Le but de ce mémoire est de présenter une approche qui utilise les techniques d’analyse fonctionnelle pour étudier les fonctions holomorphes presque périodiques à plusieurs variables. Ces fonctions sont présentées comme des sections holomorphes d’un fibré vectoriel holomorphe de Banach associé à un revêtement régulier sur une variété de Stein. Cette approche nous permettra d’établir un théorème de prolongement pour les fonctions holomorphes presque périodiques. / The aim of this thesis is to present an approach that uses functionnal analysis methods to the study of almost periodic functions of several variables. These functions are presented as holomorphic sections of holomorphic Banach vector bundle associated to a regular covering over a Stein manifold. This approach will allow us to establish an extension theorem for holomorphic almost periodic functions.

Th. 3e cycle--Math. pures--Lille 1, 1980. N°: 840.

L'attracteur de certains systèmes de fonctions itérées de similitudes dépendant de façon holomorphe d'un paramètre ainsi que l'ensemble de Julia de certaines familles holomorphes de polynômes hyperboliques sont mouvements holomorphes pour lesquels il a été montré que la réciproque de la dimension de Hausdorff peut s'écrire comme l'infimum d'une famille de fonctions harmoniques positives. Ces résultats motivent l'énonciation d'une conjecture concernant la variation de la dimension d'un mouvement holomorphe quelconque. Ce mémoire a pour objectif d'introduire les fonctions inf-harmoniques, d'étudier la littérature qui établit un lien entre ces dernières et les mouvements holomorphes et de dresser une piste de réponse à la conjecture.

Dans cette thèse, nous étudions la sommabilité du développement de Taylor de fonctions appartenant à certains espaces de Banach de fonctions holomorphes sur le disque unité. Le premier chapitre sert d'introduction à la théorie de la sommabilité dans les espaces de Banach. Nous y présentons les principaux concepts tels que la définition d'une méthode de sommabilité, la définition d'inclusion de méthodes de sommabilité et le théorème de Silverman-Toeplitz. La première partie comporte deux chapitres. Nous présentons les propriétés principales de certaines familles de méthodes de sommabilité. Plus précisément, nous présentons les principales méthodes de sommabilité étudiées dans cette thèse : les méthodes de Cesàro, les méthodes de Riesz arithmétiques et les méthodes de série de puissances dont les méthodes d'Abel généralisées, de Borel généralisées et la méthode logarithmique. Nous présentons aussi les relations entre chacune de ces méthodes lorsqu'elles sont restreintes aux suites de scalaires. La deuxième partie comporte deux chapitres et porte sur la sommabilité dans les espaces de Dirichlet pondérés D[indice ω] où ω est une fonction non-négative et surharmonique. Nous exposons brièvement ces espaces de Hilbert au premier chapitre de cette deuxième partie. Ensuite, nous montrons que les moyennes de Cesàro d'ordre α > 1/2 des sommes partielles de la série de Taylor convergent vers la fonction originale dans la norme de D[indice ω]. Lorsque α = 1/2, on montre que ce n'est plus le cas et il existe une fonction f ∈ D[indice ω] telle que les moyennes de Cesàro d'ordre α = 1/2 des sommes partielles de sa série de Taylor ne sont pas bornées en norme. Ce résultat contraste grandement avec le résultat de M. Riesz pour l'espace A(D) (l'algèbre du disque) et le résultat de Hardy pour l'espace H¹ (espace de Hardy). Les résultats de cette partie ont été publiés dans le journal Complex Analysis and Operator Theory. La troisième partie a trois chapitres et traite des espaces de de Branges-Rovnyak. Après avoir présenté brièvement la théorie de ces espaces au premier chapitre de cette partie, nous démontrons qu'il existe un espace de de Branges-Rovnyak de fonctions holomorphes sur le disque unité et une fonction f de cet espace avec les propriétés suivantes : même si f peut être approximée par des polynômes dans la norme de l'espace, ni les sommes partielles, ni les moyennes de Cesàro, d'Abel, de Borel et logarithmiques ne convergent vers f dans la norme de l'espace. L'instrument principal pour démontrer ce théorème est un résultat puissant, montré dans la première partie, qui permet d'étendre aux suites de vecteurs dans un espace de Banach une propriété d'une méthode de sommabilité vraie pour les suites de scalaires. Les résultats de cette partie ont été soumis au journal Integral Equations and Operator