FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / O presente trabalho de mestrado visa estudar alguns dos trabalhos do matemÃtico italiano Ennio De Giorgi os quais fazem referÃncia a existÃncia e regularidade de superfÃcies mÃnimas mas estas nÃo contextualizadas integralmente no Ãmbito da Geometria Diferencial mas sim voltadas a um campo da matemÃtica a algumas dÃcadas implementada que a Teoria GeomÃtrica da Medida. Segundo as definiÃÃes de Ennio
De Giorgi iremos estudar superfÃcies, que para o mesmo se davam como bordos de certos conjuntos, os quais sÃo denotados de conjuntos de Caccioppoli, homenagem esta dada por Di Giorgi a o matemÃtico italiano Renato Caccioppoli. Tais conjuntos tem muitas propriedades geomÃtricas interessantes, como por exemplo adimetem plano tangente canÃnico em quase todo ponto, e, possuem âperÃmetroâ finito. Os resultados expostos constatarÃo que atà a dimensÃo 7 todas as soluÃÃes do problema de Plateau sÃo regulares e em geral sua classe de regularidade à C1,α.
Enfim, os resultados deste trabalho em sua maioria serÃo baseados na obra: Minimal Surface and Function of Bounded Variation do autor Enrico Giusti, o qual resume bem
as tÃcnicas de Teoria GeomÃtrica da Medida referentes aos trabalhos de Ennio De Girogi
sobre teoria de regularidade de superfÃcies mÃnimas.
Teorema (De Giorgi-Federer-Massari-Miranda). Sejam Ω contido em R^n, n >1 um conjunto aberto e E contido em R^n um conjunto de Caccioppoli satisfazendo para α em (0, 1)
ψ(E, Bρ(x)) < cρ^(n-1+2α)
para todo x em Ω e todo ρ em (0, R), com c e R constantes positivas. EntÃo a fronteira
reduzida à uma hipersuperfÃcie analÃtica C1,α em Ω, e H^s((∂E - ∂E) Ω) = 0 para todo
s > n - 8. AlÃm disso, suponha que Ej à uma sequÃncia de conjuntos minimais em B1
convergindo localmente a um conjunto mÃnimal C. Sejam x em ∂C e xj em Ej , xj convergindo a x.
EntÃo, se j à suficientemente grande, xj à um ponto regular para ∂Ej e νEj(xj) converge a ν(x),
onde ν(x) Ã o vetor normal relativo a Ej, ∂E denota a fronteira reduzida de E e H^s denota a medida de Hausdoff. / This master thesis aims to study some of the work of the Italian mathematician Ennio De Giorgi which refer to the existence and regularity of minimal surfaces but they do not fully contextualized within the framework of differential geometry but rather focused on a field of mathematics that implemented a few decades Geometric Measure Theory. According to the definitions of Ennio
De Giorgi will study surfaces, which gave to the same as certain boundarys of sets, which are denoted sets Caccioppoli, this honor given by De Giorgi the Italian mathematician Renato Caccioppoli. These sets have many interesting geometric properties, such as adimits canonical tangent plan almost everywhere, and have "perimeter" finite. The above results will see that even the size 7 all the solutions to the problem of Plateau are regular and in general their regular class is C1,α.
Finally, the results of this study are mostly based on the work: Minimal Surface and Function of Bounded Variation of the author Enrico Giusti, which summarizes
the techniques of Geometric Measure Theory relating to the work of Ennio De Girogi on a regularity theory of minimal surfaces
Theorem (De Giorgi- Federer- Massari - Miranda) Let Ω contains in R^n, n>1 an open set and E contains in R^n a Caccioppoli set satisties to α in (0, 1)
ψ(E, Bρ(x)) < cρ^(n-1+2α) for every x in Ω and every ρ in (0, R), with c and R positive constants. Then the reduced boundary is a hipersurface analitic C1,α in Ω, e H^s((∂E - ∂E) Ω) = 0 for every s > n - 8. Furthemore, suppose that Ej is a sequence of minimal sets in B1 locally converging
at minimal set C. Let x in ∂C and xj in Ej , xj converging at x. Then, if j is enough large , xj is a regular point for ∂Ej and νEj(xj) converges to ν(x),
where ν(x) is a normal vector relative at Ej, ∂E denots the boundary reduced of E and H^s denots the Hausdorff measure.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.teses.ufc.br:4171 |
| Date | 21 February 2011 |
| Creators | JoÃo Vitor da Silva |
| Contributors | Eduardo Vasconcelos Oliveira Teixeira, Diego Ribeiro Moreira, JoÃo Marcos Bezerra do à |
| Publisher | Universidade Federal do CearÃ, Programa de PÃs-GraduaÃÃo em MatemÃtica, UFC, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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