<p>In this thesis, we give two constructions for Riemannian metrics on
Seiberg-Witten moduli spaces. Both these constructions are
naturally induced from the L2-metric on the configuration space.
The construction of the so called quotient L2-metric is very similar
to the one construction of an L2-metric on Yang-Mills moduli spaces as
given by Groisser and Parker. To construct a Riemannian metric on
the total space of the Seiberg-Witten bundle in a similar way, we define the reduced gauge group as a subgroup of the gauge group. We show, that the quotient of the premoduli space by the reduced gauge group is
isomorphic as a U(1)-bundle to the quotient of the premoduli space by the based gauge group. The total space of this new representation of the Seiberg-Witten bundle carries a natural quotient L2-metric, and the bundle projection is a
Riemannian submersion with respect to these metrics. We compute explicit formulae for the sectional curvature of the moduli space in terms of Green operators of the elliptic complex associated with a monopole. Further, we construct a Riemannian metric on the cobordism between moduli spaces for
different perturbations. The second construction of a Riemannian metric on
the moduli space uses a canonical global gauge fixing, which represents the total space of the Seiberg-Witten bundle as a finite dimensional submanifold of the configuration space.</p>
<p>We consider the Seiberg-Witten moduli space on a simply
connected Käuhler surface. We show that the moduli space
(when nonempty) is a complex projective space, if the perturbation
does not admit reducible monpoles, and that the moduli space consists of a single point otherwise. The Seiberg-Witten bundle can then be identified with the Hopf fibration.
On the complex projective plane with a special Spin-C structure, our Riemannian metrics on the
moduli space are Fubini-Study metrics. Correspondingly, the metrics on
the total space of the Seiberg-Witten bundle are Berger
metrics. We show that the diameter of the moduli space shrinks to 0 when the perturbation approaches the wall of reducible perturbations.
Finally we show, that the quotient L2-metric on the Seiberg-Witten moduli space
on a Kähler surface is a Kähler metric.</p> / <p>In dieser Dissertationsschrift geben wir zwei Konstruktionen Riemannscher Metriken auf Seiberg-Witten-Modulräumen an. Beide Metriken werden in natürlicher Weise durch die L2-Metrik des Konfiguartionsraumes induziert. Die Konstruktion der sogenannten Quotienten-L2-Metrik entspricht der durch Groisser und Parker angegebenen Konstruktion einer L2-Metrik auf Yang-Mills-Modulräumen. Zur Konstruktion einer Quotienten-Metrik auf dem Totalraum des Seiberg-Witten-Bündels führen wir die sogenannte reduzierte Eichgruppe ein. Wir zeigen, dass der Quotient des Prämodulraumes nach der reduzierten Eichgruppe als U(1)-Bündel isomorph ist zu dem Quotienten nach der basierten Eichgruppe. Dadurch trägt der Totalraum des Seiberg-Witten Bündels eine natürliche Quotienten-L2-Metrik, bzgl. derer die Bündelprojektion eine Riemannsche Submersion ist. Wir berechnen explizite Formeln für die Schnittrümmung des Modulraumes in Ausdrücken der Green-Operatoren des zu einem Monopol gehörigen elliptischen Komplexes. Ferner konstruieren wir eine Riemannsche Metrik auf dem Kobordismus zwischen Modulräumen zu verschiedenen Störungen. Die zweite Konstruktion einer Riemannschen Metrik auf Seiberg-Witten-Modulräumen benutzt eine kanonische globale Eichfixierung, vermöge derer der Totalraum des Seiberg-Witten-Bündels als endlich-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Konfigurationsraumes dargestellt werden kann.</p>
<p>Wir betrachten speziell die Seiberg-Witten-Modulräume auf einfach zusammenhängenden Kähler-Mannigfaltigkeiten. Wir zeigen, dass der
Seiberg-Witten-Modulraum (falls nicht-leer) im irreduziblen Fall ein komplex projektiver Raum its und im reduziblen Fall aus einem einzelnen Punkt besteht.
Das Seiberg-Witten-Bündel läßt sich mit der Hopf-Faserung identifizieren. Die L2-Metrik des Modulraumes auf der komplex projektiven Fläche CP2 (mit einer speziellen Spin-C-Struktur) ist die Fubini-Study-Metrik; entsprechend sind die Metriken auf dem Totalraum Berger-Metriken. Wir zeigen, dass der Durchmesser des Modulraumes gegen 0 konvergiert, wenn die Störung sich dem reduziblen Fall nähert. Schließlich zeigen wir, dass die Quotienten-L2-Metrik auf dem Seiberg-Witten-Modulraum einer Kählerfläche eine Kähler-Metrik ist.</p>
| Identifer | oai:union.ndltd.org:Potsdam/oai:kobv.de-opus-ubp:542 |
| Date | January 2005 |
| Creators | Becker, Christian |
| Publisher | Universität Potsdam, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät. Institut für Mathematik |
| Source Sets | Potsdam University |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | Text.Thesis.Doctoral |
| Format | application/pdf |
| Rights | http://opus.kobv.de/ubp/doku/urheberrecht.php |
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