phénomène, - leur résolution numérique par des schémas déterministes, - une importante interaction avec les collègues bio et géo-physiciens. Les travaux effectuées en collaboration avec les collègues de géophysique (ISTO, Orléans), proposent une description statistique de l'évolution d'une population de bulles de gaz dans un fluide très visqueux. Cette modélisation souligne l'importance de la prise en compte de la coalescence de bulles et ouvre la voie à plusieurs axes de recherche en mathématique et en volcanologie. Les résultats obtenus en neurosciences computationelles sont basés sur des travaux récents concernant les systèmes d'équations stochastiques lents-rapides. Ils permettent de réduire un problème bidimensionnel, nécessitant des moyens de calcul importants, à un modèle unidimensionnel dont la solution d'équilibre est explicite.

Étant donné un processus physique linéaire dont nous connaissons les équations d'évolution nous pouvons décrire son évolution par un certain nombre d'équations différentielles linéaires. Cette forme mathématique est souvent inexploitable, c'est pourquoi l'on préfère mettre le système sous forme d'équations d'états ou de fonction de transfert ; si le système est à commande échantillonnée on adopte une formulation matricielle dans l'espace d'état. L'une ou l'autre de ces formulations sont équivalentes et le choix ne dépend que des conclusions qui doivent être tirées sur l'évolution du système soumis à une certaine commande. Tout système, quelles que soient ses performances, est inutilisable s'il est instable ou s'il ne peut pas être stabilisé par adjonction d'un correcteur d'où l'importance primordiale d'une étude de stabilité. 11 existe un très grand nombre de méthodes d'étude de la stabilité des systèmes linéaires ; citons pour mémoire la méthode de Routh-hurwitz, les critères de Bode et de Nyquist ... Ces méthodes conviennent parfaitement pour des systèmes d'ordre peu élevé mais deviennent inexploitables, sans calculateur, pour des systèmes plus complexes. Le but de l'étude qui va suivre est de choisir un critère de stabilité s'adaptant au calcul numérique à partir duquel nous élaborerons divers programmes permettant de conclure sur la stabilité des systèmes (jusqu'à l'ordre 14) quelle que soit leur formulation ; rappelons qu'un système peut se mettre sous forme d'équations d'état, de fonction de transfert, d'équations différentielles.

Le présent document est un compte-rendu de quatre présentations que j'ai faites au congrès de Théorie des Nombres Québec-Maine entre 2013 et 2016. Au fil des ans, j'ai effectué quelques améliorations et corrections aux documents originaux. Le contenu, l'esprit et l'organisation sont restés essentiellement inchangés. Les quatre sujets sont fondamentalement distincts tout en étant dans un même cercle d'idées. Le premier chapitre traite d'un certain nombre de sujets en relation avec le comportement moyen de certaines fonctions multiplicatives, dans un ensemble bien précis, qui partagent plusieurs propriétés avec la fonction indicatrice des nombres libres de puissance k-ième. En particulier, on y établit plusieurs estimations de la variance dans des intervalles courts et dans des progressions arithmétiques. Le deuxième chapitre étudie un problème du crible combinatoire. Il y est question d'établir une majoration analogue à la célèbre inégalité de Brun-Titchmarsh, mais pour les nombres libres de puissance k-ième. Après quelques remarques élémentaires, on établit une nouvelle inégalité en supposant une conjecture forte en lien avec la densité maximale d'une suite de nombres ayant un diviseur de la forme pk 1pk 2 où p1 et p2 sont des nombres premiers qui satisfont certaines conditions. La méthode fournit aussi une majoration effective pour le nombre de nombres libres de puissance k-ième dans un intervalle [x + 1, x + h] lorsque h est petit par rapport à x. Le troisième chapitre, écrit en collaboration avec Jean-Marie De Koninck, établit des inégalités particulières pour la fonction τ(n) qui compte le nombre de diviseurs de n. L'objectif est d'obtenir une majoration de τ(n) qui ne dépend pas des facteurs premiers de n, mais seulement du nombre de facteurs premiers distincts de n et de son ordre de grandeur, i.e. de log n. L'inégalité principale (Théorèmes 3.4 et 3.5) a nécessité un bon volume de calcul sur ordinateur, et donc beaucoup de programmation avec Maple. Finalement, le Chapitre 4 est le début d'une étude du nombre de points entiers près d'une courbe dans l'espace R3. Le problème peut aussi être vu comme celui du nombre de points entiers près de deux courbes dans le plan Euclidien simultanément. L'objectif principal est d'utiliser l'information des deux courbes de façon nontriviale, soit de faire mieux que les meilleurs résultats connus pour une seule courbe. Étant donné la complexité du problème déjà en deux dimensions et du nombre de méthodes disponibles, il nous a semblé impossible de faire un traitement complet de la question. On s'est donc concentré sur une méthode qui utilise des approximations linéaires. Cette dernière peut sans doute être substantiellement améliorée. / Résumé en anglais / Théorie analytique des nombres

