Le travail présenté ici avait pour but le développement d'un schéma de type Galerkin discontinu (GD) d'ordre élevé pour la résolution des équations de la dynamique des gaz écrites dans un formalisme Lagrangien total, sur des maillages bi-dimensionnels totalement déstructurés. A cette fin, une méthode progressive a été utilisée afin d'étudier étape par étape les difficultés numériques inhérentes à la discrétisation Galerkin discontinue ainsi qu'aux équations de la dynamique des gaz Lagrangienne. Par conséquent, nous avons développé dans un premier temps des schémas de type Galerkin discontinu jusqu'à l'ordre trois pour la résolution des lois de conservation scalaires mono-dimensionnelles et bi-dimensionnelles sur des maillages déstructurés. La particularité principale de la discrétisation GD présentée est l'utilisation des bases polynomiales de Taylor. Ces dernières permettent, dans le cadre de maillages bi-dimensionnels déstructurés, une prise en compte globale et unifiée des différentes géométries. Une procédure de limitation hiérarchique, basée aux noeuds et préservant les extrema réguliers a été mise en place, ainsi qu'une forme générale des flux numériques assurant une stabilité globale L2 de la solution. Ensuite, nous avons tâché d'appliquer la discrétisation Galerkin discontinue développée aux systèmes mono-dimensionnels de lois de conservation comme celui de l'acoustique, de Saint-Venant et de la dynamique des gaz Lagrangienne. Nous avons noté au cours de cette étude que l'application directe de la limitation mise en place dans le cadre des lois de conservation scalaires, aux variables physiques des systèmes mono-dimensionnels étudiés provoquait l'apparition d'oscillations parasites. En conséquence, une procédure de limitation basée sur les variables caractéristiques a été développée. Dans le cas de la dynamique des gaz, les flux numériques ont été construits afin que le système satisfasse une inégalité entropique globale. Fort de l'expérience acquise, nous avons appliqué la discrétisation GD mise en place aux équations bi-dimensionnelles de la dynamique des gaz, écrites dans un formalisme Lagrangien total. Dans ce cadre, le domaine de référence est fixe. Cependant, il est nécessaire de suivre l'évolution temporelle de la matrice jacobienne associée à la transformation Lagrange-Euler de l'écoulement, à savoir le tenseur gradient de déformation. Dans le travail présent, la transformation résultant de l'écoulement est discrétisée de manière continue à l'aide d'une base Éléments Finis. Cela permet une approximation du tenseur gradient de déformation vérifiant l'identité essentielle de Piola. La discrétisation des lois de conservation physiques sur le volume spécifique, le moment et l'énergie totale repose sur une méthode Galerkin discontinu. Le schéma est construit de sorte à satisfaire de manière exacte la loi de conservation géométrique (GCL). Dans le cas du schéma d'ordre trois, le champ de vitesse étant quadratique, la géométrie doit pouvoir se courber. Pour ce faire, des courbes de Bézier sont utilisées pour la paramétrisation des bords des cellules du maillage. Nous illustrons la robustesse et la précision des schémas mis en place à l'aide d'un grand nombre de cas tests pertinents, ainsi que par une étude de taux de convergence.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relachée et pour lequel la convergence est garantie. Dans dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour plusieurs modèles. Dans un premier temps nous considérons un système purement gravitationnel où les particules interagissent avec le potentiel de Newton. Nos simulations montrent que la matrice d'appariement est toujours non nulle, un fait qui n'a pas encore pu être démontré rigoureusement. Nous étudions ensuite un modèle très simplifié pour la description de protons et neutrons dans le noyau atomique. / This work is devoted to the theoretical and numerical study of Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) theory for attractive quantum systems, which is one of the main methods in nuclear physics. We first present the model and its main properties, and then explain how to discretize it. We prove some convergence results, in particular for the simple fixed point algorithm (sometimes called Roothaan). We show that it converges, or oscillates between two states, none of them being a solution. This generalizes to the HFB case previous results of Cancès and Le Bris for the simpler Hartree-Fock model in the repulsive case. Following these authors, we also propose a relaxed constraint algorithm for which convergence is guaranteed. In the last part of the thesis, we illustrate the behavior of these algorithms by some numerical experiments. We first consider a system where the particles only interact through the Newton potential. Our numerical results show that the pairing matrix never vanishes, a fact that has not yet been proved rigorously. We then study a very simplified model for protons and neutrons in a nucleus.

