Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique des effets de désordre dans divers systèmes physiques. On commence par trois problèmes d'homogénéisation stochastique en lien avec des questions statiques de physique classique. Premièrement, en vue de la déduction rigoureuse de l'élasticité non linéaire à partir de la physique statistique de réseaux de chaînes de polymères, on établit l'existence de propriétés effectives pour des matériaux hyperélastiques hétérogènes aléatoires sous des hypothèses générales de croissance. Deuxièmement, dans un cadre linéarisé simplifié, on étudie les formules de Clausius-Mossotti pour les propriétés effectives d'alliages binaires dilués: on donne la première preuve générale et rigoureuse de ces formules, ainsi qu'une extension aux ordres supérieurs. Troisièmement, encore pour des systèmes linéarisés, on propose d'étudier les déviations par rapport aux propriétés effectives et on établit la première théorie générale des fluctuations en homogénéisation stochastique. Dans la seconde partie de cette thèse, on se focalise sur la compétition entre désordre et interactions, et on étudie plus particulièrement la dynamique des vortex de Ginzburg-Landau dans des supraconducteurs 2D de type II en présence d'impuretés. Bien que la compréhension mathématique des propriétés vitreuses complexes de ces systèmes semble hors de portée, on établit rigoureusement la limite de champ moyen pour la dynamique d'un grand nombre de vortex, et on étudie l'homogénéisation de ces équations limites et leurs propriétés. / This thesis is devoted to the mathematical study of effects of disorder in various physical systems. We start with three stochastic homogenization problems in connection with static classical physics questions. First, motivated by the rigorous derivation of nonlinear elasticity from the statistical physics of polymer-chain networks, we establish the existence of effective properties for randomly heterogeneous hyperelastic materials under general growth assumptions. Second, in the simplest linearized setting, we investigate the so-called Clausius-Mossotti formulas for the effective properties of dilute two-phase dispersed media: we provide the first general and rigorous proof of these formulas, as well as an extension to higher orders. Third, again for linearized models, we propose to study deviations with respect to effective properties and we establish the first general theory of fluctuations in stochastic homogenization. In the second part of this thesis, the focus is on the interplay between disorder and interactions, and more precisely we study the dynamics of Ginzburg-Landau vortices in 2D type-II superconductors in the presence of several impurities. Although a complete mathematical understanding of the complex glassy properties of such systems seems out of reach, we rigorously establish the mean-field dynamics of a large number of vortices, and we investigate the homogenization of the fluid-like mean-field equations and their stick-slip properties.

Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique des effets de désordre dans divers systèmes physiques. On commence par trois problèmes d’homogénéisation stochastique en lien avec des questions statiques de physique classique. Premièrement, en vue de la déduction rigoureuse de l’élasticité non-linéaire à partir de la physique statistique de réseaux de chaînes de polymères, on établit l’existence de propriétés effectives pour des matériaux hyperélastiques hétérogènes aléatoires sous des hypothèses générales de croissance. Deuxièmement, dans un cadre linéarisé simplifié, on étudie les formules de Clausius-Mossotti pour les propriétés effectives d’alliages binaires dilués: on donne la première preuve générale et rigoureuse de ces formules, ainsi qu’une extension aux ordres supérieurs. Troisièmement, encore pour des systèmes linéarisés, on propose d’étudier les déviations par rapport aux propriétés effectives et on établit la première théorie générale des fluctuations en homogénéisation stochastique. Dans la seconde partie de cette thèse, on se focalise sur la compétition entre désordre et interactions, et on étudie plus particulièrement la dynamique des vortex de Ginzburg-Landau dans des supraconducteurs 2D de type II en présence d’impuretés. Bien que la compréhension mathématique des propriétés vitreuses complexes de ces systèmes semble hors de portée, on établit rigoureusement la limite de champ moyen pour la dynamique d’un grand nombre de vortex, et on étudie l’homogénéisation de ces équations limites et leurs propriétés. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Nous avons procédé dans cette thèse, à l'étude de la phase supraconductrice du composé organique quasi unidimensionnel, (TMTSF)2ClO4, dans son état relaxé et dans son état faiblement désordonné en se servant de la vitesse de refroidissement comme paramètre modifiable au passage de la température de transition de la mise en ordre des anions à TAO=24K comme c'est montré par les mesures de rayons X. Des mesures de transport électronique linéaire (mesure de résistivité) et non linéaire (V-I) ont été effectuées en injectant un courant le long de l'axe c de plus faible conduction et sous champ magnétique appliqué perpendiculairement (H//c) et parallèlement (H//b) aux plans supraconducteurs. Dans l'état relaxé, nous avons déterminé, pour la première fois, le diagramme de phase de vortex à partir des mesures de résistivité interplans et sous champ H//c, en établissant les différentes lignes caractéristiques de ce diagramme de phase (ligne du champ critique, ligne de fusion, ). L'analyse des courants critiques et des fluctuations supraconductrice nous révèlent bien clairement l'existence de fluctuations dont le caractère est de nature tridimensionnelle (3D). L'extrapolation de Hc2(T) à T=0K nous donne Hc2(0)=0.19T. Dans l'état liquide de vortex, au dessus de la température de fusion, l'analyse des courbes de résistivité électrique nous révèle un comportement thermiquement activé dans le modèle de TAFF (thermally activated flux flow) décrit par la loi d'Arrhenius. Nous avons fini l'étude de l'état liquide de vortex par une analyse de l'énergie d'activation. Nous avons trouvé une dépendance en 1/H de l'énergie d'activation indiquant une caractéristique liée à la déformation plastique des lignes de flux tridimensionnelles à cause vraisemblablement des joints de grains apparaissant lors du refroidissement. Cette dépendance est en faveur de l'anisotropie modérée dans notre composé. Les mesures de résistivité en champ magnétique appliqué le long de l'axe b de conduction modérée(H//b) montre une survie de la supraconductivité à très fort champ magnétique Cette possible survie de la supraconductivité, peut être expliquée par le changement de la dimensionnalité effective du système 3D vers 2D, résultant de la réduction de la longueur de cohérence supraconductrice à très fort champ magnétique. Le changement de la dimensionnalité 3D vers 2D à partir d'un champ de découplage évalué à H*=1T, s'accompagne d'une transition métal- isolant. A ce champ correspond une température de découplage des plans qui est de 0.65K. L'augmentation du désordre introduit par la vitesse de refroidissement montre une augmentation du champ critique supérieur, une ligne de fusion qui se décale vers les plus basses températures et une diminution de la longueur de corrélation des lignes de flux selon la direction la plus faiblement conductrice.