L'étude mathématique des modèles et des méthodes de calcul en électrophysiologie des tissus cardiaques constitue la principale motivation de mes travaux de recherche en mathématiques appliquées. Ces travaux ont trouvé des applications en imagerie médicale et en bioingénierie grâce aux simulations numériques que nous avons rendues possibles. Les équations d'électrocardiologie, de type réaction-diffusion dégénérée, peuvent être discrétisées efficacement par des méthodes de volumes finis. <br />Ce mémoire synthétise l'ensemble des résultats de mes travaux dans ces domaines, c'est à dire : analyse des équations aux dérivées partielles d'électrocardiologie, expérimentation et applications numériques d'une part; introduction de nouveaux schémas et analyse numérique de méthodes de volumes finis pour des problèmes de diffusion anisotrope, de convection-diffusion et des systèmes hyperboliques linéaires d'autre part.<br />Ces travaux visent une meilleure compréhension scientifique des équations de l'électrophysiologie et plus généralement du fonctionnement électrique d'un tissu cardiaque ou du coeur entier.

Ce travail porte sur des techniques à base d'équations aux dérivées partielles et de réseaux de neurones pour le traitement d'images. L'approximation des réseaux de neurones par des systèmes de réaction-diffusion nous a permis de définir un nouveau modèle de diffusion anisotrope de type Volterra pour le filtrage sélectif d'images bruitées. La loi d'évolution régissant le tenseur de diffusion traduit des lois d'apprentissage synaptiques naturelles. L'étude de la dynamique de ces réseaux à synapses adaptatives montre qu'ils possèdent des propriétés d'attractivité et de stabilité asymptotique au sens de Lyapunov. Les images traitées sont donc obtenues sur les asymptotiques en temps du modèle. Les techniques présentées dans cette thèse améliorent de manière importante le pré-traitement d'images car elles ne nécessitent qu'une connaissance (\em a priori) d'un paramètre de contraste sur l'image désirée et permettent la restauration des images ayant subi jusqu'à 90\% de niveau de bruit et la segmentation des images médicales d'echographie

La mobilité de l’hydrogène dans les métaux est un paramètre clef pour la compréhension des mécanismes de base de la fragilisation par l’hydrogène (FPH). Cette problématique est directement associée aux mécanismes de diffusion et de piégeage de l’hydrogène au sein d’un réseau cristallin. Ces derniers dépendent des diverses hétérogénéités microstructurales et en particulier des défauts cristallins présents au sein du matériau. Dans le cadre de nos travaux nous nous sommes restreints à étudier la diffusion et le piégeage de l’hydrogène au sein de deux systèmes élémentaires : des monocristaux et des bi-cristaux de nickel. Nous avons développé une méthodologie associant des outils expérimentaux (Perméation électrochimique/TDS, METHR, EBSD) et numériques (FEM-COMSOL/EAM-LAMMPS). Les résultats obtenus sur monocristaux montrent une dépendance du coefficient de diffusion de l’hydrogène avec l’orientation cristallographique et la teneur en hydrogène. L’analyse thermodynamique du système nickel-hydrogène-lacune démontre une dépendance du potentiel chimique de l’hydrogène à l’état de contrainte induit par la formation d’amas de lacunes associés à la présence de l’hydrogène. Le caractère anisotrope de la diffusion est alors expliqué par l’anisotropie des propriétés d’élasticité du réseau cristallin et la présence de ces amas. D’autre part nous avons caractérisé les processus de diffusion et de piégeage de l’hydrogène pour des bi-cristaux de nickel présentant différents volumes libres. L’énergie de ségrégation de l’hydrogène dépend de la nature du site (volume libre local et énergie mécanique associée à l’incorporation du soluté). La diffusion de l’hydrogène est influencée directement par la nature de joint de grain (excès de volume et distribution des sites). Nos résultats, à l’échelle atomique, montrent une corrélation entre la solubilité et le volume libre du joint de grain. Les joints de grains avec un volume libre important présentent des chemins de diffusion plus favorables pour l'hydrogène que dans le réseau cristallin et dans le même temps un nombre plus important de sites de ségrégation. / The mobility of hydrogen in metals is a key parameter for understanding the basic mechanisms of hydrogen embrittlement (HE). This problem is directly related to the mechanisms of diffusion and trapping of hydrogen within a crystal lattice. These mechanisms depend on the various microstructural heterogeneities and in particular the crystalline defects. In our work, we have focused on the diffusion and trapping of hydrogen in two elementary systems: nickel single crystals and bi-crystals. We developed a methodology combining experimental tools (electrochemical permeation / TDS, HRTEM, EBSD) and numerical methods (FEM-COMSOL / EAM-LAMMPS). The results obtained on the single crystals show a dependence of the diffusion coefficient of hydrogen with the crystallographic orientation and the hydrogen content. The thermodynamic analysis of the nickel-hydrogen-vacancy system shows a dependence of the chemical potential of hydrogen with the stress state induced by the formation of clusters of vacancies associated with the presence of hydrogen. The anisotropic character of the diffusion is then explained by the anisotropy of the elastic properties of the crystal lattice and the presence of these clusters. Moreover, we have characterized the processes of diffusion and trapping of hydrogen for nickel bi-crystals with different free volumes. The segregation energy of hydrogen depends on the nature of the site (the local free volume and the mechanical energy associated with the incorporation of solute). The diffusion of hydrogen is directly influenced by the nature of the grain boundary (the free volume and the distribution of the segregation sites). Our results, at the atomic scale, show a correlation between the solubility and the free volume of the grain boundary. The grain boundaries with a higher free volume have more favorable diffusion paths for hydrogen than in the crystal lattice and at the same time more segregation sites.