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2014-2015 / Soit K ⊆ C compact et soit X le complément de K par rapport à la sphère de Riemann, X := C∞ \ K. La capacité analytique de K, notée γ(K), est définie par [symbol]. La capacité analytique des sous-ensembles compacts du plan fut introduite par Ahlfors en 1947 dans le but d’étudier un problème soulevé par Painlevé en 1888 demandant une caractérisation géométrique des sous-ensembles compacts dits effaçables. Le problème de Painlevé se révéla fort difficile et il fallut attendre plus d’un siècle avant d’en obtenir une solution satisfaisante, grâce aux travaux de Xavier Tolsa et plusieurs autres. La présente thèse de doctorat vise à étudier en détail la capacité analytique. Plus précisément, dans la première partie de la thèse, on développe une méthode efficace et rigoureuse pour le calcul numérique de la capacité analytique. Cette méthode est d’autant plus intéressante qu’il est extrêmement difficile en pratique d’estimer la capacité analytique d’un ensemble compact donné. On utilise ensuite cette méthode, implémentée sur ordinateur à l’aide du logiciel matlab, pour étudier le célèbre problème de la sous-additivité de la capacité analytique. Ce problème réputé fort difficile fut énoncé en 1967 par Vitushkin et demeure encore à ce jour sans réponse. Plusieurs expérimentations numériques de même que certains des résultats obtenus mènent à la formulation d’une conjecture qui, si démontrée, impliquerait que la capacité analytique est bel et bien sous-additive. Enfin, on démontre la conjecture dans un cas particulier. La seconde partie de la thèse est dédiée à l’étude des fonctions d’Ahlfors, fonctions extrémales pour le problème de la capacité analytique. Plus précisément, on s’intéresse à un problème soulevé par Jeong et Taniguchi visant à déterminer les fonctions d’Ahlfors qui sont des fonctions rationnelles. On donne une solution partielle au problème, fournissant ainsi plusieurs nouveaux exemples explicites de fonctions d’Ahlfors et de capacités analytiques.

Cette thèse s'adresse au problèmes relié au modélisation mathématique en culture continue et culture batch. Nous proposons et étudions, dans une première étape, des modèles mathématiques de quelques processus biologique en culture continue (Chemostat) permettant d'expliquer et de prévoir la coexistence et la coexistence pratique. Dans une deuxième étape, une série d'expériences de laboratoire sont munies en culture batch, et un modèle mathématique tenant compte du recyclage de substrat est proposé, analysé et validé sur des donnés expérimentales en culture pure et mixte prouvant la validité de la principe d'exclusion compétitive en culture batch. / Cette thèse s'adresse au problèmes relié au modélisation mathématique en culture continue et culture batch. Nous proposons et étudions, dans une première étape, des modèles mathématiques de quelques processus biologique en culture continue (Chemostat) permettant d'expliquer et de prévoir la coexistence et la coexistence pratique. Dans une deuxième étape, une série d'expériences de laboratoire sont munies en culture batch, et un modèle mathématique tenant compte du recyclage de substrat est proposé, analysé et validé sur des donnés expérimentales en culture pure et mixte prouvant la validité de la principe d'exclusion compétitive en culture batch.

