Titre de l'écran-titre (visionné le 13 décembre 2023) / La théorie des fonctions non commutatives est un domaine de recherche assez nouveau. Elle essaie de généraliser plusieurs résultats déjà connus en analyse complexe en ne supposant pas que les variables indéterminées soient commutatives. Par exemple, les monômes $$X_1X_2 \quad et \quad X_2X_1$$ ne représentent pas la même choses dans ce contexte. Nous verrons d'abord dans les chapitres 1 et 2 comment les fonctions libres, qui sont les fonctions d'intérêt dans la théorie des fonction non commutatives, satisfont des propriétés qui les rendent très régulières et très intéressantes. Dans le chapitre 3, nous verrons comment le théorème de monodromie standard en analyse complexe se généralise a un nouveau théorème encore plus fort dans la théorie des fonctions non commutatives. Dans le chapitre 4, nous étudierons une généralisation de l'espace de Hardy ainsi que l'espace de Drury-Arveson, soit l'espace des fonction $$f(X)=\sum_{\alpha}c_\alpha X^\alpha,$$ où les coefficients sont carré sommables, c'est-à-dire que $$\sum_{\alpha}\left|\alpha \right|^2< \infty.$$ Finalement, dans le chapitre 5, nous verrons comment, sous certaines contraintes, chaque fonction libre est localement représentable par une série entière.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2014-2015 / Soit K ⊆ C compact et soit X le complément de K par rapport à la sphère de Riemann, X := C∞ \ K. La capacité analytique de K, notée γ(K), est définie par [symbol]. La capacité analytique des sous-ensembles compacts du plan fut introduite par Ahlfors en 1947 dans le but d’étudier un problème soulevé par Painlevé en 1888 demandant une caractérisation géométrique des sous-ensembles compacts dits effaçables. Le problème de Painlevé se révéla fort difficile et il fallut attendre plus d’un siècle avant d’en obtenir une solution satisfaisante, grâce aux travaux de Xavier Tolsa et plusieurs autres. La présente thèse de doctorat vise à étudier en détail la capacité analytique. Plus précisément, dans la première partie de la thèse, on développe une méthode efficace et rigoureuse pour le calcul numérique de la capacité analytique. Cette méthode est d’autant plus intéressante qu’il est extrêmement difficile en pratique d’estimer la capacité analytique d’un ensemble compact donné. On utilise ensuite cette méthode, implémentée sur ordinateur à l’aide du logiciel matlab, pour étudier le célèbre problème de la sous-additivité de la capacité analytique. Ce problème réputé fort difficile fut énoncé en 1967 par Vitushkin et demeure encore à ce jour sans réponse. Plusieurs expérimentations numériques de même que certains des résultats obtenus mènent à la formulation d’une conjecture qui, si démontrée, impliquerait que la capacité analytique est bel et bien sous-additive. Enfin, on démontre la conjecture dans un cas particulier. La seconde partie de la thèse est dédiée à l’étude des fonctions d’Ahlfors, fonctions extrémales pour le problème de la capacité analytique. Plus précisément, on s’intéresse à un problème soulevé par Jeong et Taniguchi visant à déterminer les fonctions d’Ahlfors qui sont des fonctions rationnelles. On donne une solution partielle au problème, fournissant ainsi plusieurs nouveaux exemples explicites de fonctions d’Ahlfors et de capacités analytiques.

Depuis quelques années, nous connaissons un engouement spectaculaire pour les mathématiques modernes. Ces dernières sont élaborées à partir d'un petit nombre de concepts d'une extrême généralité. Ainsi les maîtres sont amenés à étudier les notions d'ensemble, structure, treillis, groupe, espace, et bien sûr, la notion de fonction qui est la plus fondamentale après celle d'ensemble. C'est dans une perspective historique globale que l'on découvre la longue histoire de la formulation du concept de fonction; historiquement, les fonctions ont toujours été présentes... Mais l'objectivation s'est effectuée relativement tard; en même temps, on prenait conscience du rôle primordial de la notion vis-à-vis l'édification des mathématiques. Ces considérations du chapitre I vont poser le problème de la réorganisation de l'enseignement autour de ce thème. Jusqu'à maintenant, l'insertion de la notion de fonction dans les programmes scolaires, était plus ou moins artificielle, voire même accessoire... Il est vrai que cette notion est l'une des dernières venues dans l'ordre d'acquisition des connaissances mathematiques; par contre, elle s'avère être première dans l'ordre de construction de l'édifice mathématique. Du point de vue didactique, il faut voir eue l'élaboration d'une telle notion n'est pas un fa.it banal. Il serait temps de répondre aux questions suivantes: A Quel niveau les élèves feront-ils l'apprentissage des fonctions? Comment pourront-ils le faire? Le chapitre II propose une situation susceptible d'amener de jeunes enfants de l'élémentaire, à construire à leur propre compte la notion de fonction. Enfin, il faut rappeler que la notion de fonction présente des exigences d'abstraction et de rigueur mathématiques, avec lesquelles beaucoup de nos enseignants ne sont pas familiers. Notre travail se voudrait aussi un outil commode entre les mains des maître s qui doivent assumer la présente transition de l'enseignement de la mathématique... Il nous paraissait donc nécessaire de réunir les éléments de mathématique indispensables à une formulation efficace de la notion; c'est l'objet du chapitre trois. Assistons d'abord à la naissance et à la construction progressive de la notion de fonction, par l'humanité... / Québec Université Laval, Bibliothèque 2014

Québec Université Laval, Bibliothèque 2019

Les réseaux euclidiens sont un outil particulièrement puissant dans<br />plusieurs domaines de l'algorithmique, en cryptographie et en théorie<br />algorithmique des nombres par exemple. L'objet du présent mémoire est dual : nous améliorons les algorithmes de réduction des réseaux,<br />et nous développons une nouvelle application dans le domaine<br />de l'arithmétique des ordinateurs. En ce qui concerne l'aspect algorithmique, nous nous intéressons aux cas des petites dimensions (en dimension un, où il s'agit du calcul de pgcd, et aussi en dimensions 2 à 4), ainsi qu'à la description d'une nouvelle variante de l'algorithme LLL, en dimension quelconque. Du point de vue de l'application, nous utilisons la méthode<br />de Coppersmith permettant de trouver les petites racines de polynômes modulaires multivariés, pour calculer les pires cas pour l'arrondi des fonctions mathématiques, quand la fonction, le mode d'arrondi, et la précision sont donnés. Nous adaptons aussi notre technique aux mauvais cas simultanés pour deux fonctions. Ces deux méthodes sont des pré-calculs coûteux, qui une fois <br />effectués permettent d'accélérer les implantations des fonctions mathématiques élémentaires en précision fixée, par exemple en double précision.<br /><br />La plupart des algorithmes décrits dans ce mémoire ont été validés<br />expérimentalement par des implantations, qui sont<br />disponibles à l'url http://www.loria.fr/~stehle.