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Contribution à l'Analyse de Fourier

Bernicot, Frederic 11 July 2013 (has links) (PDF)
Dans ce mémoire, nous détaillons différents travaux que j'ai efféctués ces dernières années sur des problèmes d'analyse harmonique réelle et plus particulièrement d'analyse de Fourier en lien avec l'analyse des EDPs. Le coeur de l'analyse de Fourier réside dans la procédure suivante : afin d'étudier un objet mathématique (une fonction, un opérateur, un espace fonctionnel, ...), on le décompose en objets élémentaires, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Le but et la difficulté de l'analyse est alors d'utiliser des informations sur ces objets élémentaires et de les sommer (le plus finement possible) afin d'obtenir l'information désirée sur l'objet initial. Le qualificatif "de Fourier" fait ici référence au fait que l'opération de décomposition sera toujours associée à une décomposition temps-fréquence. Nous allons nous consacrer à deux cadres différents (mais pas complètement indépendants) d'application de cette "technique" : 1) L'analyse de Fourier Euclidienne bilinéaire : plus précisément, l'étude des continuités dans les espaces de Lebesgue d'opérateurs bilinéaires, définis en fréquence par la transformée de Fourier (principalement les multiplicateurs de Fourier bilinéaires). Ici, le caractère "Euclidien" renvoie à l'utilisation de la transformée de Fourier. Nous décrirons aussi une application pour l'analyse d'EDPs présentant une non-linéarité quadratique ainsi que l'obtention d'estimations bilinéaires de dispersion. 2) L'analyse de Fourier non Euclidienne fonctionnelle : le but sera de définir un cadre où la notion de "fréquence" n'est plus donnée par la transformée de Fourier mais nous travaillerons sur la notion plus générale "d'oscillations". Ceci permet de nous extraire du cadre Euclidien et de travailler dans un espace de type homogène, ou une variété Riemanienne. Nous essaierons alors d'étudier certaines propriétés d'espaces fonctionnels ainsi que certains opérateurs, définis par l'intermédiaire de ces oscillations. L'utilisation de le notion d'oscillations permet de travailler sur un espace ambiant plus général et permet aussi d'adapter l'analyse à un opérateur générant un semi-groupe. Ces deux cadres présentent un aspect commun : une "analyse temps-fréquence". Cette analyse est une situation particulière de l'analyse de Fourier où nous avons besoin de décomposer notre objet mathématique, non pas dans l'espace physique ou dans l'espace fréquentiel, mais simultanément dans les deux espaces, tout en respectant le principe d'incertitude d'Heisenberg. Dans le cadre de l'analyse de Fourier Euclidienne, la transformée de Fourier permet de donner une notion très pratique de "fréquence" et de décomposition fréquentielle. Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, la notion de "fréquence" sera donnée par des opérateurs, appelés "opérateurs d'oscillation". Nous verrons comment on peut alors transposer certaines techniques Euclidiennes à ce cadre et de ce fait étendre "l'analyse temps-fréquence" à des espaces non-Euclidiens très généraux (tels que ensembles fractals, variétés Riemaniennes, ...).
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Étude comparative de schémas numériques pour la modélisation de phénomènes diffusifs sur maillages multiéléments

Auffray, Valérie Poinsot, Thierry January 2007 (has links)
Reproduction de : Thèse de doctorat : Dynamique des fluides : Toulouse, INPT : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 114 réf.
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Stratégie de calcul et utilisation de séries de Fourier pour les tubes composites dégradés

Baranger, Emmanuel 17 November 2005 (has links) (PDF)
Lors de la fabrication de tubes composites (carbone/epoxy), des défauts apparaissent (délaminage, fissuration). Le problème est alors de décider si un tube est apte au service. Ce travail consiste à mettre en place un outil numérique dédié permettant l'utilisation d'un méso-modèle d'endommagement à l'échelle du pli.
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Poids de Beurling et algèbre de Fourier du groupe affine d'un corps local

