La presente recherche doctorale en analyse numerique (et calcul scientifique) aborde le probleme du controle de la dissipation d'entropie numerique associee a une discretisation donnee. Cette problematique constitue un veritable challenge numerique non encore completement resolu a ce jour.<br /><br />Le travail se decompose en deux parties principales dont les caracteristiques sont reellement differentes.<br /><br />La premiere partie concerne l'approximation numerique des solutions (instationnaires en 1D et stationnaires en 2D) du systeme des equations de Navier-Stokes a plusieurs pressions independantes. Ce systeme est hyperbolique et possede des champs vraiment non lineaires sous des hypotheses classiques, mais s'ecrit naturellement sous forme non conservative.<br /><br />La deuxieme partie est dediee a l'approximation numerique des solutions instationnaires en 1D de quelques systemes de lois de conservation de type soit hyperbolique mais dont les champs possedent un defaut de vraiment non linearite, ou soit mixte hyperbolique-elliptique.<br /><br />Dans toutes ces situations motivees par des applications physiques concretes, le controle de la dissipation d'entropie joue un role déterminant dans la caracterisation des solutions recherchees. Les schemas numeriques proposes dans ce manuscrit sont obtenus par une analyse fine des bilans d'entropie associes.

Pour la conception des cœurs de réacteurs de 4ème génération, une précision accrue est requise pour les calculs des différents paramètres neutroniques. Les ressources mémoire et le temps de calcul étant limités, une solution consiste à utiliser des méthodes de raffinement de maillage afin de résoudre l'équation de transport des neutrons. Le flux neutronique, solution de cette équation, dépend de l'énergie, l'angle et l'espace. Les différentes variables sont discrétisées de manière successive. L'énergie avec une approche multigroupe, considérant les différentes grandeurs constantes sur chaque groupe, l'angle par une méthode de collocation, dite approximation Sn. Après discrétisation énergétique et angulaire, un système d'équations hyperboliques couplées ne dépendant plus que de la variable d'espace doit être résolu. Des éléments finis discontinus sont alors utilisés afin de permettre la mise en place de méthodes de raffinement dite hp. La précision de la solution peut alors être améliorée via un raffinement en espace (h-raffinement), consistant à subdiviser une cellule en sous-cellules, ou en ordre (p-raffinement) en augmentant l'ordre de la base de polynômes utilisée.Dans cette thèse, les propriétés de ces méthodes sont analysées et montrent l'importance de la régularité de la solution dans le choix du type de raffinement. Ainsi deux estimateurs d'erreurs permettant de mener le raffinement ont été utilisés. Le premier, suppose des hypothèses de régularité très fortes (solution analytique) alors que le second utilise seulement le fait que la solution est à variations bornées. La comparaison de ces deux estimateurs est faite sur des benchmarks dont on connaît la solution exacte grâce à des méthodes de solutions manufacturées. On peut ainsi analyser le comportement des estimateurs au regard de la régularité de la solution. Grâce à cette étude, une stratégie de raffinement hp utilisant ces deux estimateurs est proposée et comparée à d'autres méthodes rencontrées dans la littérature. L'ensemble des comparaisons est réalisé tant sur des cas simplifiés où l'on connaît la solution exacte que sur des cas réalistes issus de la physique des réacteurs.Ces méthodes adaptatives permettent de réduire considérablement l'empreinte mémoire et le temps de calcul. Afin d'essayer d'améliorer encore ces deux aspects, on propose d'utiliser des maillages différents par groupe d'énergie. En effet, l'allure spatiale du flux étant très dépendante du domaine énergétique, il n'y a a priori aucune raison d'utiliser la même décomposition spatiale. Une telle approche nous oblige à modifier les estimateurs initiaux afin de prendre en compte le couplage entre les différentes énergies. L'étude de ce couplage est réalisé de manière théorique et des solutions numériques sont proposées puis testées.

Nous etudions dans cette these differentes lois de conservation hyperboliques associees a la modelisation des ecoulements en eaux peu profondes.<br />Nous nous consacrons d'abord a l'analyse numerique du systeme de Saint-Venant avec termes sources. Nous presentons un schema volumes finis bidimensionnel d'ordre 2, conservatif et consistant, qui s'appuie sur une interpretation cinetique du systeme et une methode de reconstruction hydrostatique des variables aux interfaces. Ce schema preserve la positivite de la hauteur d'eau et l'etat stationnaire associe au lac au repos.<br />Nous etendons ensuite l'interpretation cinetique au couplage du systeme avec une equation de transport. Nous construisons un schema volumes finis a deux pas de temps, qui permet de prendre en compte les differentes vitesses de propagation de l'information presentes dans le probleme. Cette approche preserve les proprietes de stabilite du systeme et reduit sensiblement la diffusion numerique et les temps de calcul.<br />Nous proposons egalement un nouveau modele de Saint-Venant multicouche, qui permet de retrouver des profils de vitesse non constants, tout en preservant le caractere invariant et bidimensionnel du domaine de definition. Nous presentons sa derivation a partir des equations de Navier-Stokes et une etude de stabilite - energie, hyperbolicite. Nous etudions egalement ses relations avec d'autres modeles fluides et sa mise en oeuvre numerique, la encore basee sur l'utilisation des schemas cinetiques.<br />Enfin nous etablissons un theoreme d'unicite pour les lois de conservation scalaires avec flux discontinus. La preuve est basee sur l'utilisation d'une nouvelle famille d'entropies, qui constituent une adaptation naturelle des entropies de Kruzkov classiques au cas discontinu. Cette methode permet de lever certaines hypotheses classiques sur le flux - convexite, existence de bornes BV, nombre fini de discontinuites - et ne necessite pas l'introduction d'une condition d'interface.