In quantified safety engineering, mathematical probability models are used to predict the risk of failure or hazardous events in systems. Markov processes have commonly been utilized to analyze the safety of systems modeled as discrete-state stochastic processes. In continuous time Markov models, transition time between states are exponentially distributed. Semi-Markov processes expand this modeling framework by allowing transition time between states to follow any distribution. This master thesis project seeks to extend the semi-Markov modeling framework even further by allowing hierarchical states, which further relaxes Markov-assumptions by allowing models to keep memory even in state transition. To achieve this, the master thesis proposes a method using the phase-type distribution to replace Markov-chains of states to a single state. For application purposes, it is shown how semi-Markov chains with phase-type distributed transitions can be evaluated by a method using the Laplace-Stieltjes transform. Furthermore, to replace semi-Markov chains, a method to approximate these by the phase-type distribution is presented. This is done by deriving the moments of the time to absorption in a semi-Markov process with a method using the Laplace-Stieltjes transform, and fitting a phase-type distribution with these moments. To evaluate the methods, some case studies are performed on appropriate models. Analytical results are compared with Monte-Carlo simulations and Laplace-transform inverse methods. The results are used to show how hierarchical semi-Markov models can be replaced in an exact manner, and how semi-Markov models can be replaced approximately with varying accuracy. An important conclusion is that by enabling hierarchical modeling, it is possible to predict the safety of systems which demand a more realistic model, as relaxing Markov assumptions allows for more complexity. / Matematiska sannolikhetsmodeller används inom kvantifierad säkerhetsteknik för att utvärdera risken för fel eller farliga olyckor i system. Ett vanligt sätt att analysera säkerheten i system som kan modelleras som stokastiska processer med diskreta tillstånd är att använda Markovprocesser. I tidskontinuerliga Markovprocesser är tidsövergången mellan tillstånd exponentialfördelade. Semi-Markov processer utökar denna modelleringsteknik ytterligare genom att tillåta tidsövergångar som är fördelade enligt alla möjliga fördelningar. Detta examensarbete har som mål att utöka modelleringsmöjligheterna med Semi-Markov processer genom att tillåta hierarkiska tillstånd, som därmed ytterligare utmanar antaganden inom Markov-modeller genom att bibehålla minne efter tillståndsövergång. För att uppnå detta föreslås i denna rapport en metod som använder phase-type-fördelningen för att byta ut Markovkedjor med ett enda tillstånd. För att tillämpa metoden visas hur semi-Markov kedjor kan utvärderas med hjälp av Laplace-Stieltjes-transformen. För att kunna ersätta semi-Markov kedjor med samma metod presenteras även en approximationsmetod för att åter igen använda phase-type-fördelningen. Detta görs genom att använda Laplace-Stieltjes-transformen för att generera momenten av tiden till absorption i semi-Markov processer, och anpassa dessa till momenten av en phase-type-fördelning. För att utvärdera metoderna presenteras en del exempel. Analytiska resultat jämförs med Monte-Carlo simulering och inverteringsmetoder för Laplace-transformen. Resultaten används för att visa hur hierarkiska Markov modeller kan ersättas exakt, och hur semi-Markov processer kan approximeras med varierande noggrannhet. En viktig slutsats är att genom att tillåta hierarkisk modellering är det möjligt att utvärdera säkerheten i system som kräver mer realistiska modeller, då detta öppnar upp för mer komplexitet.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-276959 |
| Date | January 2020 |
| Creators | Mattsson, Olle |
| Publisher | KTH, Optimeringslära och systemteori |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2020:237 |
Page generated in 0.0027 seconds