Nasserddine, Wassim Gebuhrer, Marc-Olivier. January 2007 (has links) (PDF)
Thèse doctorat : Mathématiques : Strasbourg 1 : 2005. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 3 p.
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Analyse fréquencielle du transport de la lumière : de la théorie aux applications / Frequency Analysis of Light Transport : from Theory to Implementation

Belcour, Laurent 30 October 2012 (has links)
Cette thèse présente une extension de l'analyse fréquentielle des light-fields locaux de Durand et al. [2005]. Nous proposons l'étude de phénomènes de transport radiatif tels que la réfraction par des surfaces non-spéculaires, les effets de flou de bougé et la diffusion de la lumière dans les volumes tels que les nuages. Nous proposons de plus une extension de l'état de l'art en analyse fréquentielle avec l'ajout de l'étude de l'occlusion non-planaire, des SVBRDFs anisotropes ainsi que les systèmes de lentilles. Dans ce cadre, nous présentons l'analyse de la matrice covariance de l'amplitude du spectre, un outil compact d'analyse et compatible avec les méthodes statistiques d'intégrations. Nous montrons l'utilité de cet outil avec différentes applications: le sampling adaptatif avec reconstruction des effets de flou de profondeur et de bougé, l'estimation de noyaux de reconstructions pour l'algorithme de photon mapping et le sampling adaptatif des effets volumiques. / This thesis presents an improvement over the frequency analysis of local light-fields introduced by Durand et al. in 2005. We add into this analysis of light transport operations such as rough refractions, motion effects and scattering in participating media. We further improve the analysis by updating previously proposed operations to handle non-planar occlusions of light, spatially-varying anisotropic BRDFs and multiple lenses. We present the covariance analysis of light transport, a method to estimate the covariance matrix of a local light-field from the set of operations it undergoes. We show the use of such tool with various applications ranging from motion blur and depth-of-field adaptive sampling and filtering, photon mapping kernel size estimation and adaptive sampling of volumetric effects.
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Études théorique et numérique de divers écoulements en couche mince

Dieme, Michel January 2012 (has links)
Les écoulements en milieu peu profond sont en général modélisés par les équations de Navier-Stokes incompressibles dans un domaine dont une des frontières, en l'occurrence la surface du fluide, est elle même une inconnue du problème. On peut penser notamment aux rivières et fleuves, ainsi qu'aux écoulements côtiers et aux atmosphères planétaires. En réalité tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres. Il est naturel, malgré la complexité des modèles établis notamment par leur forte non linéarité de s'intéresser à leur forme en tenant compte de la variabilité de la densité. Le travail présenté dans cette thèse s'articule autour de deux parties indépendantes. La première concerne une étude théorique d'un modèle unidimensionnel d'écoulement compressible, comprenant sa dérivation à partir des équations de Navier-Stokes, suivie de la démonstration d'un résultat d'existence de solutions faibles globales pour ce système. La seconde partie est consacrée à une analyse de Fourier de la discrétisation spatio-temporelle d'un modèle bidimensionnel d'écoulement à faible profondeur. Cette analyse met en oeuvre trois types de discrétisation en espace (P0 - P1 P1NC - P1 et RT0 — P0) combinés chacun à cinq types de discrétisation en temps qui sont : Euler Implicite (El), Euler Explicite (EE), Crank-Nicolson (CN), Adams-Bashforth d'ordre 2 (AB2) et 3 (AB3).
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Recherche de signatures spectrales d’objets astronomiques variant ultra rapidement dans les relevés spectroscopiques