Theory. Enfin, la dernière partie de cette thèse traite d'un cas exceptionnel d'espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur le disque unité. En utilisant le concept de base de Markushevich et en adaptant une construction de Johnson, nous construisons un espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur le disque unité tel que les polynômes sont denses, mais les polynômes impairs ne sont pas denses dans l'espace des fonctions impaires. Comme conséquence de ce résultat, nous montrons qu'il existe une fonction f qui n'appartient pas à la fermeture de l'espace vectoriel engendré par les sommes partielles de la série de Taylor de f. Ainsi, aucune méthode de sommabilité triangulaire appliquée aux sommes partielles ne permet d'approximer la fonction f dans la norme de l'espace. Les résultats de cette partie et quelques variantes de celui-ci ont été soumis au journal Constructive Approximation. / In this thesis, we study summability questions on the Taylor expansion of functions belonging to certain Banach spaces of holomorphic functions on the unit disk. The first chapter serves as an introduction to the theory of summability in Banach spaces. We present the main concepts such as the definition of a summability method, the definition of inclusion of summability methods and the Silverman-Toeplitz theorem in the Banach space setting. The first part consists of two chapters and presents the main properties of certain families of summability methods. More precisely, we present the main summability methods studied in this thesis : Cesàro's methods, Riesz's discrete arithmetic methods and power series methods including generalized Abel, generalized Borel and logarithmic methods. We also present the relations between each of these methods when they are restricted to sequences of scalars. The second part has two chapters and deals with summability in weighted Dirichlet spaces D[subscript ω] where ω is a non-negative superharmonic function. We briefly introduce these Hilbert spaces in the first chapter of this second part. Then we show that the Cesàro means of order α > 1/2 of the partial sums of the Taylor series converge to the original function in the norm of D[subscript ω]. When α = 1/2, we show that this is no longer the case and there exists a function f ∈ D[subscript ω] such that the Cesàro means of order α = 1/2 of the partial sums of its Taylor series are unbounded in norm. This result contrasts sharply with M. Riesz's classical result on the convergence of Cesàro means of order α > 0 in the space A(D) (the disk algebra) and Hardy's classical result on the convergence of the Cesàro means of order α > 0 in the space H¹ (the Hardy space). The results of this part have been published in the journal Complex Analysis and Operator Theory. The third part consists of three chapters and treats the de Branges-Rovnyak spaces. After having briefly presented the theory of de Branges-Rovnyak spaces in the first chapter of this part, we prove that there exists a de Branges-Rovnyak space of holomorphic functions on the unit disk and a function f belonging to this space with the following properties : even if f can be approximated by polynomials in the norm of the space, neither the partial sums, nor the Cesàro, Abel, Borel and logarithmic means converge to f in the norm of the space. The main instrument to prove this theorem is a powerful result, established in the first part, which allows extending a property of a summability method valid over sequences of scalars to the sequences of vectors in a Banach space. The results of this part have been submitted to the journal Integral Equations and Operator Theory. Finally, the last part of this thesis treats an exceptional case of Hilbert space of holomorphic functions on the unit disk. Using the concept of a Markushevich basis and by adapting a construction of Johnson, we construct a Hilbert space of holomorphic functions on the unit disk such that the polynomials are dense but the linear vector space spanned by the odd polynomials is not dense in the space of odd functions. As a consequence of this result, we show that there exists a function f which does not belong to the closure of the linear span of the partial sums of the Taylor series of f. Thus no triangular summability method applied to the partial sums can approximate the function f in the norm of the space. The results of this part and some variants of it have been submitted to the journal Constructive Approximation.

