Dans ce mémoire, nous détaillons différents travaux que j'ai efféctués ces dernières années sur des problèmes d'analyse harmonique réelle et plus particulièrement d'analyse de Fourier en lien avec l'analyse des EDPs. Le coeur de l'analyse de Fourier réside dans la procédure suivante : afin d'étudier un objet mathématique (une fonction, un opérateur, un espace fonctionnel, ...), on le décompose en objets élémentaires, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Le but et la difficulté de l'analyse est alors d'utiliser des informations sur ces objets élémentaires et de les sommer (le plus finement possible) afin d'obtenir l'information désirée sur l'objet initial. Le qualificatif "de Fourier" fait ici référence au fait que l'opération de décomposition sera toujours associée à une décomposition temps-fréquence. Nous allons nous consacrer à deux cadres différents (mais pas complètement indépendants) d'application de cette "technique" : 1) L'analyse de Fourier Euclidienne bilinéaire : plus précisément, l'étude des continuités dans les espaces de Lebesgue d'opérateurs bilinéaires, définis en fréquence par la transformée de Fourier (principalement les multiplicateurs de Fourier bilinéaires). Ici, le caractère "Euclidien" renvoie à l'utilisation de la transformée de Fourier. Nous décrirons aussi une application pour l'analyse d'EDPs présentant une non-linéarité quadratique ainsi que l'obtention d'estimations bilinéaires de dispersion. 2) L'analyse de Fourier non Euclidienne fonctionnelle : le but sera de définir un cadre où la notion de "fréquence" n'est plus donnée par la transformée de Fourier mais nous travaillerons sur la notion plus générale "d'oscillations". Ceci permet de nous extraire du cadre Euclidien et de travailler dans un espace de type homogène, ou une variété Riemanienne. Nous essaierons alors d'étudier certaines propriétés d'espaces fonctionnels ainsi que certains opérateurs, définis par l'intermédiaire de ces oscillations. L'utilisation de le notion d'oscillations permet de travailler sur un espace ambiant plus général et permet aussi d'adapter l'analyse à un opérateur générant un semi-groupe. Ces deux cadres présentent un aspect commun : une "analyse temps-fréquence". Cette analyse est une situation particulière de l'analyse de Fourier où nous avons besoin de décomposer notre objet mathématique, non pas dans l'espace physique ou dans l'espace fréquentiel, mais simultanément dans les deux espaces, tout en respectant le principe d'incertitude d'Heisenberg. Dans le cadre de l'analyse de Fourier Euclidienne, la transformée de Fourier permet de donner une notion très pratique de "fréquence" et de décomposition fréquentielle. Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, la notion de "fréquence" sera donnée par des opérateurs, appelés "opérateurs d'oscillation". Nous verrons comment on peut alors transposer certaines techniques Euclidiennes à ce cadre et de ce fait étendre "l'analyse temps-fréquence" à des espaces non-Euclidiens très généraux (tels que ensembles fractals, variétés Riemaniennes, ...).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00846803 |
| Date | 11 July 2013 |
| Creators | Bernicot, Frederic |
| Publisher | Université de Nantes |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | habilitation ࠤiriger des recherches |
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