Ce mémoire traite du rehaussement d'images sismiques tridimensionnelles, constituées d'un empilement de couches géologiques, elles-mêmes interrompues par des failles sismiques. L'objectif, en apparence contradictoire, est de lisser les couches géologiques, tout en préservant certaines discontinuités : les failles. Les méthodes de filtrage adaptatif – couramment employées dans le domaine de l'imagerie sismique – ainsi que la diffusion anisotrope sont bien adaptés à cette problématique car elles permettent une prise en compte de l'orientation des couches, ainsi que de critères indiquant la possible présence de failles. Reprenant les points clefs des approches précédentes, nous proposons une équation d'évolution fondée sur la définition de trois zones de comportement différentié à l'intérieur du voisinage de chaque point. La première contient les points appartenant à la même couche géologique que le point central, la deuxième ceux correspondant aux couches voisines et la troisième les points incertains. La définition de ces zones est réalisée en chaque point à l'aide de l'orientation estimée des couches géologiques. Une évolution de cette méthode consiste à sélectionner, dans le voisinage défini précédemment, la sous-partie qui présente le moins de chances d'être traversée par une faille. Cette nouvelle approche permet non seulement de lisser l'image, mais également de renforcer la visibilité des failles. Les performances des méthodes proposées sont comparées à celles des approches classiques à l'aide d'un estimateur objectif de gain de qualité, employé sur des images de synthèse. Une comparaison visuelle de résultats obtenus sur des données réelles est également réalisée.

Dans cette thèse, nous analysons une méthode de Galerkine discontinue (GD) et deux estimateurs d'erreur a posteriori pour l'équation d'advection-diffusion-réaction linéaire et stationnaire avec diffusion hétérogène. La méthode GD considérée, la méthode SWIP, utilise des moyennes pondérées dont les poids dépendent de la diffusion. L'analyse a priori montre que la convergence est optimale en le pas du maillage et robuste par rapport aux hétérogénéités de la diffusion, ce qui est confirmé par les tests numériques. Les deux estimateurs d'erreur a posteriori sont obtenus par une analyse par résidus et contrôlent la (semi-)norme d'énergie de l'erreur. L'analyse d'efficacité locale montre que presque tous les estimateurs sont indépendants des hétérogénéités. Le deuxième estimateur d'erreur est plus précis que le premier, mais son coût de calcul est légèrement plus élevé. Cet estimateur est basé sur la construction d'un flux H(div)-conforme dans l'espace de Raviart-Thomas-Nédéléc.