Le contexte du sujet est la gestion des systèmes aquifères, en particulier le contrôle de leur exploitation et de leur éventuelle pollution. Comme exemple d'application, nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères côtiers. Plus généralement, le travail s'applique à tout écoulement miscible et stratifié dans un milieu poreux faiblement déformable. Le but est d'obtenir un modèle robuste pour modéliser le déplacement des fronts de l'eau salée et de la surface supérieure de l'aquifère. Nous avons proposé une approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte ce qui a l'avantage de respecter la réalité physique du problème tout en conservant l'efficacité numérique. De plus, nous réussissons à modéliser ce problème 3D par un modèle dynamique 2D où la 3ème dimension est traitée via l'évolution des fronts d'eau salée et de la surface libre supérieure de l'aquifère en prenant en compte l'épaisseur des zones de transition (transition entre eau salée et eau claire, transition entre zone saturée et zone insaturée). Le modèle est basé sur les lois de conservation dans le domaine de l'eau salée et dans celui de l'eau douce, les deux domaines (à frontière libre) étant couplés par un modèle intermédiaire de changement de phase. De plus, nous avons effectué des simulations numériques pour comparer notre modèle 2D issu de l'approche mixte avec un modèle 3D d'écoulement de deux fluides miscibles en milieu compressible saturé. Puis, des simulations sont faites sur notre modèle 2D pour illustrer son efficacité (cette fois dans le cas insaturé). / The context of the subject is the management of aquifers, in especially the control of their operations and their possible pollution. A critical case is the saltwater intrusion problem in costal aquifers. The goal is to obtain efficient and accurate models to simulate the displacement of fresh and salt water fronts in coastal aquifer for the optimal exploitation of groundwater. More generally, the work applies for miscible and stratified displacements in slightly deformable porous media. In this work we propose an original model mixing abrupt interfaces/diffuse interfaces approaches. The advantage is to adopt the (numerical) simplicity of a sharp interface approach, and to take into account the existence of diffuse interfaces. The model is based on the conservation laws written in the saltwater zone and in the freshwater zone, these two free boundary problems being coupled through an intermediate phase field model. An upscaling procedure let us reduce the problem to a two-dimensional setting. The theoretical analysis of the new model is performed. We also present numerical simulations comparing our 2D model with the classical 3D model for miscible displacement in a confined aquifer. Physical predictions from our new model are also given for an unconfined setting.

L'analyse réelle a de nombreuses applications car c'est un outil approprié pour modéliser de nombreux phénomènes physiques et socio-économiques. En tant que tel, sa formalisation dans des systèmes de preuve formelle est justifié pour permettre aux utilisateurs de vérifier formellement des théorèmes mathématiques et l'exactitude de systèmes critiques. La bibliothèque standard de Coq dispose d'une axiomatisation des nombres réels et d'une bibliothèque de théorèmes d'analyse réelle. Malheureusement, cette bibliothèque souffre de nombreuses lacunes. Par exemple, les définitions des intégrales et des dérivées sont basées sur les types dépendants, ce qui les rend difficiles à utiliser dans la pratique. Cette thèse décrit d'abord l'état de l'art des différentes bibliothèques d'analyse réelle disponibles dans les assistants de preuve. Pour pallier les insuffisances de la bibliothèque standard de Coq, nous avons conçu une bibliothèque facile à utiliser : Coquelicot. Une façon plus facile d'écrire les formules et les théorèmes a été mise en place en utilisant des fonctions totales à la place des types dépendants pour écrire les limites, dérivées, intégrales et séries entières. Pour faciliter l'utilisation, la bibliothèque dispose d'un ensemble complet de théorèmes couvrant ces notions, mais aussi quelques extensions comme les intégrales à paramètres et les comportements asymptotiques. En plus, une hiérarchie algébrique permet d'appliquer certains théorèmes dans un cadre plus générique comme les nombres complexes pour les matrices. Coquelicot est une extension conservative de l'analyse classique de la bibliothèque standard de Coq et nous avons démontré les théorèmes de correspondance entre les deux formalisations. Nous avons testé la bibliothèque sur plusieurs cas d'utilisation : sur une épreuve du Baccalauréat, pour les définitions et les propriétés des fonctions de Bessel ainsi que pour la solution de l'équation des ondes en dimension 1. / Real analysis is pervasive to many applications, if only because it is a suitable tool for modeling physical or socio-economical systems. As such, its support is warranted in proof assistants, so that the users have a way to formally verify mathematical theorems and correctness of critical systems. The Coq system comes with an axiomatization of standard real numbers and a library of theorems on real analysis. Unfortunately, this standard library is lacking some widely used results. For instance, the definitions of integrals and derivatives are based on dependent types, which make them cumbersome to use in practice. This thesis first describes various state-of-the-art libraries available in proof assistants. To palliate the inadequacies of the Coq standard library, we have designed a user-friendly formalization of real analysis: Coquelicot. An easier way of writing formulas and theorem statements is achieved by relying on total functions in place of dependent types for limits, derivatives, integrals, power series, and so on. To help with the proof process, the library comes with a comprehensive set of theorems that cover not only these notions, but also some extensions such as parametric integrals and asymptotic behaviors. Moreover, an algebraic hierarchy makes it possible to apply some of the theorems in a more generic setting, such as complex numbers or matrices. Coquelicot is a conservative extension of the classical analysis of Coq's standard library and we provide correspondence theorems between the two formalizations. We have exercised the library on several use cases: in an exam at university entry level, for the definitions and properties of Bessel functions, and for the solution of the one-dimensional wave equation.

