When calculating the dynamics of a quantum system, including the effect of its environment is highly relevant since virtually any real quantum system is exposed to environmental influences. It has turned out that the widely used perturbative approaches to treat such so-called open quantum systems have severe limitations. Furthermore, due to current experiments which have implemented strong system-environment interactions the non-perturbative regime is far from being academical. Therefore determining the exact dynamics of an open quantum system is of fundamental relevance. The hierarchy of pure states (HOPS) formalism poses such an exact approach.
Its novel and detailed derivation, as well as several numerical aspects constitute the main methodical part of this work. Motivated by fundamental issues but also due to practical relevance for real world devices exploiting quantum effects, the entanglement dynamics of two qubits in contact with a common environment is investigated extensively. The HOPS formalism is based on the exact stochastic description of open quantum system dynamics in terms of the non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) theory. The distinguishing and numerically beneficial features of the HOPS approach are the stochastic nature, the implicit treatment of the environmental dynamics and, related to this, the enhanced statistical convergence (importance sampling), as well as the fact that only pure states have to be propagated. In order to claim that the HOPS approach is exact, we develop schemes to ensure that the numerical errors can be made arbitrarily small. This includes the sampling of Gaussian stochastic processes, the multi-exponential representation of the bath correlation function and the truncation of the hierarchy. Moreover, we incorporated thermal effects on the reduced dynamics by a stochastic Hermitian contribution to the system Hamiltonian.
In particular, for strong system-environment couplings this is very beneficial for the HOPS. To confirm the accuracy assertion we utilize the seemingly simple, however, non-trivial spin-boson model to show agreement between the HOPS and other methods. The comparison shows the HOPS method’s versatile applicability over a broad range of model parameters including weak and strong coupling to the environment, as well as zero and high temperatures.
With the gained knowledge that the HOPS method is versatile and accurately applicable, we investigate the specific case of two qubits while focusing on their entanglement dynamics. It is well known that entanglement, the relevant property when exploiting quantum effects in fields like quantum computation, communication and metrology, is fragile when exposed to environmental noise. On the other hand, a common environment can also mediate an effective interaction between the two parties featuring entanglement generation. In this work we elucidate the interplay between these competing effects, focusing on several different aspects. For the perturbative (weak coupling) regime we enlighten the difficulties inherent to the frequently used rotating wave approximation (RWA), an approximation often applied to ensure positivity of the reduced state for all times. We show that these difficulties are best overcome when simply omitting the RWA. The seemingly unphysical dynamics can still be used to approximate the exact entanglement dynamics very well. Furthermore, the influence of the renormalizing counter term is investigated.
It is expected that under certain conditions (adiabatic regime) the generation of entanglement is suppressed by the presence of the counter term. It is shown, however, that for a deep sub-Ohmic environment this expectation fails.
Leaving the weak coupling regime, we show that the generation of entanglement due to the influence of the common environment is a general property of the open two-spin system. Even for non-zero temperatures it is demonstrated that entanglement can still be generated and may last for arbitrary long times. Finally, we determine the maximum of the steady state entanglement as a function of the coupling strength and show how the known delocalization-to-localization phase transition is reflected in the long time entanglement dynamics. All these results require an exact treatment of the open quantum system dynamics and, thus, contribute to the fundamental understanding of the entanglement dynamics of open quantum systems. / Bei der Bestimmung der Dynamik eines Quantensystems ist die Berücksichtigung seiner Umgebung von großem Interessen, da faktisch jedes reale Quantensystem von seiner Umgebung beeinflusst wird. Es zeigt sich, dass die viel verwendeten störungstheoretischen Ansätze starken Einschränkungen unterliegen. Außerdem, da es in aktuellen Experimenten gelungen ist starke Wechselwirkung zwischen dem System und seiner Umgebung zu realisieren, gewinnt das nicht-störungstheoretischen Regime stets an Relevanz. Dementsprechend ist die Berechnung der exakten Dynamik offener Quantensysteme von grundlegender Bedeutung. Einen solchen exakten nummerischen Zugang stellt der hierarchy of pure states (HOPS) Formalismus dar. Dessen neuartige und detaillierte Herleitung, sowie diverse nummerische Aspekte werden im methodischen Teil dieser Arbeit dargelegt. In vielerlei Hinsicht relevant folgt als Anwendung eine umfangreiche Untersuchung der Verschränkungsdynamik zweier Qubits unter dem Einfluss einer gemeinsamen Umgebung. Vor allem im Hinblick auf die experimentell realisierbare starke Kopplung mit der Umgebung ist dieses Analyse von Interesse. Der HOPS Formalismus basiert auf der stochastischen Beschreibung der Dynamik offener Quantensysteme im Rahmen der non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) Theorie. Der stochastische Charakter der Methode, die implizite Berücksichtigung der Umgebungsdynamik, sowie das damit verbundene Importance Sampling, als auch die Tatsache dass lediglich reine Zustände propagiert werden müssen unterscheidet diese Methode maßgeblich von anderen Ansätzen und birgt numerische Vorteile. Um zu behaupten, dass die HOPS Methode exakte Ergebnisse liefert, müssen auftretenden nummerischen Fehler beliebig klein gemacht werden können.