La modélisation des propulseurs ioniques de type SPT pose de nombreux <br />problèmes dans le domaine du transport des particules chargées. Nous nous <br />intéressons à deux de ces problèmes, à savoir le transport des électrons et <br />le calcul du potentiel électrique.<br /><br />Le transport des électrons résulte de l'influence conjuguée des champs <br />(électrique et magnétique) établis dans la cavité du propulseur et des <br />collisions des électrons (dans la cavité et avec la paroi limitant celle-ci). <br />Nous avons participé au développement d'un modèle SHE (Spherical Harmonics <br />Expansion) qui résulte d'une analyse asymptotique de l'équation de Boltzmann <br />munie de conditions de réflexion aux bords. Ce modèle permet d'approcher la <br />fonction de distribution en énergie des électrons en résolvant une <br />équation de diffusion dans un espace \{position, énergie\}. Plus précisément, <br />nous avons étendu une démarche existante au cas où les collisions en volume <br />(excitation, ionisation) et les collisions inélastiques à la paroi <br />(attachement et émission secondaire) sont prises en compte. Enfin, nous <br />avons écrit un code de résolution du modèle SHE, dont les résultats ont <br />été comparés avec ceux d'une méthode de Monte Carlo. <br /><br />\vspace*{1mm}<br />Dans un deuxième temps, nous avons étudié le calcul du potentiel électrique. <br />La présence du champ magnétique impose d'écrire le courant d'électrons sous <br />la forme ${\cal J}=\sigma \nabla W$<br /> où W est le potentiel électrique et le tenseur de conductivité $\sigma$<br />est fortement anisotrope compte tenu des grandeurs physiques en jeu dans <br />le SPT. Pour résoudre $\mbox{div }{\cal J}(x,y)=S(x,y)$, <br />nous avons implémenté une méthode de volumes finis <br />sur maillage cartésien permettant de résoudre ce problème elliptique <br />anisotrope, et nous avons vérifié qu'elle échouait lorsque le rapport <br />d'anisotropie devenait grand. Aussi nous avons développé une méthode de <br />paramétrisation, qui consiste à extrapoler la solution d'un problème <br />anisotrope à l'aide d'une suite de problèmes isotropes. Cette méthode a <br />donné des résultats encourageants pour de forts rapports d'anisotropie, <br />et devrait nous permettre d'atteindre des cas réels.

Ce manuscrit présente un modèle dynamique de l'activité électromécanique du coeur pour l'analyse de séquences temporelles d'images et la simulation médicale. Tout d'abord, un processus de construction de modèles biomécaniques volumiques du myocarde à l'aide de maillages tétraédriques est mis en place. Puis la propagation du potentiel d'action dans le myocarde est simulée, en se fondant sur des équations aux dérivées partielles de réaction-diffusion de type FitzHugh-Nagumo, qui permettent l'inclusion de pathologies et la simulation d interventions. Ensuite, la contraction du myocarde est modélisée sur un cycle cardiaque grace à une loi de comportement incluant un couplage électromécanique et des conditions limites intégrant l'interaction avec le sang. Ce modéle est ainsi validé à travers certains paramètres globaux et locaux de la fonction ventriculaire cardiaque. Une fois ce modèle électromécanique mis en place, il est utilisé dans une méthode de segmentation par modèle déformable de séquences d'images médicales, afin d'en extraire des paramètres quantitatifs de la fonction cardiaque. Cette nouvelle génération de modéles déformables pro-actifs permet d'intègrer de l'information à priori non seulement sur l'anatomie et le comportement mécanique mais aussi sur l'activité électrique et le mouvement. Le couplage au sein d'un meme modéle d'informations anatomiques, biomécaniques et physiologiques contribué à ameliorer la robustesse et la précision face à des données bruitées et éparses comme les images médicales et ouvre des possibilités supplémentaires en simulation médicale.