Trottier, Eric January 2013 (has links)
Le domaine temporel est celui le moins exploré en astronomie [4]. À ce jour, les objets astronomiques connus variant avec les périodes les plus courtes sont les pulsars qui varient avec des périodes de quelques millisecondes. C'est pourquoi, une technique basée sur la théorie de Fourier est proposée pour détecter des objets qui varient avec des périodes extrêmement courtes (10* s et moins). Remarquez qu'il existe des indications que ces objets pourraient exister [10]. La distribution spectrale d'une source lumineuse variant avec une période très brève est donnée par la transformée de Fourier de la variation temporelle. Il en résulte que la distribution spectrale est modulée par une variation périodique fréquentielle. Durant la dernière décennie, des relevés {surveys) spectroscopiques ont été faits par le SDSS. La banque de données spectrales du SDSS-IIDR7 contient environ 2.5 millions de spectres, dont 700 000 étoiles, 1.4 million de galaxies et 200 000 quasars (et près de 100 000 spectres du ciel), lesquels sont accessibles au public. Pour analyser ces spectres, des techniques utilisant les transformées de Fourier et un logiciel de détection {Matlab) ont été développés. Comme le logiciel peut faire des fausses identifications, l'inspection visuelle des spectres extraits est requise. Les résultats obtenus (voir chapitre 4) montrent que pour certaines étoiles ordinaires, des modulations spectrales statistiquement significatives ont été découvertes. Pour les étoiles et les galaxies, les distributions statistiques obtenues sont compatibles avec celle de Rayleigh, mais pour les 23 quasars sortis les statistiques de petits nombres semblent biaiser cette compatibilité. Finalement, bien que la justification originale pour cette recherche consiste à découvrir des pulsateurs ultra-rapides, il n'en demeure pas moins qu'on peut également découvri
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Modular pricing of options : an application of Fourier analysis /

Zhu, Jianwei. January 2000 (has links)
Univ., Diss.--Tübingen, 1998. / A rev. version of the author's dissertation (doctoral--Tübingen). Includes bibliographical references. Literaturverz. S. [163] - 170.
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Analyse spatiale et spectrale des motifs d'échantillonnage pour l'intégration Monte Carlo / Spatial and spectral analysis of sampling patterns for Monte Carlo integration

Pilleboue, Adrien 19 November 2015 (has links)
L’échantillonnage est une étape clé dans le rendu graphique. Il permet d’intégrer la lumière arrivant en un point de la scène pour en calculer sa couleur. Généralement, la méthode utilisée est l’intégration Monte Carlo qui approxime cette intégrale en choisissant un nombre fini d’échantillons. La réduction du biais et de la variance de l’intégration Monte Carlo est devenue une des grandes problématiques en rendu réaliste. Les techniques trouvées consistent à placer les points d’échantillonnage avec intelligence de façon à rendre la distribution la plus uniforme possible tout en évitant les régularités. Les années 80 ont été de ce point de vue un tournant dans ce domaine, avec l’apparition de nouvelles méthodes stochastiques. Ces méthodes ont, grâce à une meilleure compréhension des liens entre intégration Monte Carlo et échantillonnage, permis de réduire le bruit et la variance des images générées, et donc d’améliorer leur qualité. En parallèle, la complexité des méthodes d’échantillonnage s’est considérablement améliorée, permettant d’obtenir des méthodes à la fois rapides et efficaces en termes de qualité. Cependant, ces avancées ont jusqu’à là été faites par tâtonnement et se sont axées sur deux points majeurs : l’amélioration de l’uniformité du motif d’échantillonnage et la suppression des régularités. Bien que des théories permettant de borner l’erreur d’intégration existent, elles sont souvent limitées, voire inapplicables dans le domaine de l’informatique graphique. Cette thèse propose de rassembler les outils d’analyse des motifs d’échantillonnages et de les mettre en relation. Ces outils peuvent caractériser des propriétés spatiales, comme la distribution des distances entre points, ou bien spectrales à l’aide de la transformée de Fourier. Nous avons ensuite utilisé ces outils afin de donner une expression simple de la variance et du biais dans l’intégration Monte Carlo, en utilisant des prérequis compatibles avec le rendu d’image. Finalement, nous présentons une boite à outils théorique permettant de déterminer la vitesse de convergence d’une méthode d’échantillonnage à partir de son profil spectral. Cette boite à outils est notamment utilisée afin de classifier les méthodes d’échantillonnage existantes, mais aussi pour donner des indications sur les principes fondamentaux nécessaires à la conception de nouveaux algorithmes d’échantillonnage / Sampling is a key step in rendering pipeline. It allows the integration of light arriving to a point of the scene in order to calculate its color. Monte Carlo integration is generally the most used method to approximate that integral by choosing a finite number of samples. Reducing the bias and the variance of Monte Carlo integration has become one of the most important issues in realistic rendering. The solutions found are based on smartly positioning the samples points in a way that maximizes the uniformity of the distribution while avoiding the regularities. From this point of view, the 80s were a turning point in this domain, as new stochastic methods appeared. With a better comprehension of links between Monte Carlo integration and sampling, these methods allow the reduction of noise and of variance in rendered images. In parallel, the complexity of sampling methods has considerably enhanced, enabling to have fast as well as good quality methods. However, these improvements have been done by trial and error focusing on two major points : the improvement of sampling pattern uniformity, and the suppression of regularities. Even though there exists some theories allowing to bound the error of the integration, they are usually limited, and even inapplicable in computer graphics. This thesis proposes to gather the analysis tools of sampling patterns and to connect them together. These tools can characterize spatial properties such as the distribution of distances between points, as well as spectral properties via Fourier transformation. Secondly, we have used these tools in order to give a simple expression of the bias and the variance for Monte Carlo integration ; this is done by using prerequisites compatible with image rendering. Finally, we present a theoretical toolbox allowing to determine the convergence speed of a sampling method from its spectral profile. This toolbox is used specifically to give indications about the design principles necessary for new sampling algorithms
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A perturbed two-level preconditioner for the solution of three-dimensional heterogeneous Helmholtz problems with applications to geophysics / Un preconditionnement perturbé à deux niveaux pour la résolution de problèmes d'Helmholtz hétérogènes dans le cadre d'une application en géophysique

