[pt] Neste trabalho é formulado e analisado o equilíbrio
estático e a dinâmica de uma viga elástica tridimensional.
A teoria tridimensional empregada, que pode ser chamada de
teoria de Cosserat para vigas, é exata geometricamente, ou
seja, não está baseada em aproximações geométricas ou
suposições mecânicas. Para a deformação da viga, assume-se
a hipótese de Bernoulli e por simplicidade consideram-se
relações constitutivas lineares para o material. A
configuração deformada da viga é descrita através do vetor
de deslocamento da curva de centróides, e uma base móvel,
rigidamente unido à secção transversal da viga. A
orientação da base móvel, relativo a um sistema inercial,
é parametrizada usando três rotações elementares
consecutivas. Na teoria de Cosserat para vigas, as
equações do movimento são equações diferenciais parciais
não-lineares em função do tempo e uma variável espacial.
No entanto, para o equilíbrio estático, as equações tornam-
se equações diferenciais ordinárias não-lineares com uma
variável espacial que são resolvidas usando o método de
perturbação. Da solução do equilíbrio estático, obtêm-se
as funções de deslocamento da viga, em função dos
deslocamentos e rotações nodais, as quais são usadas para
a análise dinâmica. Para obter a dinâmica da viga usa-se a
equação de Lagrange, que é formada pelas expressões da
energia cinética e da energia potencial de deformação.
Além disso, usa-se o método de Newmark para resolver as
equações do movimento. Como aplicação, estuda-se numérica
e experimentalmente, a dinâmica de uma viga rotativa curva
contida numa cavidade uniforme. Quando se usa a teoria de
Cosserat para vigas, que leva em conta as não linearidades
geométricas, a alta precisão da resposta dinâmica é obtida
dividindo o sistema em poucos elementos, as quais são bem
menores que o tradicional MEF, essa é a principal vantagem
da teoria desenvolvida. / [en] In this work, it is formulated and analyzed the static
equilibrium
and the dynamics for three dimensional deformation of
elastic rods. The
intrinsically one-dimensional theory that is employed,
which may be called
the special Cosserat theory of rods, is geometrically
exact, namely, it is
not based upon geometrical approximations or mechanical
assumptions.
For the rod deformation, it is adopted the Bernoulli
hypotheses and for
simplicity, the linear constitutive relations are
employed. The deformed
configuration of the rod is described by the displacement
vector of the
deformed centroid curve and an orthonormal moving frame,
rigidly attached
to the cross-section of the rod. The orientation of the
moving frame, relative
to the inertial one, is related by the rotation matrix,
parameterized by
three elemental rotations. In the sense of Cosserat
theory, the equations
of motion are nonlinear partial dfferential equations,
which are functions
of time and one space variable. For the static
equilibrium, however, the
equations become nonlinear ordinary differential equations
with one space
variable, which can be solved approximately using standard
techniques like
the perturbation method. After the static equilibrium
equation are solved,
the displacement functions are obtained. These nonlinear
displacement
functions, which are functions of generic nodal
displacements and rotations,
are used for dynamical analysis. To obtain the dynamics of
the Cosserat
rod, it is used the Lagrangian approach, formed from the
kinetic and
strain energy expressions. Furthermore, the equations of
motion, which
are nonlinear ordinary dfferential equations, are solved
numerically using
the Newmark method. As an application, a curved rod,
constrained to
rotate inside a hole, is investigated numerically and
experimentally. When
using the Cosserat rod approach, that take into account
all the geometric
nonlinearities in the rod, the higher accuracy of the
dynamic responses is
achieved by dividing the system into a few elements, which
is much less
than in the traditional FEM
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:9631 |
| Date | 12 March 2007 |
| Creators | FREDY JONEL CORAL ALAMO |
| Contributors | HANS INGO WEBER |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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