La segmentation fiable et précise des volumes anatomiques (normaux ou pathologiques) issus des systèmes d'imagerie reste un objectif important en traitement de l'information médicale car elle constitue le premier maillon de la chaîne d'analyse aboutissant à l'aide au diagnostic par l'étude de la morphologie des structures internes, à la détection et à la quantification de lésion. La segmentation est une étape délicate et difficile, en particulier pour les images IRM, pour lesquelles elle est principalement réalisée manuellement lorsqu'il y a des contraintes fortes de précision. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse est le filtrage des images IRM des structures osseuses articulaires du corps humain, en vue d'une aide efficace et précise à la segmentation. Une première contribution concerne le développement d'une méthode itérative de filtrage 3D anisotrope robuste. Elle permet de diffuser l'intensité des voxels selon leur appartenance à deux populations : forte diffusion pour les voxels situés à l'intérieur de régions homogènes afin de réduire le bruit, tout en empêchant cette diffusion de traverser les zones de transition (surfaces). Une comparaison rigoureuse de plusieurs fonctions d'arrêt de cette diffusion a été réalisée afin d'insérer, dans le modèle itératif, la fonction la plus pertinente. Le paramètre seuil partageant ces deux populations a été estimé de manière originale et efficace au regard de l'état de l'art. Ce schéma original de diffusion a été confronté aux méthodes de propagation de fronts. L'identification de ces deux modèles, actuellement dissociés dans la littérature, a permis de fusionner les deux approches en un schéma complet de diffusion anisotrope régie par propagation de fronts. Cette formulation a permis de contrer les désavantages de chacune des approches, à savoir i) la difficulté d'arrêter les schémas itératifs de diffusion, ii) la difficulté de mise en oeuvre des approches " level-sets " vis-à-vis des temps de calcul prohibitifs. Le schéma itératif proposé combine quatre termes liés à la diffusion, au contraste, aux données initiales et à la géométrie locale. En particulier, nous avons montré l'importance du "terme géométrique" qui remédie aux problèmes des discontinuités des contours après le filtrage. Une application sur données IRM d'articulations d'épaule, de hanche et de genou est présentée dans la partie test et validation. Les résultats sont quantifiés à l'aide de deux fonctions d'évaluation en contours et en régions. Elles démontrent une robustesse et une précision du modèle proposé dans l'élimination du bruit et la préservation des contours.

L'amélioration du code Emedge3D (code de bord électromagnétique) est abordée sous plusieurs axes. Premier axe, des innovations sur les méthodes numériques ont été mises en oeuvre. L'avantage des méthodes de type semi-implicite est décrit, leur stabilité inconditionnelle permet l'augmentation du pas de temps, et donc la diminution du nombre d'itérations temporelles requises pour une simulation. Les avantages de la montée en ordre en espace et en temps sont détaillés. Deuxième axe, des réponses sont proposées pour la parallélisation du code. Le cadre de cette étude est proche du problème général d'advection-diffusion non linéaire. Les parties coûteuses ont tout d'abord été optimisées séquentiellement puis fait l'objet d'une parallélisation OpenMP. Pour la partie du code la plus sensible aux contraintes de bande passante mémoire, une solution parallèle MPI sur machine à mémoire distribuée est décrite et analysée. Une bonne extensibilité est observée jusque 384 cœurs. Cette thèse s'inscrit dans le projet interdisciplinaire ANR E2T2 (CEA/IRFM, Université Aix-Marseille/PIIM, Université Strasbourg/Icube). / The main goal of this work is to significantly reduce the computational cost of the scientific application Emedge3D, simulating the edge of tokamaks. Improvements to this code are made on two axes. First, innovations on numerical methods have been implemented. The advantage of semi-implicit time schemes are described. Their inconditional stability allows to consider larger timestep values, and hence to lower the number of temporal iteration required for a simulation. The benefits of a high order (time and space) are also presented. Second, solutions to the parallelization of the code are proposed. This study addresses the more general non linear advection-diffusion problem. The hot spots of the application have been sequentially optimized and parallelized with OpenMP. Then, a hybrid MPI OpenMP parallel algorithm for the memory bound part of the code is described and analyzed. Good scalings are observed up to 384 cores. This Ph. D. thesis is part of the interdisciplinary project ANR E2T2 (CEA/IRFM, University of Aix-Marseille/PIIM, University of Strasbourg/ICube).

