Le pseudospectre est un nouvel outil pour étudier les matrices et les opérateurs linéaires. L’outil traditionnel est le spectre. Celui-ci peut révéler des informations sur le comportement des matrices ou operateurs normaux. Cependant, il est moins informatif lorsque la matrice ou l’opérateur est non-normal. Le pseudospectre s’est toutefois révélé être un outil puissant pour les étudier. Il fournit une alternative analytique et graphique pour étudier ce type des cas. Le but de cette thèse est d’étudier le comportement d’une matrice non-normale A en se basant sur le pseudospectre. Il est bien connu que le théorème matriciel de Kreiss donne des estimations des bornes supérieures de [symbol] et [symbol] en fonction du pseudospectre. En 1999, Toh et Trefethen [31] ont généralisé ce célèbre théorème aux polynômes de Faber et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. En 2005, Vitse [34] a donné une généralisation du théorème aux fonctions holomorphes dans le disque unité. Dans cette thèse, on généralise le théorème matriciel de Kreiss aux fonctions holomorphes et aux matrices ayant des spectres dans des domaines plus généraux. Certaines conditions devraient cependant être vérifiées. L’étude du comportement d’une matrice au cas où la valeur exacte de la norme de la résolvante est connue a été aussi remise en question. Il est bien connu que si A et B sont des matrices à pseudospectres identiques, alors [symbol] Mais, qu’en est-il pour les puissances supérieures [symbol] En 2007, Ransford [21] a montré qu’il existe des matrices [symbol] avec des pseudospectres identiques et où peuvent prendre des valeurs aléatoires et indépendantes les unes des autres pour [symbol]. Serait-il aussi le cas pour n assez grand ? Par ailleurs, le pseudospectre est aussi utilisé pour étudier le semi-groupe [symbol], mais permet-il de déterminer [symbol] ? Cette thèse répond à toutes ces questions en démontrant des résultats plus généraux. Elle généralise l’inégalité (1) aux transformations de Möbius. Elle montre aussi que la condition de pseudospectre identique n’est pas suffisante pour déterminer le comportement d’une matrice. Cependant, la condition de pseudospectre super-identique pourrait l’être. / The theory of pseudospectra is a new tool for studying matrices and linear operators. The traditional tool is the spectrum. It reveals information on the behavior of normal matrices or operators. However, it is less informative as the matrix or the operator are non-normal. Pseudospectra have nevertheless proved to be a powerful tool to study them. They provide an analytical and graphical alternative to study this type of case. The purpose of this thesis is to study the behavior of a non-normal matrix A based on its pseudospectra. It is well known that the Kreiss matrix theorem provides estimates of upper bounds of [symbol] according pseudospectra. In 1999, Toh and Trefethen [31] generalized the celebrated theorem to Faber polynomials and matrices with spectra in more general domains. In 2005, Vitse [34] generalized the theorem for holomorphic functions in the unit disk. In this thesis, the Kreiss matrix theorem is generalized to holomorphic functions and matrices with spectra in more general domains. However, certain conditions should be imposed. The behavior of a matrix if the exact knowledge of the resolvent norm is assumed has also been questioned. It is well known that if A and B are matrices with identical pseudospectra, then [symbol] But what about higher powers [symbol] ? In 2007, Ransford [21] showed that there exist matrices [symbol] with identical pseudospectra and where [symbol] and [symbol] can take more or less arbitrary values for [symbol]. Is it also the case for large n? Moreover, pseudospectra are also used to study the semigroup [symbol], but do they allow us to determine [symbol] ? This thesis addresses all these issues by demonstrating more general results. It generalizes the inequality (2) to Möbius transformations. It also shows that the condition of identical pseudospectra is not sufficient to determine the behavior of a matrix. However, the condition of super-identical pseudospectra could do so.

Dans cette thèse, nous construisons une base du groupe Ck des unités cycolotomiques (au sens de Sinnott) d’une certaine extension abélienne finie k de Q ramifiée exactement sur trois nombres premiers distincts. La première étape consiste en la construction d’une base du goupe Dk des nombres circulaires de k. Par la suite, il sera plus simple d’obtenir une base de Ck. / In this thesis, we construct an explicit basis of the group Ck of cyclotomic units of certain finite abelian extension k of Q ramified at exactly three distinct primes. The first step consists in constructing a basis of the group Dk of circular numbers of k. From there, it is not too difficult to obtain a basis of Ck. The method is combinatorial in nature. We may visualize our construction using a three dimensional cuboid formed of j Gal(k=Q)j small cubes, each of these small cubes containing a Galois conjugate of a primitive circular unit of k. The classical norm relations give rise to some identifications on the cuboid. Using these identifications and an Ennola-type relation (a highly non-trivial relation), we manage to construct an explicit basis of Ck.

