Apresentaremos uma fÃrmula para o Laplaciano da funÃÃo &#920; = <n,T> onde f : Sigma ^ {n} &#8594; M^{n } à R à uma imersÃo com codimensÃo um, Sigma ^{n}à uma hiperfÃcie two-sided, T à um campo conforme em Sigma ^{n} à R e n à um campo unitÃrio normal a Sigma ^{n} em M^{n} à R. Usaremos tal fÃrmula para obtermos alguns resultados tipo Bernstein em M2 à R.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Obtemos limites inferiores para o tom fundamental de conjuntos abertos em subvariedades com curvatura mÃdia localmente limitada no espaÃo produto N x R, onde N à uma variedade Riemanniana completa n-dimensional com curvatura seccional K à menor ou igual que a curvatura do espaÃo forma. Quando a imersÃo à mÃnima nossas estimativas sÃo Ãtimas. / We give lower bounds for the fundamental of open sets in submanifolds with locally bounded mean curvature in N X R, where N is an n-dimensional complete Riemannian manifold with radial sectional curvature KN is less than or equal to the curvature of space form. When the immersion is minimal our estimates are sharp.

FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / O presente trabalho de mestrado visa estudar alguns dos trabalhos do matemÃtico italiano Ennio De Giorgi os quais fazem referÃncia a existÃncia e regularidade de superfÃcies mÃnimas mas estas nÃo contextualizadas integralmente no Ãmbito da Geometria Diferencial mas sim voltadas a um campo da matemÃtica a algumas dÃcadas implementada que a Teoria GeomÃtrica da Medida. Segundo as definiÃÃes de Ennio De Giorgi iremos estudar superfÃcies, que para o mesmo se davam como bordos de certos conjuntos, os quais sÃo denotados de conjuntos de Caccioppoli, homenagem esta dada por Di Giorgi a o matemÃtico italiano Renato Caccioppoli. Tais conjuntos tem muitas propriedades geomÃtricas interessantes, como por exemplo adimetem plano tangente canÃnico em quase todo ponto, e, possuem âperÃmetroâ finito. Os resultados expostos constatarÃo que atà a dimensÃo 7 todas as soluÃÃes do problema de Plateau sÃo regulares e em geral sua classe de regularidade à C1,&#945;. Enfim, os resultados deste trabalho em sua maioria serÃo baseados na obra: Minimal Surface and Function of Bounded Variation do autor Enrico Giusti, o qual resume bem as tÃcnicas de Teoria GeomÃtrica da Medida referentes aos trabalhos de Ennio De Girogi sobre teoria de regularidade de superfÃcies mÃnimas. Teorema (De Giorgi-Federer-Massari-Miranda). Sejam &#937; contido em R^n, n >1 um conjunto aberto e E contido em R^n um conjunto de Caccioppoli satisfazendo para &#945; em (0, 1) &#968;(E, B&#961;(x)) < c&#961;^(n-1+2&#945;) para todo x em &#937; e todo &#961; em (0, R), com c e R constantes positivas. EntÃo a fronteira reduzida à uma hipersuperfÃcie analÃtica C1,&#945; em &#937;, e H^s((&#8706;E - &#8706;E) &#937;) = 0 para todo s > n - 8. AlÃm disso, suponha que Ej à uma sequÃncia de conjuntos minimais em B1 convergindo localmente a um conjunto mÃnimal C. Sejam x em &#8706;C e xj em Ej , xj convergindo a x. EntÃo, se j à suficientemente grande, xj à um ponto regular para &#8706;Ej e &#957;Ej(xj) converge a &#957;(x), onde &#957;(x) à o vetor normal relativo a Ej, &#8706;E denota a fronteira reduzida de E e H^s denota a medida de Hausdoff. / This master thesis aims to study some of the work of the Italian mathematician Ennio De Giorgi which refer to the existence and regularity of minimal surfaces but they do not fully contextualized within the framework of differential geometry but rather focused on a field of mathematics that implemented a few decades Geometric Measure Theory. According to the definitions of Ennio De Giorgi will study surfaces, which gave to the same as certain boundarys of sets, which are denoted sets Caccioppoli, this honor given by De Giorgi the Italian mathematician Renato Caccioppoli. These sets have many interesting geometric properties, such as adimits canonical tangent plan almost everywhere, and have "perimeter" finite. The above results will see that even