Cette thèse porte sur la propagation des ondes acoustiques dans des milieux périodiques.Ces milieux ont des propriétés remarquables car le spectre associée à l’opérateur d’ondesdans ces milieux a une structure de bandes : il existe des plages de fréquences danslesquelles les ondes monochromatiques ne se propagent pas. Plus intéressant encore, enintroduisant des défauts linéiques dans ce type de milieux, on peut créer des modes guidésà l’intérieur de ces bandes de fréquences interdites. Dans ce manuscrit nous montrons qu’ilest possible de créer de tels modes guidés dans le cas de milieux périodiques particuliersde type quadrillage : plus précisément, le domaine périodique considéré est constitué duplan R2 privé d’un ensemble infini d’obstacles rectangulaires régulièrement espacés (d’unedistance ") dans deux directions orthogonales du plan, que l’on perturbe localement endiminuant la distance entre deux colonnes d’obstacles. Les résultats sont ensuite étendusau cas 3D.Ce travail comporte un aspect théorique et un aspect numérique. Du point de vue théoriquel’analyse repose sur le fait que, comme " est petit, le spectre de l’opérateur associé ànotre problème est "proche" du spectre d’un problème posé sur le graphe obtenu commela limite géométrique du domaine quand " tend vers 0. Or, pour le graphe limite, il estpossible de calculer explicitement le spectre. Ensuite, en utilisant des méthodes d’analyseasymptotique on étudie le spectre de l’opérateur non-limite. On illustre les résultats théoriquespar des résultats numériques obtenus à l’aide d’une méthode numérique spécialementdédiée aux milieux périodiques : cette dernière est basée sur la réduction du problèmede valeurs propres initial (linéaire) posé dans un domaine non-borné à un problème nonlinéaireposé dans un domaine borné (en utilisant l’opérateur de Dirichlet-to-Neumannexact). / The present work deals with propagation of acoustic waves in periodic media. Thesemedia have particularly interesting properties since the spectrum associated with theunderlying wave operator in such media has a band-gap structure: there exist intervals offrequences for which monochromatic waves do not propagate. Moreover, by introducinglinear defects in this kind of media, one can create guided modes inside the bands offorbidden frequences. In this work we show that it is possible to create such guidedmodes in the case of particular periodic media of grid type: more precisely, the periodicdomain in question is R2 minus an infinite set of rectangular obstacles periodically spacedin two orthogonal directions (the distance between two neighbour obstacles being "),which is locally perturbed by diminishing the distance between two columns of obstacles.The results are extended to the 3D case.This work has a theoretical and a numerical aspect. From the theoretical point of view theanalysis is based on the fact that, " being small, the spectrum of the operator associatedwith our problem is "close" to the spectrum of a problem posed on a graph which is ageometric limit of the domain as " tends to 0. However, for the limit graph the spectrumcan be computed explicitly. Then, we study the spectrum of the non-limit operatorusing asymptotic analysis. Theoretical results are illustrated by numerical computationsobtained with a numerical method developed for study of periodic media: this method isbased on the reduction of the initial (linear) eigenvalue problem posed in an unboundeddomain to a non-linear problem posed in a bounded domain (using the exact Dirichletto-Neumann operator).

