L'objet de la thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques avec termes sources, ce qui est motivé par les applications aux équations de Saint-Venant pour les eaux peu profondes. La première partie traite des questions habituelles de l'analyse des approximations numériques des lois de conservation scalaires. On se concentre sur des schémas aux volumes finis semi-discrets, dans le cas général d'un maillage non-uniforme. Pour définir des discrétisations appropriées du terme source, on introduit le formalisme spécifique de la méthode "Upwind Interface Source" et on établit des conditions sur les fonctions numériques telles que le solveur discret préserve les solutions stationnaires. Une définition rigoureuse de consistance est ensuite formulée, adaptée aux "schémas équilibres", pour laquelle on est capable de prouver un théorème de convergence faible de type Lax-Wendroff. La méthode considérée dans un premier temps est essentiellement d'ordre un en espace. Pour améliorer la précision, on développe des approches à haute résolution pour la méthode "Upwind Interface Source" et on montre que celles-ci sont un moyen efficace de dériver des schémas d'ordre plus élevé avec des propriétés convenables. On prouve une estimation d'erreur dans $L^p$, $1\le p < +\infty$, qui est un résultat optimal dans le cas d'un maillage uniforme. On conclut alors que les mêmes taux de convergence $O(h)$ et $O(h^2)$ que pour les systèmes homogènes correspondants sont valables. La deuxième partie présente un schéma numérique pour approcher les équations de Saint-Venant, avec un terme source géométrique, qui vérifie les propriétés théoriques suivantes: il préserve les états stationnaires de l'eau au repos, vérifie une inégalité d'entropie discrète, préserve la positivité de la hauteur de l'eau et reste stable avec des profiles du fond discontinus. Cela est obtenu grâce à une approche cinétique au système; dans ce contexte, on utilise une description formelle du comportement microscopique du système pour définir les flux numériques aux interfaces d'un maillage non-structuré. On utilise aussi le concept de variables conservatives centrées (typique de la méthode des volumes finis) et des termes sources décentrés aux interfaces. Finalement, on présente des simulations numériques du système des équations de Saint-Venant modifiées pour prendre en compte le frottement et la viscosité, afin de retrouver les résultats de certaines études expérimentales. Une application à la modélisation des termes de frottement pour les avalanches de neige est discutée dans l'Appendice.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00922706 |
| Date | 07 November 2002 |
| Creators | Simeoni, Chiara |
| Publisher | Université Pierre et Marie Curie - Paris VI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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