Renormalization is a powerful tool showing up in different contexts of mathematics and physics. In the context of circle diffeomorphisms, the renormalization operator acts like a microscope and allows to study the dynamics of a circle diffeomorphism on a small scale. The convergence of renormalization leads to a proof of the so-called rigidity theorem, which classifies the dynamics of circle diffeomorphisms geometrically: the conjugacy between $C^3$ circle diffeomorphism with Diophantine rotation number and the corresponding rotation is $C^1$. In this thesis, we define the renormalization of circle diffeomorphisms and study its dynamics. In particular, we prove that the renormalization of orientation preserving $C^3$ circle diffeomorphisms with irrational rotation number of bounded type converges to rotations at exponential speed. We also introduce the necessary relevant concepts such as rotation number, distortion and non-linearity and discuss some of their properties. This thesis is a summary and supplement to the book One-Dimensional Dynamics: from Poincaré to Renormalization. / Omnormalisering är en kraftfull teknik som dyker upp i olika sammanhang inom matematik och fysik. I samband med cirkeldiffeomorfier är omnormaliseringsoperatorn ett dynamiskt system, som fungerar som ett mikroskop och gör att vi kan studera dynamiken hos en cirkeldiffeomorfi på en liten skala. Omnormaliseringens konvergens leder till ett bevis för det så kallade rigiditetssatsen, som klassificerar dynamiken hos cirkeldiffeomorfier geometriskt: konjugatet mellan $C^3$ cirkeldiffeomorfi med diofantiska rotationstal och den motsvarande rotationen är $C^1$. I denna avhandling definierar vi omnormaliseringen av cirkeldiffeomorfier och studerar dess dynamik. I synnerhet bevisar vi att omnormaliseringen av orienteringsbevarande $C^3$ cirkeldiffeomorfier med irrationellt rotationstal av begränsad typ konvergerar till rotationer med exponentiell hastighet. Vi introducerar också nödvändiga och relevanta begrepp så som rotationstal, distorsion och icke-linjäritet och diskuterar några av deras egenskaper. Denna avhandling är en sammanfattning och ett komplement till boken One- Dimensional Dynamics: from Poincaré to Renormalization.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-345265 |
| Date | January 2023 |
| Creators | Dong, Yiheng |
| Publisher | KTH, Matematik (Avd.) |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2023:466 |
Page generated in 0.0021 seconds