Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de solutions d'une classe d'équations aux dérivées partielles avec des coefficients fortement oscillants. Dans un premier temps, on s'intéresse à une famille d'équations non linéaires, des lois de conservation scalaires hétérogènes, qui interviennent dans divers problèmes de la mécanique des fluides ou de l'électromagnétisme non linéaire. On suppose que le flux de cette équation est périodique en espace, et que la période des oscillations tend vers zéro. On identifie alors les profils asymptotiques microscopique et macroscopique de la solution, et on démontre un résultat de convergence forte; en particulier, on montre que lorsque la condition initiale ne suit pas le profil microscopique dicté par l'équation, il se forme une couche initiale en temps durant laquelle les solutions s'adaptent à celui-ci. Dans un second temps, on considère une équation de transport linéaire, qui modélise l'évolution de la densité d'un ensemble de particules chargées dans un potentiel électrique aléatoire et très oscillant. On établit l'apparition d'oscillations microscopiques en temps et en espace dans la densité, en réponse à l'excitation par le potentiel électrique. On donne également des formules explicites pour l'opérateur de transport homogénéisé lorsque la dimension de l'espace est égale à un.

A chaque instant $t$, nous construisons la dynamique des particules collantes dont la masse est distribuée initialement suivant une fonction de répartition $F_0$, avec une vitesse $u_0$, à partir de l'enveloppe convexe $H(\cdot,t)$ de la fonction $m\in (0,1)\mapsto \int_a^m\big( F_0^(-1)(z) + tu_0\big(F_0^(-1)(z)\big)\big)dz$. Ici, $F_0^(-1)$ est l'une des deux fonctions inverses de $F_0$. Nous montrons que les deux processus stochastiques $X_t^-(m)= \partial_m^-H(m,t),\; X_t^+(m) = \partial_m^+H(m,t)$, définis sur l'espace probabilisé $([0, 1], (\cal B), \lambda)$, sont indistinguables et ils modélisent les trajectoires des particules. Le processus $X_t:= X_t^- = X_t^+$ est une solution de l'équation $(EDS): \; \frac(dX_t)(dt) =\E[ u_0(X_0)/X_t]$, telle que $P(X_0 \leq x) = F_0(x)\,\,\forall x$. L'inverse $M_t:= M(\cdot,t)$ de la fonction $m\mapsto \partial_mH(m,t)$ est la fonction de répartition de la masse à l'instant $t$. Elle est aussi la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_t$. On montre l'existence d'un flot $(\phi(x,t,M_s, u_s))_( s < t)$ tel que $X_t= \phi(X_s,t,M_s,u_s)$, où $u_s(x) = \E[ u_0(X_0)/X_s = x]$ est la fonction vitesse des particules à l'instant $s$. Si $\frac(dF_0^n)(dx)$ converge faiblement vers $\frac(dF_0)(dx)$, alors la suite des flots $\phi(\cdot,\cdot,F_0^n,u_0)$ converge uniformément, sur tout compact, vers $\phi(\cdot,\cdot,F_0,u_0)$. Ensuite, nous retrouvons et étendons certains résultats des équations aux dérivées partielles, à savoir que la fonction $(x,t)\mapsto M(x,t)$ est la solution entropique d'une loi de conservation scalaire de donnée initiale $F_0$, et la famille $\big(\rho(dx,t) = P(X_t\in dx),\, u(x,t) = \E[ u_0(X_0)/X_t = x]\big)_(t >0)$ est une solution faible du système de gaz sans pression de données initiales $\frac(dF_0(x))(dx), u_0$. Cette thèse contient aussi d'autres solutions de l'équation différentielle stochastique $(EDS)$ ci-dessus.

Nous etudions dans cette these differentes lois de conservation hyperboliques associees a la modelisation des ecoulements en eaux peu profondes.<br />Nous nous consacrons d'abord a l'analyse numerique du systeme de Saint-Venant avec termes sources. Nous presentons un schema volumes finis bidimensionnel d'ordre 2, conservatif et consistant, qui s'appuie sur une interpretation cinetique du systeme et une methode de reconstruction hydrostatique des variables aux interfaces. Ce schema preserve la positivite de la hauteur d'eau et l'etat stationnaire associe au lac au repos.<br />Nous etendons ensuite l'interpretation cinetique au couplage du systeme avec une equation de transport. Nous construisons un schema volumes finis a deux pas de temps, qui permet de prendre en compte les differentes vitesses de propagation de l'information presentes dans le probleme. Cette approche preserve les proprietes de stabilite du systeme et reduit sensiblement la diffusion numerique et les temps de calcul.<br />Nous proposons egalement un nouveau modele de Saint-Venant multicouche, qui permet de retrouver des profils de vitesse non constants, tout en preservant le caractere invariant et bidimensionnel du domaine de definition. Nous presentons sa derivation a partir des equations de Navier-Stokes et une etude de stabilite - energie, hyperbolicite. Nous etudions egalement ses relations avec d'autres modeles fluides et sa mise en oeuvre numerique, la encore basee sur l'utilisation des schemas cinetiques.<br />Enfin nous etablissons un theoreme d'unicite pour les lois de conservation scalaires avec flux discontinus. La preuve est basee sur l'utilisation d'une nouvelle famille d'entropies, qui constituent une adaptation naturelle des entropies de Kruzkov classiques au cas discontinu. Cette methode permet de lever certaines hypotheses classiques sur le flux - convexite, existence de bornes BV, nombre fini de discontinuites - et ne necessite pas l'introduction d'une condition d'interface.