No description available.

No description available.

No description available.

No description available.

Syftet med rapporten är att bidra i kommunens arbete med att minska skadegörelse på deras skolor. Detta genom att ta fram ett analys och resultatsunderlag att grunda en handlingsplan på samt komma med åtgärdsförslag. Problemet identifierades tillsammans med kommunens säkerhetssamordnare. I enlighet med BRÅs metod “kunskap som metod” undersöktes problembilden. Problembilden kartlades genom en självdeklarationsstudie, intervju med rektor och inhämtande av uppgifter från de kommmunala förvaltningarna. Av problembilden framgår bland annat att skadegörelsen utförs av både elever på skolan och utomstående. Av de 175 elever som svarade på enkäten anger 17 % att de utfört någon form av skadegörelse. Eleverna som anger att de utfört skadegörelse anger som främsta anledning uttråkning eller missnöje riktat mot skolan. Även grupptryck anges av flera svarande. Rektorn ger en bild av att större delen av skadegörelsen utförs av en liten grupp elever eller före detta elever. Skolan kan också vara särskilt utsatt på grund av sin geografiska utformning och läge då den ligger i utkanten av samhället och nästan helt saknar insyn. Utifrån framtagen problembild genomfördes brainstorming och brainwriting för framtagning av potentiella åtgärder som kommunen sedan kan använda vid framtagande av åtgärdsplan.

In quantified safety engineering, mathematical probability models are used to predict the risk of failure or hazardous events in systems. Markov processes have commonly been utilized to analyze the safety of systems modeled as discrete-state stochastic processes. In continuous time Markov models, transition time between states are exponentially distributed. Semi-Markov processes expand this modeling framework by allowing transition time between states to follow any distribution. This master thesis project seeks to extend the semi-Markov modeling framework even further by allowing hierarchical states, which further relaxes Markov-assumptions by allowing models to keep memory even in state transition. To achieve this, the master thesis proposes a method using the phase-type distribution to replace Markov-chains of states to a single state. For application purposes, it is shown how semi-Markov chains with phase-type distributed transitions can be evaluated by a method using the Laplace-Stieltjes transform. Furthermore, to replace semi-Markov chains, a method to approximate these by the phase-type distribution is presented. This is done by deriving the moments of the time to absorption in a semi-Markov process with a method using the Laplace-Stieltjes transform, and fitting a phase-type distribution with these moments. To evaluate the methods, some case studies are performed on appropriate models. Analytical results are compared with Monte-Carlo simulations and Laplace-transform inverse methods. The results are used to show how hierarchical semi-Markov models can be replaced in an exact manner, and how semi-Markov models can be replaced approximately with varying accuracy. An important conclusion is that by enabling hierarchical modeling, it is possible to predict the safety of systems which demand a more realistic model, as relaxing Markov assumptions allows for more complexity. / Matematiska sannolikhetsmodeller används inom kvantifierad säkerhetsteknik för att utvärdera risken för fel eller farliga olyckor i system. Ett vanligt sätt att analysera säkerheten i system som kan modelleras som stokastiska processer med diskreta tillstånd är att använda Markovprocesser. I tidskontinuerliga Markovprocesser är tidsövergången mellan tillstånd exponentialfördelade. Semi-Markov processer utökar denna modelleringsteknik ytterligare genom att tillåta tidsövergångar som är fördelade enligt alla möjliga fördelningar. Detta examensarbete har som mål att utöka modelleringsmöjligheterna med Semi-Markov processer genom att tillåta hierarkiska tillstånd, som därmed ytterligare utmanar antaganden inom Markov-modeller genom att bibehålla minne efter tillståndsövergång. För att uppnå detta föreslås i denna rapport en metod som använder phase-type-fördelningen för att byta ut Markovkedjor med ett enda tillstånd. För att tillämpa metoden visas hur semi-Markov kedjor kan utvärderas med hjälp av Laplace-Stieltjes-transformen. För att kunna ersätta semi-Markov kedjor med samma metod presenteras även en approximationsmetod för att åter igen använda phase-type-fördelningen. Detta görs genom att använda Laplace-Stieltjes-transformen för att generera momenten av tiden till absorption i semi-Markov processer, och anpassa dessa till momenten av en phase-type-fördelning. För att utvärdera metoderna presenteras en del exempel. Analytiska resultat jämförs med Monte-Carlo simulering och inverteringsmetoder för Laplace-transformen. Resultaten används för att visa hur hierarkiska Markov modeller kan ersättas exakt, och hur semi-Markov processer kan approximeras med varierande noggrannhet. En viktig slutsats är att genom att tillåta hierarkisk modellering är det möjligt att utvärdera säkerheten i system som kräver mer realistiska modeller, då detta öppnar upp för mer komplexitet.