Le bruit de frottement de deux surfaces rugueuses est dû à la vibration verticale engendrée par les impacts inter-aspérités de deux solides glissants. Il relève de la physique des interfaces multicontact dont les propriétés sont encore largement méconnues. L'objet de cette thèse est de comprendre les mécanismes de transfert d'énergie et de génération des vibrations à l'œuvre à l'interface entre deux surfaces rugueuses en glissement relatif. Ces interfaces présentent des spots de contact qui se renouvellent très rapidement mais dont la physique statistique reste à découvrir. Un outil numérique est spécialement développé pour étudier efficacement ce phénomène aux échelles microscopique et macroscopique. Les simulations sont effectuées à l'aide de centres de calcul haute performance à Lyon. Elles ont mené aux conclusions suivantes. Le niveau de la vibration Lv (dB) est une fonction croissante du logarithme de la rugosité de surface Ra et de la vitesse de glissement V, ce qui est en accord avec les résultats expérimentaux issus de la littérature. De plus, grâce à cet outil numérique, on a pu analyser précisément les chocs entre surfaces définis à partir de l'évolution temporelle de la force de contact. Leur durée est de l'ordre de 0.1 ms, la force maximale de contact peut atteindre 100 fois le poids propre du solide glissant, et le nombre de chocs est de l'ordre de 10000 par seconde pour une surface de l'ordre de 4 cm2. Les chocs sont donc des excitations transitoires brèves mais nombreuses et intenses. Ces chocs se comportent comme les sources d'énergie vibratoire qui sont responsables d'un transfert d'énergie à l'interface. C'est en effet la transformation de l'énergie cinétique du mouvement solide glissant en énergie vibratoire qui est responsable du bruit de frottement. / The friction noise between two rough surfaces is caused by the vertical vibration generated by inter-asperity impacts of sliding solids. This phenomenon involves the physics of multicontact interfaces, a field which is largely unknown. The purpose of this thesis is to understand the mechanisms of noise generation and the energy transfer process between two rough surfaces in sliding contact. The contact spots in the interface are rapidly renewed during the movement in a random fashion but their statistical properties remain to be discovered. A numerical tool is developed in order to efficiently study this phenomenon at both macroscopic and microscopie scales. The simulations are carried out thanks to the high performance computing centre in Lyon. This study leads to the following conclusions. The vibration level Lv (dB) is an increasing logarithm function of surface roughness Ra and sliding velocity V. This statement is consistent with experimental results available in the literature. Moreover, we can analyze precisely the asperity shocks which are defined from the time evolution of the contact force. The shock duration is of the order of 0.1 ms, the maximal contact force can reach to 100 times the weight of sliding solid, and the shock rate is of the order of 10000 for a surface of 4 cm2 . The asperity shocks are transient excitations, brief but abundant and intensive. These shocks behave like vibrational energy sources and are responsible of the energy transfer in the interface. This is the transformation process of kinetic energy to vibrational energy which is responsible of friction noises.

Les nombres p-adiques sont un analogue des nombres réels plus proche de l’arithmétique. L’avènement ces dernières décennies de la géométrie arithmétique a engendré la création de nombreux algorithmes utilisant ces nombres. Ces derniers ne peuvent être de manière générale manipulés qu’à précision finie. Nous proposons une méthode, dite de précision différentielle, pour étudier ces problèmes de précision. Elle permet de se ramener à un problème au premier ordre. Nous nous intéressons aussi à la question de savoir quelles bases de Gröbner peuvent être calculées sur les p-adiques. / P-Adic numbers are a field in arithmetic analoguous to the real numbers. The advent during the last few decades of arithmetic geometry has yielded many algorithms using those numbers. Such numbers can only by handled with finite precision. We design a method, that we call differential precision, to study the behaviour of the precision in a p-adic context. It reduces the study to a first-order problem. We also study the question of which Gröbner bases can be computed over a p-adic number field.

Nous développons une méthode de couplage entre un fluide compressible non-visqueux et une structure tridimensionnelle mobile. Nous considérons d'abord une structure rigide, puis déformable, et enfin avec fragmentation. Le couplage repose sur une méthode conservative de type frontières immergées en combinaison avec une méthode de Volumes Finis pour le fluide et une méthode d'Éléments Discrets pour la structure. La méthode de couplage assure la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale du système. Elle présente également des propriétés de consistance, comme l'absence d'effets de rugosité artificielle sur une paroi rigide. La méthode de couplage est explicite en temps dans le cas d'une structure rigide, et semi-implicite dans le cas d'une structure déformable. La méthode semi-implicite en temps évite que des déformations tangentielles de la structure ne se transmettent au fluide, et la résolution itérative jouit d'une convergence géométrique sous une condition CFL non restrictive sur le pas de temps. Nous