Le bruit de frottement de deux surfaces rugueuses est dû à la vibration verticale engendrée par les impacts inter-aspérités de deux solides glissants. Il relève de la physique des interfaces multicontact dont les propriétés sont encore largement méconnues. L'objet de cette thèse est de comprendre les mécanismes de transfert d'énergie et de génération des vibrations à l'oeuvre à l'interface entre deux surfaces rugueuses en glissement relatif. Ces interfaces présentent des spots de contact qui se renouvellent très rapidement mais dont la physique statistique reste à découvrir. Un outil numérique est spécialement développé pour étudier efficacement ce phénomène aux échelles microscopique et macroscopique. Les simulations sont effectuées à l'aide de centres de calcul haute performance à Lyon. Elles ont mené aux conclusions suivantes. Le niveau de la vibration Lv (dB) est une fonction croissante du logarithme de la rugosité de surface Ra et de la vitesse de glissement V, ce qui est en accord avec les résultats expérimentaux issus de la littérature. De plus, grâce à cet outil numérique, on a pu analyser précisément les chocs entre surfaces définis à partir de l'évolution temporelle de la force de contact. Leur durée est de l'ordre de 0.1 ms, la force maximale de contact peut atteindre 100 fois le poids propre du solide glissant, et le nombre de chocs est de l'ordre de 10000 par seconde pour une surface de l'ordre de 4 cm2. Les chocs sont donc des excitations transitoires brèves mais nombreuses et intenses. Ces chocs se comportent comme les sources d'énergie vibratoire qui sont responsables d'un transfert d'énergie à l'interface. C'est en effet la transformation de l'énergie cinétique du mouvement solide glissant en énergie vibratoire qui est responsable du bruit de frottement.

On introduit un modèle multi-fluides eulérien pour décrire l'évolution de sprays polydispersés dans des flammes diphasiques. Nous montrons que ce modèle peut être obtenu à partir d'un niveau cinétique de description. Il peut ainsi prendre en compte des interactions entre gouttes d'inerties différentes, comme la coalescence, ce qui n'avait jamais été fait avec un modèle eulérien. Il est validé par des comparaisons avec des mesures expérimentales pour le cas des sprays dilués sur des configurations de flammes laminaires de diffusion à contre-courant. Il est également comparé numériquement à des méthodes d'échantillonnages dans des cas de sprays dilués ou denses. D'autre part, son analyse numérique est menée dans un cas simplifié où seule subsiste l'évaporation. Cette analyse nous permet d'introduire d'autres méthodes numériques d'ordre arbitrairement élevé pour discrétiser l'espace des phases en taille et décrire l'évaporation. Elle nous permet aussi de considérer la propagation de flammes planes de prémélange, en présence d'un spray polydispersé. Cette configuration est décrite par un système de réaction-diffusion pour un modèle thermo-diffusif du gaz couplé au modèle cinétique du spray. La propagation de telles flammes est décrite par des ondes progressives du système complet. Pour en étudier l'existence, on utilise des méthodes de degré topologique pour des opérateurs elliptiques dans des domaines non bornés. Cependant, le modèle cinétique introduit une EDP hyperbolique. Les résultats d'analyse numérique permettent d'envisager une discrétisation de l'espace des tailles de gouttes, afin de se ramener à un système dynamique de dimension finie. Il reste à ajouter une diffusion dans la partie hyperbolique du système, afin d'obtenir un système elliptique et pouvoir appliquer une méthode de degré topologique. En passant à la limite sur la diffusion, puis sur le pas de discrétisation, on montre l'existence de flamme plane se propageant, en présence d'un spray polydispersé.