Une étude expérimentale sur la structure et la dynamique d'un complexe hydraté de fragments d'ADN (150 pb) et des phases lamellaires de lipides non-cationiques est présentée. Par la variation de d'hydratation, il est possible de contrôler le confinement imposé par cette matrice hôte sur les nucléotides insérés dans les couches aqueuses. L’organisation supramoléculaire du complexe est suivie par diffraction des rayons-X et des techniques de microscopie optique et électronique. Un riche polymorphisme de mésophases est observé en fonction du confinement. Dans le régime plus hydraté, les fragments se distribuent selon une orientation nématique. Dans la mesure où la quantité de l'eau diminue, le confinement des bicouches sur les nucléotides monte et des corrélations trans-membranaires donnent origine à des phases hautement organisées, avec de symétries rectangulaires et hexagonales (2D) d'ADN dans la phase lipidique. L'incorporation totale des nucléotides par la phase lamellaire est observée uniquement lorsque des grandes quantités d'ADN y sont présentes. Ce fait souligne une importance majeur des interactions de volume exclu. Une analyse du paramètre de Caillé montre que l'insertion des fragments diminue les fluctuations des membranes. À partir des ces observations, il est suggéré que la modification des interactions stériques entre des lamelles, associée à des effets interfaciaux ADN-membranes, est un mécanisme important dans le comportement de phases. Les propriétés dynamiques sont étudiés avec la technique de retour de fluorescence après photo-blanchiment (FRAP). Un modèle développé récemment pour l'analyse de diffusion anisotrope est testé avec succès, démontrant une corrélation proche entre structure et dynamique. / An experimental study on the structural and dynamical properties of a hydrated DNA-non-cationic complex is presented. By varying the water amount, it is possible to control the confinement imposed by this host matrix over the organization of the nucleotides inserted within the water layers. The supramolecular assembly is investigated by X-rays diffraction and techniques involving both optical and electron microscopy. A rich polymorphism of mesophases is observed in function of confinement. In the more hydrated regime, the fragments are distributed according to nematic orientation in-between lamellae. As the water amount decreases, the confinement of bilayers over the particles increases and transmembrane correlations appear, giving raise to highly-ordered phases, with 2D-rectangular and -hexagonal symmetries of DNA embodied in the lamellar phase. The full incorporation of nucleotides by the lamellar phase is observed only in the presence of large amounts of DNA. This finding points to major importance of excluded volume interactions. An analysis of the Caillé parameter shows that the insertion of DNA reduces the fluctuations of membranes. From these observations, it is suggested that changes in the interactions between bilayers, together with the appearance of interfacial effects between DNA and membranes, are a mechanism relevant for the phase behavior of these systems. The dynamical properties of nucleotides are investigated through the fluorescence recovery after photobleach (FRAP). A model recently developed for analyses of anisotropic diffusion is sucessfully tested, demonstrating a close relationship between structure and dynamics. / Um estudo experimental sobre aspectos estruturais e dinâmicos de um complexo hidratado de fragmentos de DNA (150 pb) e fases lamelares de lipídios não-catiônicos é apresentado. Variando-se a hidratação, é possível controlar o confinamento imposto por essa matriz hospedeira sobre os nucleotídeos inseridos na camada aquosa. O arranjo supramolecular do complexo é investigado por difração de raios X e técnicas de microscopia óptica e eletrônica. Um rico polimorfismo de mesofases é observado em função do confinamento. No regime mais hidratado, os fragmentos se distribuem segundo uma orientação nemática entre as membranas. À medida que a quantidade de água diminui, o confinamento das bicamadas sobre os nucleotídeos aumenta e correlações transmembranares aparecem, dando origem a fases altamente organizadas, com simetrias retangulares e hexagonais 2D de DNA entre as lamelas. A incorporação completa de nucleotídeos é observada apenas quando grandes quantidades de DNA estão presentes. Esse fato aponta para importância maior de interações de volume excluído. Uma análise do parâmetro de Caillé mostra que as flutuações das membranas diminuem com a inserção de DNA. A partir dessas observações, é sugerido que a alteração das interações entre membranas, aliada à aparição de efeitos interfaciais entre DNA e membranas, é um mecanismo relevante no comportamento de fase. As propriedades dinâmicas dos nucleotídeos são investigadas através da técnica de FRAP (fluorescence recovery after photobleaching). Um modelo recentemente desenvolvido para análise de difusão anisotrópica é testado com sucesso, demonstrando estreita correlação entre estrutura e dinâmica.