Ein grundlegender Teil der hier vorgestellten methodischen Arbeit liegt in der Entwicklung diverser Schemata, die genau das erreichen. Dazu zählen die numerische Realisierung von Gauss’schen stochastischen Prozessen, die Darstellung der Badkorrelationsfunktion als Summe von Exponentialfunktionen sowie das Abschneiden der Hierarchie. Außerdem wird gezeigt, dass sich der temperaturabhängige Einfluss der Umgebung durch einen stochastischen Hermiteschen Beitrag zum System-Hamiltonoperator berücksichtigen lässt. Vor allem bei starker Kopplung ist diese Variante besonders geeignet für den HOPS Zugang. Um die Genauigkeitsbehauptung der HOPS Methode zu überprüfen wird die Übereinstimmung mit anderen Methode gezeigt, wobei das vermeintlich einfachste, jedoch nicht triviale spin-boson-Modell als Testsystem verwendet wird. Diese Untersuchung belegt, dass die HOPS Methode für eine Vielzahl an Szenarien geeignet ist. Das beinhaltet schwache und starke Kopplung an die Umgebung, sowie Temperatur null als auch hohe Temperaturen.
Mit dem gewonnenen Wissen, dass die HOPS Methode vielseitig einsetzbar ist und genaue Ergebnisse liefert wird anschließend der spezielle Fall zweier Qubits untersucht. Im Hinblick auf die Ausnutzung von Quanteneffekten in Bereichen wie Rechentechnik, Kommunikation oder Messtechnik liegt der primäre Fokus auf der Dynamik der Verschränkung zwischen den Qubits. Es ist bekannt, dass durch von außen induziertes Rauschen die Verschränkung im Laufe der Zeit abnimmt. Andererseits weiß man auch, dass eine gemeinsame Umgebung zu einer effektiven Wechselwirkung zwischen den Qubits führt, welche Verschränkung aufbauen kann. In dieser Arbeit wird das Wechselspiel zwischen diesen beiden gegensätzlichen Effekten untersucht, wobei die folgenden Aspekte beleuchtet werden. Für den Fall schwacher Kopplung, wo eine störungstheoretische Behandlung in Frage kommt, werden die Probleme der rotating wave approximation (RWA) analysiert. Diese Näherung wird häufig verwendet um die Positivität des reduzierten Zustands zu allen Zeiten zu gewährleisten. Es wird gezeigt, dass sich diese Probleme am besten vermeiden lassen, wenn die RWA einfach weggelassen wird. Die auf den ersten Blick nicht-physikalische Dynamik ist sehr gut geeignet um die exakte Verschränkungsdynamik näherungsweise wiederzugeben. Des Weiteren wird der Einfluss der Renormalisierung des sogenannten counter terms untersucht. Unter bestimmten Voraussetzungen (adiabatisches Regime) ist zu erwarten, dass der Verschränkungsaufbau durch den counter term verhindert wird. Es zeigt sich, dass für eine sehr sub-Ohm’sche Umgebung (deep sub-Ohmic regime) diese Erwartung nicht zutrifft. Weiterhin wird der Fall starker Kopplung zwischen dem zwei-Qubit-System und der Umgebung betrachtet. Die Berechnungen zeigen das generelle Bild, dass sich zwei nicht wechselwirkende Qubits durch den Einfluss einer gemeinsamen Umgebung verschränken. Selbst bei Temperaturen größer als null kann Verschränkung aufgebaut werden und auch für beliebig lange Zeiten erhalten bleiben. In einem letzten Punkt wird das Maximum der stationären Verschränkung (Langzeit-Limes) in Abhängigkeit von der Kopplungsstärke bestimmt. Dabei wird gezeigt, dass sich der bekannte Phasenübergang von Delokalisierzung zu Lokalisierung auch in der Langzeitdynamik der Verschränkung widerspiegelt. All diese Erkenntnisse erfordern eine exakte Behandlung der offenen Systemdynamik und erweitern somit das fundamentalen Verständnis der Verschränkungsdynamik offener Quantensysteme.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:78557 |
| Date | 22 March 2022 |
| Creators | Hartmann, Richard |
| Contributors | Strunz, Walter, Thorwart, Michael, Technische Universität Dresden |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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