Titre de l'écran-titre (visionné le 13 décembre 2023) / La théorie des fonctions non commutatives est un domaine de recherche assez nouveau. Elle essaie de généraliser plusieurs résultats déjà connus en analyse complexe en ne supposant pas que les variables indéterminées soient commutatives. Par exemple, les monômes $$X_1X_2 \quad et \quad X_2X_1$$ ne représentent pas la même choses dans ce contexte. Nous verrons d'abord dans les chapitres 1 et 2 comment les fonctions libres, qui sont les fonctions d'intérêt dans la théorie des fonction non commutatives, satisfont des propriétés qui les rendent très régulières et très intéressantes. Dans le chapitre 3, nous verrons comment le théorème de monodromie standard en analyse complexe se généralise a un nouveau théorème encore plus fort dans la théorie des fonctions non commutatives. Dans le chapitre 4, nous étudierons une généralisation de l'espace de Hardy ainsi que l'espace de Drury-Arveson, soit l'espace des fonction $$f(X)=\sum_{\alpha}c_\alpha X^\alpha,$$ où les coefficients sont carré sommables, c'est-à-dire que $$\sum_{\alpha}\left|\alpha \right|^2< \infty.$$ Finalement, dans le chapitre 5, nous verrons comment, sous certaines contraintes, chaque fonction libre est localement représentable par une série entière.

Pour l'algèbre de Banach complexe A ayant l'élément unité, on dénote par G(A) l'ensemble des éléments inversibles de A, et par G1(A) on dénote la composante qui contient l'unité. Le spectre de a ∈ A est l'ensemble de tous les nombres complexes λ tels que λ1 - a ∉ G(A), et le spectre exponentiel de a est l'ensemble de tous les nombres complexes tels que λ1 - a ∉ G1(A). Évidemment, pour chaque élément de l'algèbre, son spectre exponentiel contient le spectre habituel. Il est bien connu que le spectre habituel a une propriété que l'on nommera "propriété de commutativité". Cela signifie que, pour chaque choix des deux éléments a; b ∈ A, nous avons Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, où Sp est le spectre. Avons-nous la même propriété pour les spectres exponentiels? Cette question n'est toujours pas résolue. L'objectif de ce mémoire est d'étudier le spectre exponentiel, et plus particulièrement sa propriété de commutativité. Dans le premier chapitre, nous donnerons les définitions d'algèbre de Banach complexe, spectre et spectre exponentiel de ses éléments, et leurs propriétés de base. Aussi nous établirons des relations topologiques entre les spectres exponentiel et habituel. Dans le deuxième chapitre, nous définirons les fonctions holomorphes sur une algèbre de Banach, et discuterons du problème de la propriété de commutativité de spectre exponentiel, en établissant des résultats positifs connus. Dans le troisième et dernier chapitre, nous examinerons quelques exemples d'algèbres de Banach, décrivant les ensembles G(A) et G1(A), et discuterons de la propriété de commutativité pour ces algèbres. / For a complex Banach algebra A with unit element, we denote by G(A) the set of invertible elements of A, and by G1(A) we denote the component of G(A) which contains the unit. The spectrum of a ∈ A is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G(A), and the exponential spectrum of a is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G1(A). Of course for each element of the algebra its exponential spectrum contains the usual spectrum. It is well known that the usual spectrum has the so-called commutativity property. This means that, for any two elements a and b of A, we have Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, where Sp denotes the spectrum. Does this property hold for exponential spectra? This is still an open question. The purpose of this memoir is to study the exponential spectrum, and particularly its commutativity property. In chapter one, we will give definitions of a complex Banach algebra, the spectrum and exponential spectrum of its elements, and their basic properties. Also we will establish topological relations between exponential and usual spectra. In chapter two, we will define holomorphic functions on a Banach algebra, and also discuss the commutativity property problem for the exponential spectrum, establishing some known positive results. In the last chapter, we will consider some examples of Banach algebras, describing the sets G(A) and G1(A), and discuss the commutativity property for these algebras.