the size 7 all the solutions to the problem of Plateau are regular and in general their regular class is C1,&#945;. Finally, the results of this study are mostly based on the work: Minimal Surface and Function of Bounded Variation of the author Enrico Giusti, which summarizes the techniques of Geometric Measure Theory relating to the work of Ennio De Girogi on a regularity theory of minimal surfaces Theorem (De Giorgi- Federer- Massari - Miranda) Let &#937; contains in R^n, n>1 an open set and E contains in R^n a Caccioppoli set satisties to &#945; in (0, 1) &#968;(E, B&#961;(x)) < c&#961;^(n-1+2&#945;) for every x in &#937; and every &#961; in (0, R), with c and R positive constants. Then the reduced boundary is a hipersurface analitic C1,&#945; in &#937;, e H^s((&#8706;E - &#8706;E) &#937;) = 0 for every s > n - 8. Furthemore, suppose that Ej is a sequence of minimal sets in B1 locally converging at minimal set C. Let x in &#8706;C and xj in Ej , xj converging at x. Then, if j is enough large , xj is a regular point for &#8706;Ej and &#957;Ej(xj) converges to &#957;(x), where &#957;(x) is a normal vector relative at Ej, &#8706;E denots the boundary reduced of E and H^s denots the Hausdorff measure.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Seja Mn uma hipersuperficie r&#8722;minima de Rn+1, ou seja, suponha que M tem curvatura S r+1 identicamente nula. M Ã dita regular se fora de algum compacto M Ã a uniÃo disjunta de um nÃmero finito de fins, cada um deles regular, isto Ã, com o mesmo comportamento assintÃtico de uma hipersuperfÃcie rotacional. Mostramos que hipersuperfÃcies r-mÃnimas elipticas e mergulhadas no espaÃo Euclidiano Rn+1, 3/2(r + 1) n < 2(r + 1), com dois fins, ambos regulares, sÃo catenÃides (i.e. hipersuperfÃcies rotacionais). Isto estende resultados prÃvios apresentadospor Schoen [7] e Hounie-Leite [3]. / Let Mn be a r-minimal hypersurface in Rn+1, i.e., suppose M has curvature S r+1 identically zero. M is said regular if out of any compact M is the disjunct union of a finite number of ends, each regular, i.e., with the same assymptotic behavior that a rotational hypersurface. It is shown that embedded, elliptic rminimal hypersurfaces in Euclidean space Rn+1, 3/2 (r + 1) n < 2(r + 1), with two ends, both regular, are catenoids (i.e. rotational hypersurfaces). This extendsprevious results by Schoen [7] and Hounie-Leite [3].

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho, demonstramos teoremas estabelecendo condiÃÃes suficientes para a existÃncia de imersÃes isomÃtricas com curvatura extrÃnseca prescrita em grupos de Lie nilpotentes e solÃveis. Obtemos assim uma generalizaÃÃo do Teorema Fundamental da Teoria de Subvariedades em Rn e, em particular, obtemos resultados de imersÃo em todos os grupos tipo-Heisenberg e em todos os espaÃos de Damek-Ricci. / In this paper, we prove theorems establishing sufficient conditions to existence for isometric immersions with prescribed extrinsic curvature in two-step nilpotent Lie groups and solvmanifolds. We obtain a generalization of the Fundamental Theorem of Submanifold Theory in Rn and, in particular, we one has immersion results in the generally Heisenberg type groups and Damek-Ricci spaces.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / In this work we approach four research lines, where we began with the study of isometrically immersed hypersurfaces in a horoball. Next we studied Liouville type theorems in a complete Riemannian manifold for general operators. After we studied hypersurfaces f-minimal closed on a manifold with density, and nally we studied properly embedded minimal hypersurfaces with free boundary in a n-dimensional compact Riemannian manifold. Continuing, we obtain under a more general class operator than '-Laplacian, a Liouville type theorem for a complete Riemannian manifold, so that, prove a classication theorem for Killing graph of a foliation. Firstly, we are going to assume a weak maximum principle and that immersion is