En mettant à profit le lien étroit entre la théorie des nombres ordinaux et la cardinalité des ensembles bien ordonnables, on présente l’arithmétique des N puis, en exploitant l’astuce de Scott, on expose la théorie des nombres cardinaux en toute généralité. Enfin, on énonce l’hypothèse du continu. Une fois cette mise en contexte effectuée, on se tourne vers les résultats exclusifs aux théories des ensembles ZF et ZFC, toutes deux enrichies de l’hypothèse du continu. On démontre d’abord que l’hypothèse du continu permet d’établir un principe de dualité entres les notions de mesure et de catégorie au sens de Baire. Puis, on observe comment des ensembles aux propriétés topologiques particulières - obtenus en supposant l’hypothèse du continu - apportent un éclairage différent sur des thèmes à saveur analytique comme le théorème d’Egoroff, le théorème de Fréchet de suite double et le problème de la mesure généralisée.

En statistique directionnelle, on utilise trois types de régression : des modèles angle-linéaire, linéaire-angle et angle-angle, selon la nature des données. Ainsi, si la variable explicative et la variable réponse sont des angles, la régression angle-angle permet d’expliquer la relation entre ces variables. Plusieurs modèles de régression ont été développés en statistique directionnelle. Trois d’entre eux font l’objet de ce mémoire : le prédicteur décentré de Rivest (1997), le modèle de Möbius de Downs & Mardia (2002) et la régression non paramétrique de Di Marzio et al. (2012). Des méthodes d’estimation sont mises de l’avant pour les paramètres de chacun de ces modèles. On compare les modèles entre eux à l’aide de simulations et d’exemples utilisant des données réelles. / For the analysis of directional data, there are three types of regression models: angular-linear, linear-angular and angular-angular. The type of regression depends on the nature of the data. Hence, if the explanatory variable and the response variable are angles, the angular-angular regression model can explain the relationship between these variables. Several models have been developed for this purpose and in this paper, three of these directional models are discussed: the decentred predictor of Rivest (1997), the Mobius model Downs & Mardia (2002) and the nonparametric regression of Di Marzio et al. (2012). Estimation procedures are highlighted for the parameters of each of these models. We compare the models together with simulations and examples using real data.

Les modèles classiques en finance sont basés sur des hypothèses qui ne sont pas toujours vérifiables empiriquement. L’objectif de ce mémoire est de présenter l’utilisation de la distribution de Laplace asymétrique généralisée comme une alternative intéressante à ces derniers. Pour ce faire, on utilise ses différentes propriétés afin de développer des méthodes d’estimation paramétrique, d’approximation et de test, en plus d’élaborer quelques principes d’évaluation de produits dérivés. On présente enfin un exemple d’application numérique afin d’illustrer ces différents concepts. / Classical models in finance are based on a set of hypotheses that are not always empirically verifiable. The main objective behind this master’s thesis is to show that the generalized asymmetric Laplace distribution is an interesting alternative to those models. To support this idea, we focus on some of its properties to develop parametric estimation, approximation and testing methods, then we work out some principles of derivatives pricing. Finally, we have a numerical example to illustrate these concepts.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2014-2015 / Ce mémoire porte sur les transformations isoparamétriques quadratiques dans le contexte de la méthode des éléments finis, mais en gardant un point de vue théorique. Le but est de trouver des critères d’inversibilité afin de pouvoir appliquer des techniques d’adaptation de maillage avec des éléments quadratiques (courbes). Le premier chapitre introduit le sujet en présentant les difficultés qui surviennent avec les éléments quadratiques. Le deuxième chapitre présente une revue des principaux résultats sur le sujet et une caractérisation des conditions d’inversibilité en deux dimensions. Finalement, le troisième chapitre étudie ce qui se passe en trois dimensions et tente d’apporter des idées pour l’inversibilité dans un cas particulier.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2014-2015 / Soit K ⊆ C compact et soit X le complément de K par rapport à la sphère de Riemann, X := C∞ \ K. La capacité analytique de K, notée γ(K), est définie par [symbol]. La capacité analytique des sous-ensembles compacts du plan fut introduite par Ahlfors en 1947 dans le but d’étudier un problème soulevé par Painlevé en 1888 demandant une caractérisation géométrique des sous-ensembles compacts dits effaçables. Le problème de Painlevé se révéla fort difficile et il fallut attendre plus d’un siècle avant d’en obtenir une solution satisfaisante, grâce aux travaux de Xavier Tolsa et plusieurs autres. La présente thèse de doctorat vise à étudier en détail la capacité analytique. Plus précisément, dans la première partie de la thèse, on développe une méthode efficace et rigoureuse pour le calcul numérique de la capacité analytique. Cette méthode est d’autant plus intéressante qu’il est extrêmement difficile en pratique d’estimer la capacité analytique d’un ensemble compact donné. On utilise ensuite cette méthode, implémentée sur ordinateur à l’aide du logiciel matlab, pour étudier le célèbre problème de la sous-additivité de la capacité analytique. Ce problème réputé fort difficile fut énoncé en 1967 par Vitushkin et demeure encore à ce jour sans réponse. Plusieurs expérimentations numériques de même que certains des résultats obtenus mènent à la formulation d’une conjecture qui, si démontrée, impliquerait que la capacité analytique est bel et bien sous-additive. Enfin, on démontre la conjecture dans un cas particulier. La seconde partie de la thèse est dédiée à l’étude des fonctions d’Ahlfors, fonctions extrémales pour le problème de la capacité analytique. Plus précisément, on s’intéresse à un problème soulevé par Jeong et Taniguchi visant à déterminer les fonctions d’Ahlfors qui sont des fonctions rationnelles. On donne une solution partielle au problème, fournissant ainsi plusieurs nouveaux exemples explicites de fonctions d’Ahlfors et de capacités analytiques.

