Los problemas de dispersión de partículas, como son los de dos y tres cuerpos, tienen
una relevancia crucial en física atómica, pues permiten describir diversos procesos de
colisiones. Hoy en día, los casos de dos cuerpos pueden ser resueltos con el grado de
precisión numérica que se desee. Los problemas de dispersión de tres partículas cargadas
son notoriamente más difíciles pero aún así algo similar, aunque en menor medida, puede
establecerse.
El objetivo de este trabajo es contribuir a la comprensión de procesos Coulombianos
de dispersión de tres cuerpos desde un punto de vista analítico. Esto no solo es
de fundamental interés, sino que también es útil para dominar mejor los enfoques
numéricos que se actualmente se desarrollan dentro de la comunidad de colisiones
atómicas. Para lograr este objetivo, proponemos aproximar la solución del problema
con desarrollos en series de funciones adecuadas y expresables analíticamente. Al hacer
esto, desarrollamos una serie de herramientas matemáticas relacionadas con funciones
Coulombianas, ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no homogéneas,
y funciones hipergeométricas en una y dos variables.
En primer lugar, trabajamos con las funciones de onda Coulombianas radiales y
revisamos sus principales propiedades. Así, extendemos los resultados conocidos para
dar expresiones analíticas de los coeficientes asociados al desarrollo, en serie de funciones
de tipo Laguerre, de las funciones Coulombianas irregulares. También establecemos una
nueva conexión entre los coeficientes asociados al desarrollo de la función Coulombiana
regular y los polinomios de Meixner-Pollaczek. Esta relación nos permite deducir
propiedades de ortogonalidad y clausura para estos coeficientes al considerar la carga
como variable.
Luego, estudiamos las funciones hipergeométricas de dos variables. Para algunas de
ellas, como las funciones de Appell o las confluentes de Horn, presentamos expresiones
analíticas de sus derivadas respecto de sus parámetros.
También estudiamos un conjunto particular de funciones Sturmianas Generalizadas
de dos cuerpos construidas considerando como potencial generador el potencial de
Hulthén. Contrariamente al caso habitual, en el que las funciones Sturmianas se
construyen numéricamente, las funciones Sturmianas de Hulthén poseen forma analítica.
Sus propiedades matem´aticas pueden ser analíticamente estudiadas proporcionando
una herramienta única para comprender y analizar los problemas de dispersión y sus
soluciones.
Además, proponemos un nuevo conjunto de funciones a las que llamamos funciones
Quasi-Sturmianas. Estas funciones se presentan como una alternativa para expandir
la solución buscada en procesos de dispersi´on de dos y tres cuerpos. Se definen
como soluciones de una ecuación diferencial de tipo-Schrödinger, no homogénea. Por
construcción, incluyen un comportamiento asintótico adecuado para resolver problemas
de dispersión. Presentamos diferentes expresiones analíticas y exploramos sus propiedades
matemáticas, vinculando y justificando los desarrollos realizados previamente.
Para finalizar, utilizamos las funciones estudiadas (Sturmianas de Hulthén y
Quasi-Sturmianas) en la resolución de problemas particulares de dos y tres cuerpos.
La eficacia de estas funciones se ilustra comparando los resultados obtenidos con datos
provenientes de la aplicación de otras metodologías. / Two and three-body scattering problems are of crucial relevance in atomic physics as
they allow to describe different atomic collision processes. Nowadays, the two-body cases
can be solved with any degree of numerical accuracy. Scattering problem involving three
charged particles are notoriously difficult but something similar –though to a lesser extentcan
be stated.
The aim of this work is to contribute to the understanding of three-body Coulomb
scattering problems from an analytical point of view. This is not only of fundamental
interest, it is also useful to better master numerical approaches that are being developed
within the collision community. To achieve this aim we propose to approximate
scattering solutions with expansions on sets of appropriate functions having closed form.
In so doing, we develop a number of related mathematical tools involving Coulomb
functions, homogeneous and non-homogeneous second order differential equations, and
hypergeometric functions in one and two variables.
First we deal with the two-body radial Coulomb wave functions, and review their
main properties. We extend known results to give in closed form the Laguerre expansions
coefficients of the irregular solutions, and establish a new connection between the
coefficients corresponding to the regular solution and Meixner-Pollaczek polynomials.
This relation allows us to obtain an orthogonality and closure relation for these coefficients
considering the charge as a variable.
Then we explore two-variable hypergeometric functions. For some of them, such as
Appell and confluent Horn functions, we find closed form for the derivatives with respect
to their parameters.
We also study a particular set of two-body Generalized Sturmian functions constructed
with a Hulth´en generating potential. Contrary to the usual case in which Sturmian
functions are numerically constructed, the Hulth´en Sturmian functions can be given in
closed form. Their mathematical properties can thus be analytically studied providing a
unique tool to investigate scattering problems.
Next, we introduce a novel set of functions that we name Quasi-Sturmian functions.
They constitute an alternative set of functions, given in closed form, to expand the sought
after solution of two- and three-body scattering processes. Quasi-Sturmian functions
are solutions of a non-homogeneous second order Schr¨odinger-like differential equation
and have, by construction, the appropriate asymptotic behavior. We present different
analytic expressions and explore their mathematical properties, linking and justifying the
developed mathematical tools described above.
Finally we use the studied Hulth´en Sturmian and Quasi-Sturmian functions to solve
some particular two- and three-body scattering problems. The efficiency of these sets of
functions is illustrated by comparing our results with those obtained by other methods
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/3394 |
| Date | 17 March 2017 |
| Creators | Del Punta, Jessica A. |
| Contributors | Gasaneo, Gustavo, Ancarani, Lorenzo Ugo |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | English |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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