La microscopie à force atomique est utilisée dans de nombreuses applications. Ce travail a ici pour but d'étudier, à l'échelle du nanomètre, les propriétés mécaniques de monocouches et de multicouches de phospholipides avec un microscope à force atomique en mode dynamique. Le comportement non linéaire du système pointe-levier, proche des couches de phospholipides, est étudié avec un modèle de granulation. Le MFA est aussi utilisé pour étudier l'influence d'un peptide membranaire, la syntaxine, et la structure des couches de phospholipides autoassemblées sur du mica. Dans un second temps, nous étudions l'oscillation d'un microlevier de MFA clampé en milieu liquide. Les résultats sont comparés aux prédictions théoriques des simulations numériques de la résolution des équations de Navier-Stokes à trois dimensions, pour mesurer l'influence du mouvement du fluide sur le comportement d'un levier oscillant de MFA. Nous montrons aussi comment la force hydrodynamique peut être réduite d'au moins un ordre de grandeur en usinant, à l'aide d'un faisceau d'ions focalisés (FIB), la largeur du levier. Enfin, nous présentons une description analytique qui détermine le mouvement d'un levier excité acoustiquement en milieu liquide. La troisième partie est une étude du comportement dynamique d'un nanoménisque avec une nanopointe oscillante. La nanoaiguille, découpée avec un<br />faisceau d'ions focalisés, est approchée d'une interface air-liquide et seule son extrémité oscille dans le liquide (Eau-Glycérol-PDMS). Il est montré qu'il est possible d'imager une interface de liquide avec une résolution à l'échelle du nanomètre.

La thèse comporte deux parties. La première traite de la convergence vers l'équilibre de flots de gradients discrets ou plus généralement de discrétisations d'un système autonome admettant une fonction de Lyapunov. En se plaçant dans une cadre pour lequel les olutions du problème continu converge vers un état stationnaire en temps grand, il est démontré sous des hypothèses générale que le système discret a la même propriété. Ce résultat conduit à des conclusions nouvelles sur le comportement en temps grand de schémas numériques anciens. La seconde partie concerne la simulation numérique de particules en suspension dans un fluide visqueux. Il est montré que les méthodes utilisées actuellement pour simuler l'interaction hydrodynamique entre particules perdent de leur précision quand de grandes forces non-hydrodynamiques sont en jeu et que au moins deux particules sont proches l'une de l'autre. Ce cas survient, dans le contexte de l'ingénierie biomédicale, lors de la conception de nano-robots capables de nager. Cette perte de précision est due au caractère singulier de l'écoulement de Stokes dans les zones de presque contact. Une nouvelle méthode est introduite ici. Des expérimentations numériques sont effectuées pour mettre en évidence sa grande précision.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Mes travaux peuvent se diviser en deux thèmes : L'algèbre linéaire numérique. La théorie des opérateurs intégraux. L'algèbre linéaire numérique fut le cadre de ma thèse de doctorat, dédiée aux propriétés spectrales des opérateurs de Sylvester, endomorphismes d'espaces matriciels. J'ai tout naturellement utilisé mes connaissances, mes compétences et mon savoir faire, développés pendant ces années de formation par la recherche, pour attaquer un nouveau problème li e a une notion apparue dans les années 1990 et qui a connu un grand succès dans la communauté de l'algèbre linéaire numérique. Cette notion est celle des pseudospectres qui généralise celle des spectres dans le cadre de la théorie des perturbations. A cette notion est liée celle de rayon de stabilité. Suite a ces travaux sur les pseudospectres et ayant constat e que pour certaines matrices pathologiques, la détermination du pseudospectre était couteuse et entachées d'erreurs importantes, nous avons cherché si l'on ne pouvait pas définir d'autres généralisations du spectre plus facilement calculables. Nous avons étudié un ensemble du plan complexe, contenant les valeurs propres d'une matrice, défini comme un -voisinage des racines du polynome caractéristique. Je me suis ensuite tout naturellement tournée vers un nouveau chalenge, celui du problème polynomial de valeurs propres. Ce sujet s'est développé très récemment. Il y a des questions propres aux problèmes polynomiaux de valeurs propres qui n'ont ete posées qu' a partir des années 2000 et qui n'ont trouvées de premières réponses que cinq ans plus tard. Le domaine des problèmes polynomiaux de valeurs propres est en pleine expansion et beaucoup de problèmes restent a résoudre dans l'avenir. Parallèlement et plus directement li e aux équations matricielles, je me suis intéressée a la notion de stabilité de Lyapunov, tr es utile dans la communauté de la théorie du contrôle. Mon autre domaine de recherche concerne les équations intégrales du point de vue de l'approximation. Des méthodes de discrétisation conduisant a des matrices diagonales sont intéressantes. Ces considérations m'ont conduite à étudier l'approximation d'un équation d'opérateur intégral par une méthode d'ondelettes-vaguelettes. La difficulté de la mise en œuvre numérique m'a dirigée vers l' étude d'autres méthodes.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'option américaine dans un modèle exponentiel de Lévy général. Dans le premier chapitre nous étudions la continuité des réduites dans le cadre des processus de Markov de Feller. Ensuite, nous introduisons les processus de Lévy multidimensionnels et nous montrons la continuité des réduites associées à ceux-ci. Dans le deuxième chapitre, nous clarifions les propriétés basiques de la frontière libre du put américain dans un modèle exponentiel de Lévy général avec dividendes. Nous commençons par caractériser le prix de l'option américaine comme l'unique solution d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. Ce qui nous permettra de montrer la continuité de la frontière libre et de donner une caractérisation explicite de la limite du prix critique près de l'échéance. Dans le troisième chapitre, nous étudions la continuité de la dérivée de la fonction valeur du put américain à horizon fini et du put perpétuel. Nous donnons des conditions nécessaires et d'autres suffisantes pour la vérification du principe de smooth-fit. Dans le quatrième chapitre, nous étudions la vitesse de convergence du prix critique vers sa limite à l'échéance dans le cadre d'un modèle exponentiel de Lévy, dans le cas de diffusion avec sauts, puis dans le cas d'un processus de Lévy sans partie Brownienne. Après, nous donnons cette vitesse dans le cas où le terme de diffusion est absent. Enfin, dans le dernier chapitre, nous introduisons deux méthodes numériques pour le calcul des prix des options américaines : la méthode de l'arbre multinomial et celle des différences finies. Nous comparons les deux approches et nous améliorons la convergence de la première dans certains modèles exponentiels de Lévy

