A epidemiologia matemática - que tem por objetivo a descrição, através do uso de pressupostos matemáticos, do processo de proliferação de doenças em uma determinada população - propõe a utilização de modelos matemáticos para o estudo de métodos de controle e prevenção de possíveis epidemias. Estes modelos têm como objetivo representar de maneira real a complexidade da interação entre os indivíduos susceptíveis e os indivíduos infectados dentro de uma comunidade. Dessa forma, percebe-se a necessidade de desenvolver uma modelagem baseada na dinâmica de populações. Na Física, a linha de pesquisa de Sistemas Complexos, acredita na existência de leis universais que regem sistemas biológicos, sociais e económicos. Assim, esta área de estudo busca a construção de uma teoria geral de sistemas fora de equilíbrio que evoluem continuamente com o tempo. Neste sentido, os modelos físicos podem ser utilizados e adaptados para modelar doenças infecciosas. Se analisado do ponto de vista matemático, a modelagem de epidemias, ou seja, da propagação de doenças infecciosas que se transmite de indivíduo para indivíduo, é muito semelhante à modelagem dos sistemas magnéticos estudados pela física estatística. Nesta perspectiva, o presente trabalho tem como objetivo principal investigar e modelar sistemas epidêmicos utilizando o formalismo estocástico da mecânica estatística. Para isto realizou-se uma analogia entre epidemiologia matemática e física estatística para estudar dois modelos matemáticos clássicos da epidemiologia, SI (Susceptível-Infectado) e SIS (Susceptível-Infectado-Susceptível) - através do modelo físico proposto por Ising e com uma dinâmica desenvolvida por Glauber. Em particular, os métodos matemáticos comumente usados pela física estatística para estudar o chamado modelo de Ising-Glauber para cristais magnéticos são utilizados para buscar soluções analíticas exatas, ou pelo menos assintóticas, para as versões estocásticas desses dois modelos epidemiológicos. Também se realizou uma simulação computacional do modelo de Ising-Glauber com campo magnético zero através do método de Monte Carlo para representar a propagação de uma infecção em uma população que assume uma estrutura quadrada, na qual cada ponto da rede é um indivíduo, os spins down representam os indivíduos susceptíveis e os spins up representam os indivíduos infectados. Portanto, estes resultados mostram que as soluções analíticas exatas em uma dimensão da magnetização e aproximações de campo médio, trazem uma boa noção para as versões estocásticas e determinísticas dos modelos epidemiológicos SI e SIS com interações entre indivíduos. Apresentam também, que os resultados da simulação computacional de uma população com indivíduos susceptíveis e com indivíduos infectados mostraram que a doença é capaz de se propagar quando é atingida uma determinada temperatura critica. Por fim, observa-se que o modelo de Ising possibilita várias formas de rearranjos de seus termos, de maneira que permitem criar análogos aos modelos epidemiológicos encontrados na literatura / Mathematical epidemiology - which aims to describe through the use of mathematical assumptions the process of disease proliferation in a given population - proposes the use of mathematical models for the study of methods of control and prevention of possible epidemics. These models aim to represent in a real way the complexity of the interaction between susceptible individuals and infected individuals within a community. In this sense, it is noticeable the need to develop a model based on population dynamics. In physics, the research line of Complex Systems believes in the existence of univocal laws governing biological, sociological and economical systems. Thus, this area of study seeks to construct a general theory of out-of-equilibrium systems that evolve continuously over time. In this way, physical models can be used and adapted to model infectious diseases. If analyzed from the mathematical point of view, the modeling of epidemics, that is, the spread of infectious diseases transmitted from individual to individual, is very similar to the modeling of the magnetic systems studied by statistical physics. In this perspective, the main objective of this work is to investigate and model epidemic systems using the stochastic formalism of statistical mechanics. For this, an analogy was made between mathematical and statistical physics to study two classical mathematical models of epidemiology - SI (Susceptible-Infected) and SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) - through the physical model proposed by Ising and with a developed dynamics by Glauber. In particular, the mathematical methods commonly used by statistical physics to study the so-called Ising-Glauber model for magnetic crystals are used to find exact or at least asymptotic analytical solutions for the stochastic versions of these two epidemiological models. We also performed a computational simulation of the Ising-Glauber model with zero magnetic field through the Monte Carlo method to represent the propagation of an infection in a population assuming a square structure; in which each point of the network is an individual, the spins down represent the susceptible individuals and the spins up represent the infected individuals. Therefore, the results show that the exact analytical solutions in a magnetization dimension and mean field approximations, give a good idea to the stochastic and deterministic versions of the epidemiological models SI and SIS with interactions between individuals. They also show that the results of the computational simulation of a population with susceptible individuals and with infected individuals showed that the disease is able to propagate when a certain critical temperature is reached. Finally, it is observed that the Ising model allows several forms of rearrangement of its terms, in a way that allows to create analogues to the epidemiological models found in the literature
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-27022019-155909 |
| Date | 10 December 2018 |
| Creators | Lara, Cristina Gabriela Aguilar |
| Contributors | Massad, Eduardo |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | Dissertação de Mestrado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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