L'attracteur de certains systèmes de fonctions itérées de similitudes dépendant de façon holomorphe d'un paramètre ainsi que l'ensemble de Julia de certaines familles holomorphes de polynômes hyperboliques sont mouvements holomorphes pour lesquels il a été montré que la réciproque de la dimension de Hausdorff peut s'écrire comme l'infimum d'une famille de fonctions harmoniques positives. Ces résultats motivent l'énonciation d'une conjecture concernant la variation de la dimension d'un mouvement holomorphe quelconque. Ce mémoire a pour objectif d'introduire les fonctions inf-harmoniques, d'étudier la littérature qui établit un lien entre ces dernières et les mouvements holomorphes et de dresser une piste de réponse à la conjecture.

Thèse (Ph. D.)--Université Laval, 2008. / Bibliogr.: f. [83]-85. Publié aussi en version électronique dans la Collection Mémoires et thèses électroniques.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / Un principe heuristique généralement attribué au mathématicien français A. Bloch stipule qu'une famille de fonctions holomorphes ayant une propriété en commun dans un certain domaine aura tendance à être normale s'il n'existe pas de fonction entière non constante ayant cette même propriété. Bien qu'il existe des contre-exemples à ce principe heuristique, celui-ci demeure néanmoins vrai dans plusieurs cas intéressants. Récemment, L. Zalcman [26] a introduit une technique permettant de rendre le principe de Bloch rigoureux : il s'agit d'une méthode de renormalisation qui décrit le type de propriété nécessaire pour qu'une famille de fonctions méromorphes ayant cette propriété soit normale. Le présent travail a pour but d'étudier la méthode de renormalisation de Zalcman et ses applications en analyse complexe. On y donne une présentation détaillée des principaux résultats associés ainsi que plusieurs applications, concernant, notamment, la dynamique complexe et la théorie des séries lacunaires.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à divers problèmes mettant en oeuvre des structures algébriques de certains anneaux fonctionnels, en particulier dans l'espace H infini des fonctions holomorphes bornées dans le disque unité, dans l'algèbre de Sarason H infini + C et dans C(X,t)={fEC(X) : fot=f}, avec X un espace compact séparé et t une involution topologique sur X. Plus précisément, nous avons caractérisé les idéaux radicaux finiment engendrés dans H infini + C. En second lieu, nous avons démontré que le rang stable absolu de C(X,t) coïncide avec le rang stable Bass et topologique de cette dernière. En dernier lieu, nous nous sommes intéressés au problème de la couronne généralisé dans H infini / In this thesis, we are interested in various problems of algebraic structures of some functional rings, in particular in the space H infinity of bounded analytic functions in the unit disc, in the Sarason algebra H infinity + C and in C(X,t)={fEC(X) : fot=f} with X compact Hausdorff space and t a topological involution on X. More precisely, we have characterized the finitely generated radical ideals in H infinity + C. Secondly, we have demonstrated that the absolute stable rank of C (X, t) coincides with Bass stable rank and topological stable rank. Finally, we are interested in the generalized corona problem in H infinity

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures, 2018-2019 / Dans un article récent de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter, les auteurs ont montré que toute fonction dans un espace avec la propriété de Pick complète peut s’écrire comme un quotient de deux multiplicateurs. Ce résultat était un des deux points clé manquant dans la démonstration d’une version du théorème de Gleason–Kahane–Zelazko pour l’espace de Dirichlet. Le but de ce mémoire est de développer la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et d’utiliser celle-ci afin d’étudier trois espaces importants de fonctions holomorphes sur D, soit l’espace de Hardy, l’espace de Dirichlet et l’espace de Bergman, et de bien comprendre le résultat de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter. On est par la suite en mesure de démontrer le théorème GKZ pour l’espace de Dirichlet. iii

Pour l'algèbre de Banach complexe A ayant l'élément unité, on dénote par G(A) l'ensemble des éléments inversibles de A, et par G1(A) on dénote la composante qui contient l'unité. Le spectre de a ∈ A est l'ensemble de tous les nombres complexes λ tels que λ1 - a ∉ G(A), et le spectre exponentiel de a est l'ensemble de tous les nombres complexes tels que λ1 - a ∉ G1(A). Évidemment, pour chaque élément de l'algèbre, son spectre exponentiel contient le spectre habituel. Il est bien connu que le spectre habituel a une propriété que l'on nommera "propriété de commutativité". Cela signifie que, pour chaque choix des deux éléments a; b ∈ A, nous avons Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, où Sp est le spectre. Avons-nous la même propriété pour les spectres exponentiels? Cette question n'est toujours pas résolue. L'objectif de ce mémoire est d'étudier le spectre exponentiel, et plus particulièrement sa propriété de commutativité. Dans le premier chapitre, nous donnerons les définitions d'algèbre de Banach complexe, spectre et spectre exponentiel de ses éléments, et leurs propriétés de base. Aussi nous établirons des relations topologiques entre les spectres exponentiel et habituel. Dans le deuxième chapitre, nous définirons les fonctions holomorphes sur une algèbre de Banach, et discuterons du problème de la propriété de commutativité de spectre exponentiel, en établissant des résultats positifs connus. Dans le troisième et dernier chapitre, nous examinerons quelques exemples d'algèbres de Banach, décrivant les ensembles G(A) et G1(A), et discuterons de la propriété de commutativité pour ces algèbres. / For a complex Banach algebra A with unit element, we denote by G(A) the set of invertible elements of A, and by G1(A) we denote the component of G(A) which contains the unit. The spectrum of a ∈ A is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G(A), and the exponential spectrum of a is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G1(A). Of course for each element of the algebra its exponential spectrum contains the usual spectrum. It is well known that the usual spectrum has the so-called commutativity property. This means that, for any two elements a and b of A, we have Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, where Sp denotes the spectrum. Does this property hold for exponential spectra? This is still an open question. The purpose of this memoir is to study the exponential spectrum, and particularly its commutativity property. In chapter one, we will give definitions of a complex Banach algebra, the spectrum and exponential spectrum of its elements, and their basic properties. Also we will establish topological relations between exponential and usual spectra. In chapter two, we will define holomorphic functions on a Banach algebra, and also discuss the commutativity property problem for the exponential spectrum, establishing some known positive results. In the last chapter, we will consider some examples of Banach algebras, describing the sets G(A) and G1(A), and discuss the commutativity property for these algebras.