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DISSERTAÇÃO Robson Carlos da Silva Reis.pdf: 847753 bytes, checksum: 76f279149cfb5597618e4b32e2796619 (MD5) / Rejected by Alice Araujo (alice.caraujo@ufpe.br), reason: Fernanda, por favor, insere o abstract como der (o mais parecido possível). Em seguida eu vou perguntar ao usuário o que ele acha. Antes de enviar o e-mail para ele, preciso liberar no RI-UFPE. on 2018-08-09T22:52:46Z (GMT) / Submitted by Fernanda Rodrigues de Lima (fernanda.rlima@ufpe.br) on 2018-08-13T19:40:04Z
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Previous issue date: 2017-02-22 / CAPES / Dizemos que um corpo de números K é Euclidiano em relação à norma algébrica usual , se, para quaisquer inteiros algébricos e de K, com não nulo, existe um inteiro algébrico em K tal que | ( − )| < | ()|, o “algoritmo de Euclides” de . Se K é Euclidiano, então o seu anel de inteiros algébricos, , é um domínio de ideais principais e, portanto, um domínio de fatoração única, o que é um resultado muito útil na resolução de equações diofantinas. Em 1952, E.S. Barnes e H.P.F. Swinnerton-Dyer mostraram que, no caso em que K/Q é uma extensão quadrática, existem, exatamente, vinte e um corpos Euclidianos em relação à norma usual. Para corpos cúbicos e de grau quatro, H. Davenport e, mais tarde, J.W.S. Cassels, mostraram que existe apenas um número finito de corpos Euclidianos, se o grupo das unidades * tem posto um. Por exemplo, Cassels mostrou que corpos cúbicos complexos K não podem ser Euclidianos se −Δᴋ > 420², com Δᴋ sendo o discriminante de ᴋ; há, portanto, apenas um número finito deles. Cioffari usou a cota de Cassels para determinar todos os corpos Euclidianos da forma Q(³√), mostrando que os únicos tais corpos euclidianos são: Q(³√2), Q(³√3) e Q(³√10). Nesta dissertação, apresentamos um estudo detalhado das técnicas que ele usou para obter o resultado. / We say that a number field K is Euclidean if, for any algebraic integers ∈ K and ∈ K, with ≠0, there is an algebraic integer ∈ K such that | ( − )| < | ()|, the "Euclidean algorithm", where is the algebraic norm in K/Q. If K is Euclidean, then its ring of algebraic integers, , is a principal ideal domain and, therefore, a unique factorization domain, which is a very useful fact in solving Diophantine equations. In 1952, E.S. Barnes and H.P.F. Swinnerton-Dyer showed that, in the case where K/Q is a quadratic extension, there are exactly twenty one Euclidean number fields, with being the usual norm. For cubic and quartic fields, H. Davenport, and later J.W.S. Cassels, have shown that there is only a finite number of Euclidean number fields, when the rank of the group of units of is one (that includes cubic fields with two complex embeddings and quartic fields with four complex embeddings). For example, Cassels has shown that a complex cubic number fields K cannot be Euclidean if −Δᴋ > 420², with Δᴋ being the discriminant of K, so there is only a finite number of them. Cioffari used Cassels’ bound to determine all Euclidean number fields of the form Q(︁³√)︁, the pure cubic fields, showing that the only Euclidean number fields in this case are Q(︁ ³√2 )︁, Q(︁³√3)︁ and Q(︁³√10)︁. We give a detailed account of the techniques they used to get this result.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufpe.br:123456789/25527 |
| Date | 22 February 2017 |
| Creators | REIS, Robson Carlos da Silva |
| Contributors | http://lattes.cnpq.br/0559184209749319, LEANDRO, Eduardo Shirlippe Goes |
| Publisher | Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pos Graduacao em Matematica, UFPE, Brasil |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFPE, instname:Universidade Federal de Pernambuco, instacron:UFPE |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazil, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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