Une mosaïque aléatoire est une partition aléatoire de l'espace euclidien en des polytopes appelés cellules. Ce type de structure apparaît dans divers domaines tels que la biologie cellulaire, les télécommunications et la segmentation d'images. Beaucoup de travail a déjà été effectué sur la cellule typique c'est-à-dire sur une cellule "choisie uniformément". Cependant, ces travaux ne tiennent pas compte de l'irrégularité de la mosaïque et d'éventuelles cellules pathologiques (par exemple, celles qui sont anormalement allongées ou anormalement grandes). Dans cette thèse, on étudie les mosaïques aléatoires par une approche inédite: celle des valeurs extrêmes. En pratique, on observe la mosaïque aléatoire dans une fenêtre et on considère une certaine caractéristique géométrique (comme le volume, le nombre de sommets ou le diamètre des cellules). Le problème de base est d'étudier le comportement du maximum et du minimum, voire des statistiques d'ordre, de cette caractéristique pour toutes les cellules de la fenêtre lorsque la taille de celle-ci tend vers l'infini. Une telle approche permet non seulement de mieux comprendre la régularité de la mosaïque mais aussi d'étudier la qualité d'une approximation discrète d'un ensemble par des cellules d'une mosaïque aléatoire. Cette approche pourrait également fournir une piste inédite pour discriminer les processus ponctuels. Les résultats de cette thèse portent principalement sur des théorèmes limites des extrêmes et des statistiques d'ordre pour diverses caractéristiques géométriques et diverses mosaïques aléatoires. En particulier, on obtient des vitesses de convergence en établissant de fines estimations géométriques. On déduit de l'étude du maximum des diamètres une majoration de la distance de Hausdorff entre un ensemble et son approximation dite de Poisson-Voronoï. On traite, notamment, de plusieurs aspects géométriques comme les problèmes de bord et la forme des cellules optimisantes. Enfin, dans le but de savoir comment se répartissent les cellules excédentes (celles dont la caractéristique est grande), on s'intéresse à la convergence de processus ponctuels associés et à la taille moyenne d'un cluster d'excédents. Les outils utilisés sont issus à la fois de la géométrie aléatoire (mesure de Palm, probabilités de recouvrement, formule de Slivnyak) et de la théorie des valeurs extrêmes (graphes de dépendance, méthode de Chen-Stein, indice extrême).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00918145 |
| Date | 11 December 2013 |
| Creators | Chenavier, Nicolas |
| Publisher | Université de Rouen |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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