présentons des résultats numériques montrant la robustesse de la méthode dans le cas d'une sphère rigide mise en mouvement par une onde de choc, une poutre encastrée fléchie par une onde de choc et un cylindre se fragmentant sous l'action d'une explosion interne / We develop a coupling method between an inviscid compressible fluid and a three dimensional mobile structure. We consider first a rigid structure, then a deformable, and finally a fragmenting one. The coupling hinges on a Conservative Immersed Boundary method combined with a Finite Volume method for the fluid and a Discrete Element method for the structure. The method yields conservation of mass, momentum, and energy of the system. The method also exhibits consistency properties, such as the absence of numerical roughness on a rigid wall. The method is explicit in time in the case of a rigid structure, and semi-implicit when the structure is deformable. The time semi-implicit method avoids that tangential deformations of the structure impact the fluid, and the method converges geometrically with a non-restrictive CFL condition on the time step. We present numerical results showing the robustness of the method in the case of a rigid sphere lifted by a shock wave, a clamped beam flexed by a shock wave, and a cylinder undergoing fragmentation owing to an intern explosion

L'objet de cette thèse est l'étude de l'option américaine dans un modèle exponentiel de Lévy général. Dans le premier chapitre nous étudions la continuité des réduites dans le cadre des processus de Markov de Feller. Ensuite, nous introduisons les processus de Lévy multidimensionnels et nous montrons la continuité des réduites associées à ceux-ci. Dans le deuxième chapitre, nous clarifions les propriétés basiques de la frontière libre du put américain dans un modèle exponentiel de Lévy général avec dividendes. Nous commençons par caractériser le prix de l'option américaine comme l'unique solution d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. Ce qui nous permettra de montrer la continuité de la frontière libre et de donner une caractérisation explicite de la limite du prix critique près de l'échéance. Dans le troisième chapitre, nous étudions la continuité de la dérivée de la fonction valeur du put américain à horizon fini et du put perpétuel. Nous donnons des conditions nécessaires et d'autres suffisantes pour la vérification du principe de smooth-fit. Dans le quatrième chapitre, nous étudions la vitesse de convergence du prix critique vers sa limite à l'échéance dans le cadre d'un modèle exponentiel de Lévy, dans le cas de diffusion avec sauts, puis dans le cas d'un processus de Lévy sans partie Brownienne. Après, nous donnons cette vitesse dans le cas où le terme de diffusion est absent. Enfin, dans le dernier chapitre, nous introduisons deux méthodes numériques pour le calcul des prix des options américaines : la méthode de l'arbre multinomial et celle des différences finies. Nous comparons les deux approches et nous améliorons la convergence de la première dans certains modèles exponentiels de Lévy / Pas de résumé en anglais

When entering a planet’s atmosphere, spacecraft induce a strong compression shock and must be protected from the resulting extreme heat flux by a thermal protection system made of either reusable or ablative materials. To characterise these materials, the harsh flow conditions of atmospheric entry are reproduced in plasma wind tunnels, where a jet of gas heated up to ionisation is directed at material samples for prolonged testing. Unfortunately, heated jets exhibit complex dynamic behaviours, resulting in oscillations that increase the uncertainties in the experiments.At sufficient Reynolds numbers, the dynamic behaviour of heated jets shifts from an amplifier to a self-sustained oscillator type via a Hopf bifurcation, if the centreline-to-ambient density ratio falls below a given threshold. This change is known in the literature to be related to the onset of absolute instabilities in the flow. However, this type of instability is usually studied for a simplified description of the gas, which is not suitable for the case of a plasma wind tunnel.This doctoral work investigates the nature of the instabilities responsible for the oscillations observed in a plasma jet, similar to the one in the VKI Plasmatron facility. The analysis is carried out by comparing results from different numerical methods, including linear stability analyses (both local and global) and direct numerical simulations. The thesis first describes the effect of high-temperature gas models on the stability of synthetic jets found in the literature, before analysing the case of Plasmatron.The analysis of synthetic jets with real-gas effects shows that the onset of the first dissociation reactions in the flow has a strong influence on the prevailing type of instability. Furthermore, if a sufficiently long region of absolute instability is present in the jet, the flow bifurcates to a periodic limit cycle, and steady state solutions become inadequate to describe the flow and its dynamic behaviour. In this case, a stability analysis of the time-averaged state can accurately reproduce the results of direct numerical simulations. In the case of Plasmatron, a large region of absolute instability is revealed in the plasma jet, suggesting that the observed oscillations are caused (in part) by a global non-linear mode and that the flow has entered a limit cycle. Trends of the absolute instability frequency with respect