Le problème de l'imagerie non itérative dans le cadre de la diffraction électromagnétique inverse utilisant la méthode d'échantillonnage direct (DSM) est considéré. Grâce à une combinaison de l'expression asymptotique du champ proche ou du champ lointain diffracté et de l'hypothèse de petits obstacles, les expressions analytiques de la fonction d'indicateur DSM sont présentées dans diverses configurations telles que des configurations 2D/3D, mono-/multi-configurations statiques, à vue limitée/complète et fréquence unique/ diversité en fréquence. Une fois l'expression analytique obtenue, sa structure est analysée et des améliorations proposées. Notre approche est validée à l’aide de données de simulation, et d’expériences le cas échéant. Premièrement, la structure mathématique du DSM à fréquence fixe en 2D dans divers problèmes de diffusion est établie, permettant une analyse théorique de son efficacité et de ses limites. Pour surmonter les limitations connues, une méthode alternative d'échantillonnage direct (DSMA) est proposée. Puis le cas multi-fréquence est investigué en introduisant et en analysant le DSM multi-fréquence (MDSM) et le DSMA multi-fréquence (MDSMA). Enfin, notre approche est étendue aux problèmes de diffraction électromagnétique inverse 3D pour lesquels le choix de la polarisation du dipôle de test est un paramètre clé. De par notre approche analytique, ce choix peut être effectué sur la base de la polarisation du champ incident. / The non-iterative imaging problem within the inverse electromagnetic scattering framework using the direct sampling method (DSM) is considered. Thanks to the combination of the asymptotic expression of the scattered near-field or far-field and of the small obstacle hypothesis the analytical expressions of the DSM indicator function are presented in various configurations such as 2D/3D configurations and/or mono-/multi-static configurations and/or limited-/full-view case and/or mono-/multi-frequency case. Once the analytical expression obtained, its structure is analyzed and improvements proposed. Our approach is validated using synthetic data and experimental ones when available. First, the mathematical structure of DSM at a fixed frequency in 2D various scattering problems is established allowing a theoretical analysis of its efficiency and limitations. To overcome the known limitations an alternative direct sampling method (DSMA) is proposed. Next, the multi-frequency case is investigated by introducing and analyzing the multi-frequency DSM (MDSM) and the multi-frequency DSMA (MDSMA).Finally, our approach is extended to 3D inverse electromagnetic scattering problems for which the choice of the polarization of the test dipole is a key parameter. Thanks to our analytical analysis it can be made based on the polarization of the incident field.