Pinel, Xavier 18 May 2010 (has links)
Le sujet de cette thèse est le développement de méthodes itératives permettant la résolution degrands systèmes linéaires creux d'équations présentant plusieurs seconds membres simultanément. Ces méthodes seront en particulier utilisées dans le cadre d'une application géophysique : la migration sismique visant à simuler la propagation d'ondes sous la surface de la terre. Le problème prend la forme d'une équation d'Helmholtz dans le domaine fréquentiel en trois dimensions, discrétisée par des différences finies et donnant lieu à un système linéaire creux, complexe, non-symétrique, non-hermitien. De plus, lorsque de grands nombres d'onde sont considérés, cette matrice possède une taille élevée et est indéfinie. Du fait de ces propriétés, nous nous proposons d'étudier des méthodes de Krylov préconditionnées par des techniques hiérarchiques deux niveaux. Un tel pre-conditionnement s'est montré particulièrement efficace en deux dimensions et le but de cette thèse est de relever le défi de l'adapter au cas tridimensionel. Pour ce faire, des méthodes de Krylov sont utilisées à la fois comme lisseur et comme méthode de résolution du problème grossier. Ces derniers choix induisent l'emploi de méthodes de Krylov dites flexibles. / The topic of this PhD thesis is the development of iterative methods for the solution of large sparse linear systems of equations with possibly multiple right-hand sides given at once. These methods will be used for a specific application in geophysics - seismic migration - related to the simulation of wave propagation in the subsurface of the Earth. Here the three-dimensional Helmholtz equation written in the frequency domain is considered. The finite difference discretization of the Helmholtz equation with the Perfect Matched Layer formulation produces, when high frequencies are considered, a complex linear system which is large, non-symmetric, non-Hermitian, indefinite and sparse. Thus we propose to study preconditioned flexible Krylov subspace methods, especially minimum residual norm methods, to solve this class of problems. As a preconditioner we consider multi-level techniques and especially focus on a two-level method. This twolevel preconditioner has shown efficient for two-dimensional applications and the purpose of this thesis is to extend this to the challenging three-dimensional case. This leads us to propose and analyze a perturbed two-level preconditioner for a flexible Krylov subspace method, where Krylov methods are used both as smoother and as approximate coarse grid solver.

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