L’adaptation de maillages anisotrope permet d’améliorer grandement la précision de méthodes numériques telles que la méthode des éléments finis. L’adaptation peut être très coûteuse en temps de calcul, mais montre un grand potentiel de parallélisation. Ce projet consiste à développer une implémentation parallèle de l’adaptation de maillages anisotrope basée sur des estimateurs métrique et hiérarchique. On introduit les notions de base de l’adaptation et de la programmation parallèle. On développe une stratégie de parallélisation applicable à la fois en deux dimensions et en trois dimensions. Enfin, on applique cette stratégie dans le cadre de la méthode des éléments finis dans le but d’en évaluer l’efficacité et la rapidité.

En développant des outils pour étudier les chaînes de Markov réversibles ainsi qu’une classification des arbres par leur constante de branchement, on pourra traiter du problème du retour à l’origine d’une marche aléatoire sur un arbre. Ces mêmes outils nous permettront d’étudier la percolation sur les arbres. En particulier, il sera possible de relier explicitement la constante de branchement d’un arbre à la valeur critique pour la marche aléatoire biaisée et à la valeur critique de percolation. Par la suite, on détaille comment en arriver à des bornes intéressantes pour deux valeurs critiques du processus de contact sur l’arbre homogène, un résultat de Pemantle. On généralise aussi un résultat de Schinazi qui nous permet de trouver une borne inférieure pour la valeur critique de survie du processus de contact sur le recouvrement universel d’un graphe fini.

Ce document traite le problème de l’élasticité en grandes déformations avec contact frottant. Dans le premier chapitre, nous présentons un rappel des lois auxquelles nous ferons référence : lois de comportement matériau, conditions aux limites, contact et frottement selon la loi de Coulomb. Le coeur de la thèse commence par la discrétisation des conditions de bord. L’imposition en moyenne de la non-pénétration et de la loi de Coulomb est explicitée dans le but de se ramener en dimension finie. C’est dans ce domaine que les algorithmes sont développés. Les conditions d’optimalité sont donc calculées pour le problème déjà discrétisé et sont linéarisées par la suite selon le paradigme des contraintes actives. Suivant cette stratégie, l’état de contact est fixé à chaque itération de la méthode de Newton, transformant les conditions de contact en contraintes d’égalité. Le système de conditions d’optimalité ainsi obtenu peut alors être linéarisé. La résolution de ce nouveau système linéaire constitue l’autre partie importante de cette thèse. Les méthodes de pénalisation et d’Uzawa sont d’abord exposées ; elles serviront de point de comparaison. Nous construisons par la suite un algorithme basé sur un GCR préconditionné par une factorisation faisant apparaître un complément de Schur. Le tout est présenté d’abord dans le cas plus simple du contact sans frottement, puis en ajoutant le frottement. Des résultats numériques, parfois académiques (des cubes) et parfois industriels (des lamelles de pneus), viennent finalement appuyer les convictions que non seulement ces méthodes sont rapides, mais qu’elles sont aussi robustes. / This thesis addresses the problem of large deformation elasticity with frictional contact. In the first chapter, we recall the laws to which we refer: material behavior laws, boundary conditions, contact and friction according to Coulomb’s law. The heart of the thesis begins with the discretization of boundary conditions. Mortar formulations for non-penetration and Coulomb’s law are explained in order to set the problem in a finite dimensional space. Optimality conditions are calculated for the discretized problem and are subsequently linearized according to the paradigm of active set strategy. Under this approach, the contact state is set at each iteration of Newton’s method, transforming the contact conditions in equality constraints. The system of optimality conditions thus obtained can then be linearized. The resolution of this new linear system is another important part of this thesis. Methods of penalization and Uzawa are first exposed; they serve as a comparison point. Thereafter, we introduce a preconditioned GCR algorithm based on a factorization using a Schur complement. The whole problem is presented first in the simplest case of contact without friction, and, in the last chapter, with friction. Numerical results, sometimes academic (cubes) and sometimes industrial (slides tires) finally support the belief that not only these methods are efficient, but they are also robust.