Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau des dernières classes de l'enseignement secondaire français fait apparaître des variations importantes à chaque réforme depuis 1962, variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que les procédures conseillées par les programmes et les manuels. Les méthodes préconisées conditionnent les connaissances utilisables par les élèves pour effectuer les tâches prescrites, et l'équilibre connaissances / savoirs caractérise la place dévolue à la validation. Nous étudions les possibilités d'établir à ce niveau un rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre à l'élève de construire des connaissances appropriées.<br />Par ailleurs l'examen des registres et des ostensifs disponibles pour construire un milieu propre à l'enseignement des notions de fonction et de limite, fait apparaître des potentialités non exploitées dans les registres graphique et formel. Ceci conduit à construire et à expérimenter dans la classe de première Scientifique, une situation pour l'enseignement de la notion de fonction : la situation « Graphiques et Chemins » , et une situation pour une première approche de la notion de limite de suite : la situation du flocon.<br />Les problèmes rencontrés dans la gestion des situations comportant une dimension a-didactique amènent à s'interroger sur les connaissances que le professeur met en oeuvre pour gérer une situation d'enseignement comportant une telle composante, et sur une modélisation possible du milieu du professeur.<br />Un questionnaire est construit pour l'étude des connaissances sur l'analyse; son traitement statistique a pour but de tester l'effectivité de l'apprentissage.<br />Dans l'enseignement supérieur, l'étude de transcriptions de cours et de copies d'élèves permet de s'interroger sur les connaissances nécessaires à ce niveau, et sur l'articulation avec l'enseignement secondaire. <br />En conclusion, nous proposons quelques pistes de réflexion sur l'équilibre connaissances / savoirs dans l'enseignement des débuts d'une théorie mathématique, et sur l'enseignement possible, au niveau du secondaire, de connaissances requises dans la suite du cursus

Par une observation de l'enseignement de "la factorisation par un facteur commun (binôme)" au Liban et en France, nous avons recherché comment des professeurs envisagent cette notion et les techniques qu'ils enseignent, dans le cadre institutionnel fixé, que nous décrivons rapidement. Nos analyses comparées du travail de deux classes de chaque pays sont rapportées aux notions de registre combinatoire et registre signifiant empruntées à Serfati, et aux notions d'ostensifs proposées par Bosch et Chevallard, grâce auxquelles nous décrivons dans la deuxième partie le travail symbolique algébrique. Nous observons ainsi comment, pour traiter du travail algébrique, les enseignants et les élèves manquent de termes techniques leur permettant de décrire et de conduire les calculs, d'élaborer des algorithmes, de résoudre les problèmes qu'ils rencontrent. Même en France et malgré les injonctions des programmes qui insistent sur la fonctionnalité du travail algébrique, les élèves ne développent que des stratégies de type combinatoire, les professeurs n'arrivant pas à enseigner autre chose.

NOUS NOUS PROPOSONS D'ÉTUDIER LES RAISONS POUR LESQUELS LES ENSEIGNANTS ONT DES DIFFICULTÉS POUR INTÉGRER CABRI DANS LEUR PRATIQUE, COMME L'ON RÉVÉLÉ DIVERS ÉTUDES, AFIN D'AMÉLIORER LES COURS DE FORMATION. NOUS UTILISONS UN CADRE THÉORIQUE TRIPLE, AVEC LA THÉORIE ANTHROPOLOGIQUE DU DIDACTIQUE DE CHEVALLARD, L'APPROCHE INSTRUMENTALE DE RABARDEL, ET LA THÉORIE DES SITUATIONS DE BROUSSEAU. NOUS AVONS MIS EN OEUVRE UNE INGÉNIERIE DE FORMATION D'UNE ANNÉE, QUI COMPRENAIT UN COURS INTENSIF DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE AVEC CABRI, UNE PÉRIODE DE PRATIQUE ACCOMPAGNÉE, UN COURS INTENSIF D'UTILISATION DE CABRI POUR L'ENSEIGNEMENT ET UN PÉRIODE DE PRATIQUE ACCOMPAGNÉ. NOUS AVONS MONTRÉ QUE LES NOUVEAUX OBJETS OSTENSIFS DE CABRI REQUIÈRENT UNE RECONSTRUCTION PRAXÉOLOGIQUE QUI PRENNE EN COMPTE LE DYNAMISME ET LA COMPLEXITÉ DES RELATIONS ENTRE OBJETS, ET QUE MALGRÉ UNE BONNE ASSIMILATION D'UNE PRAXÉOLOGIE MATHÉMATIQUE AVEC CABRI, LES ENSEIGNANTS ONT DES DIFFICULTÉS À ASSIMILER UNE PRAXÉOLOGIE DIDACTIQUE CENTRÉ SUR LA VALIDATION.