to the driving parameters of Plasmatron are in agreement with experimental observations.The present work confirms that global stability features of heated jet flows are very sensitive to subtle changes of the undisturbed or time-averaged state, which results from technological constraints in the case of Plasmatron. Furthermore, this thesis has shown the relevance of including high-temperature gas effects in the stability analysis of high-enthalpy jets. / Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles. En particulier nous nous intéressons à des systèmes issus de la mécanique des fluides avec contraintes qui permettent de décrire de manière continue en temps et en espace des quantités physiques telles que la densité ou la vitesse. Dans ce cadre nous construisons des modèles pour la biologie : modélisation de la croissance d'un biofilm de micro-algues et modélisation du gros intestin et de sa couche de mucus. Ces modèles sont ensuite testés numériquement à l'aide de schémas numériques spécifiquement élaborés pour ces modèles. Cette thèse est complétée par une étude numérique du modèle d'Aw-Rascle avec contrainte pour le trafic routier / This thesis is devoted to the study of partial differential equation systems. In particular, we are interested in constrained systems coming from the fluid mechanics field which allow to describe, in time and space, physical quantities such as density or speed. In this context we build models for biology: modeling of the growth of micro-algae biofilms and modeling of the large intestine and its mucus layer. These models are then tested numerically using numerical schemes specifically developed for these models. This thesis is supplemented with a numerical study of Aw-Rascle model with constraint for road traffic

Cette thèse est dédiée au développement de méthodes numériques pour la poromécanique, et à leur application dans un contexte de modélisation cardiaque.Elle est motivée par la prise en compte, dans les modèles de coeur humain, du réseau coronarien qui perfuse le myocarde, afin de mieux décrire les maladies vasculaires coronariennes.Nous appuyant sur des travaux existants, nous proposons un modèle de coeur perfusé, ainsi qu'une réduction 0D permettant de reproduire, à moindre coût de calcul, un cycle cardiaque réaliste avec masse et pression de perfusion. Le modèle mis au point nous permet de reproduire des phénomènes physiologiques auparavant inaccessibles dans les modèles, et d'une grande importance pour des applications cliniques, tels que la vasodilatation et les pathologies coronariennes.L'intégration d'un compartiment poreux pour représenter le myocarde perfusé dans les modèles 3D représente un défi technique d'un autre ordre. Nous inspirant des schémas en temps de type splitting établis en interaction fluide-structure pour modéliser les vaisseaux sanguins, nous proposons une discrétisation semi-implicite d'une formulation générale de poromécanique, satisfaisant un bilan d'énergie au niveau discret. Afin d'illustrer et valider notre démarche, l'environnement de calcul élément finis FreeFem++ nous permet de reproduire des cas tests classiques de gonflement et de drainage de milieux poreux en 2D, puis de vérifier le bilan énergétique discret.Enfin, motivés par l'étude de la discrétisation spatiale de notre problème, nous établissons dans un cadre linéaire un résultat de convergence totale du schéma sous conditions. Cela nous permet de proposer une méthode d'implémentation facile à mettre en oeuvre et présentant de bons résultats de stabilité. FreeFem++ nous permet à nouveau de valider nos résultats en illustrant les pathologies numériques associées à l'incompressibilité, et leur traitement efficace par les stratégies proposées, dans le cadre linéaire puis dans une situation plus générale. / This thesis is dedicated to the development of numerical methods for poromechanics, and to their application in a cardiac modeling context. It is motivated by the introduction into existing cardiac models of the coronary network that perfuses the myocardium, to better describe coronary vascular diseases.Drawing our inspiration from existing works, we propose a perfused heart model, and a 0D reduction allowing the cost-effective reproduction of a realistic cardiac cycle with perfusion mass and pressure. The model derived illustrates physiological phenomena inaccessible in former models, and with great clinical application potential, such as vasodilatation and coronary diseases.The integration of a porous compartment to represent the perfused myocardium within 3D models is more challenging. Relying on splitting time schemes established for fluid-structure interaction to model blood vessels, we propose a semi-implicit discretization of a general poromechanics formulation, satisfying a discrete energy balance. In order to illustrate and validate our approach, we reproduce in the finite element software FreeFem++ classical swelling and drainage 2D test cases, and we monitor the discrete energy balance.Finally, motivated by the study of spatial discretization aspects of our problem, we establish in a linear framework a conditional total convergence result. This enables us to propose a computational method easy to implement and presenting good stability results. FreeFem++ enables us again to validate our results, illustrating numerical pathologies associated with incompressibility, and their efficient treatment with the proposed strategies, first in a linear framework and then in a more general situation.