contained in a horoball, i.e., the set of bounded above Bussemann functions . We obtain an estimate for the highest quotient of r-curvatures. Moreover, under certain conditions on sectional curvature and assuming that the immersion is contained in a horoball, we forced the validity of the weak maximum principle and obtain the same estimates. Next, we establish a Choi-Wang type estimate for the rst eigenvalue of the weighter Laplacian on spaces with density in responding partially to Yau's conjecture for the rst eigenvalue weighter Laplacian for spaces with density, and moreover, we obtain an inequality Poincare type. With the estimates obtained, we establish an estimate of volume for a closed surface immersed in a space with density. Still following the study of spaces with density, we obtain a type Hientze-Karcher inequality for a compact manifold with nonempty boundary , so that, we obtain that if holds the equality than the manifold is isometric to a Euclidian ball. As consequence, we obtain under same conditions that if the f-mean curvature satisfy a bounded below than the manifold is isometric to a Euclidian ball. Finally, we obtain an estimate for the nonzero rst Steklov eigenvalue, where we are giving a answer partial to a conjecture by Fraser and Li. Moreover, as a consequence we establish an estimate for the total length of the boundary of the properly embedded minimal surfaces with free boundary in terms of its topology, thus, we proved the same when the surface is embedded in the Euclidean ball 3-dimensional. / Neste trabalho, abordamos quatro linhas de estudo, onde iniciamos com o estudo de hipersuperfcies isometricamente imersas sobre uma horobola. Em seguida estudamos Teoremas tipo Liouville para uma variedade Riemanniana completa em operadores mais gerais que o Laplaciano. Alem disso, estudamos hipersuperfcies f-mÃnimas fechadas em uma variedade com densidade e, por fim, estudamos hipersuperfÃcies mÃnimas com bordo livre, propriamente imersas em uma variedade Riemanniana compacta n-dimensional. Primeiramente, assumindo um princpio do maximo fraco e que a imersÃo està contida em uma horobola, i.e., um conjunto em que a funcÃo de Busemann à limitada superiormente, obtemos uma estimativa para o supremo do quociente das r-Ãsimas curvaturas. AlÃm disso, sob certas condiÃÃes sobre as curvaturas seccionais e assumindo que a imersÃo està contida em uma horobola, forÃamos a validade do princÃpio do mÃximo fraco e obtemos as mesmas estimativas. Prosseguindo, obtemos, para um operador mais geral que o '-Laplaciano, um teorema tipo-Liouville para uma variedade Riemanniana completa. Como aplicaÃÃo provamos um teorema de classificaÃÃo para grÃficos de Killing de uma folheaÃÃo. Em seguida, estabelecemos uma estimativa tipo Choi e Wang para o primeiro autovalor do f-Laplaciano em espaÃos com densidade, no sentido de responder parcialmente à conjectura de Yau para o primeiro autovalor do Laplaciano; alÃm disso, obtemos uma desigualdade tipo Poincarà para esse operador. Com a estimativa obtida, pudemos estabelecer uma estimativa de volume para uma superfÃcie fechada mergulhada em um espaÃo com densidade. Ainda seguindo o estudo de espaÃos com densidade, obtemos uma desigualdade tipo Heintze-Karcher para uma variedade compacta com bordo e verificamos que, se vale a igualdade, entÃo a variedade à isomÃtrica a uma bola Euclidiana. Como consequÃncia, obtemos que, nas mesmas condiÃÃes, e se a f-curvatura mÃdia satisfizer uma certa limitaÃÃo inferior, entÃo a variedade ainda à isometrica a uma bola Euclidiana. Finalmente, obtemos uma estimativa para o primeiro autovalor de Steklov, dando uma resposta parcial a uma conjectura devida a Fraser e Li. AlÃm disso, como consequÃncia, estabelecemos uma estimativa para o comprimento do bordo de uma superfÃcie mÃnima, compacta e propriamente megulhada com bordo livre em termos de sua topologia; assim, provamos o mesmo resultado quando a superfÃcie està mergulhada em uma bola Euclidiana 3-dimensional.