Dans cette thèse, nous analysons les problèmes liés à la représentation finie des nombres réels et nous contrôlons la déviation induite par cette approximation. Nous nous intéressons particulièrement à deux problèmes. Le premier est l'étude de l'influence de la représentation finie sur les protocoles de confidentialité différentielle. Nous présentons une méthode pour étudier les perturbations d'une distribution de probabilité causées par la représentation finie des nombres. Nous montrons qu'une implémentation directe des protocoles théoriques pour garantir la confidentialité différentielle n'est pas fiable, tandis qu'après l'ajout de correctifs, la propriété est conservée en précision finie avec une faible perte de confidentialité. Notre deuxième contribution est une méthode pour étudier les programmes qui ne peuvent pas être analysés par composition à cause de branchements conditionnels au comportement trop erratique. Cette méthode, basée sur la théorie des systèmes de réécriture, permet de partir de la preuve de l'algorithme en précision exacte pour fournir la preuve que le programme en précision finie ne déviera pas trop.

Le micromagnétisme, théorie élaborée dans les années 40 par W.F.<br />Brown, a pour but d'expliquer le comportement des matériaux magnétiques non-linéaires : les ferro et ferrimagnétiques.<br />Le modèle utilisé repose sur l'utilisation d'une équation aux dérivées partielles, introduite par Landau et Lifchitz, décrivant l'évolution de la densité d'aimantation au cours du temps et sur la prise en compte de forces internes au matériau sous la forme d'une excitation magnétique. <br />Cette excitation magnétique comporte quatre contributions : extérieure, d'anisotropie, d'échange et démagnétisante (magnétostatique). Cette dernière pose le plus de problèmes au niveau de la modélisation.<br />Dans ce travail, on a étudié le problème de la simulation du comportement des matériaux ferro et ferrimagnétiques en hyperfréquence dans le cadre du micromagnétisme sous deux angles : la détermination de configurations d'équilibre et le calcul de la susceptibilité.<br />Après avoir montré l'existence de solutions faibles en temps et en<br />espace, on propose un schéma de résolution en temps explicite avec pas adaptatif pour les équations de Landau et Lifchitz.<br />Afin de pouvoir appliquer ce schéma à des maillages de grande taille, on se place dans une géometrie cubique permettant de proposer une méthode originale de résolution rapide des équations de la magnétostatique s'appuyant sur l'utilisation des matrices Toeplitz multi-niveaux. <br />On présente alors un préconditionneur adapté pour la résolution du problème de susceptibilité hyperfréquence (i.e. calcul pour une gamme de fréquences de la réponse d'un système à une excitation extérieure harmonique autour d'un état d'équilibre). Associé à l'utilisation des matrices Toeplitz multi-niveaux, il permet d'effectuer des calculs pour des maillages de grande taille.<br />Enfin, la validation des résultats numériques est effectuée par comparaison avec une série de résultats expérimentaux.