Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019 / On propose dans cette thèse une modélisation des réseaux sociaux par des processus aléatoires à valeurs mesures. Notre démarche se base sur une approche par espace latent. Cette dernière a été utilisée dans la littérature dans le but de décrire des interactions non-observées ou latentes dans la dynamique des réseaux complexes. On caractérise les individus du réseau par des mesures de Dirac représentant leurs positions dans l’espace latent. On obtient ainsi une caractérisation du réseau en temps continu par un processus de Markov à valeurs mesures écrit comme la somme des mesures de Dirac représentant les individus. On associe au réseau trois événements aléatoires simples décrivant les arrivées et les départs d’individus suivant des horloges exponentielles en associant chaque événement à une mesure aléatoire de Poisson. Cette thèse est composée essentiellement d’un premier chapitre réservé à l’état de l’art de la littérature de la modélisation des réseaux complexes suivi d’un second chapitre introductif aux processus aléatoires à valeurs mesures. Le 3-ème et 4-ème chapitres sont constitués de deux articles co-écrits avec mon directeur de thèse, Khader Khadraoui, et sont soumis pour publication dans des journaux. Le premier article, inclus dans le chapitre 3, se compose essentiellement de la description détaillée du modèle proposé ainsi que d’une procédure de Monte Carlo permettant de générer aléatoirement des réalisations du modèle, suivi d’une analyse des propriétés théoriques du processus aléatoire à valeurs mesures sous-jacent. On explicitera notamment le générateur infinitésimal du processus de Markov qui caractérise le réseau. On s’intéressera également aux propriétés de survie et d’extinction du réseau puis on proposera une analyse asymptotique dans laquelle on démontrera, en utilisant des techniques de renormalisation, la convergence faible du processus vers une mesure déterministe solution d’un système intégro-différentiel. On terminera l’article par une étude numérique démontrant par des simulations les principales propriétés obtenues avec notre modèle. Dans le second article, inclus dans le chapitre 4, on reformule notre modèle du point de vue des graphes géométriques aléatoires. Une introduction aux graphes géométriques aléatoires est d’ailleurs proposée au chapitre 1 de cette thèse. Le but de notre démarche est d’étudier les propriétés de connectivité du réseau. Ces problématiques sont largement étudiées dans la littérature des graphes géométriques aléatoires et représentent un intérêt théorique et pratique considérable. L’idée proposée est de considérer notre modèle comme un graphe géométrique aléatoire où l’espace latent représente l’espace sous-jacent et la distribution sous-jacente est celle donnée par le processus génératif du réseau. À partir de là, la question de la connectivité du graphe se pose naturellement. En particulier, on s’intéressera à la distribution des sommets isolés, i.e. d’avoir des membres sans connexion dans le réseau. Pour cela, on pose l’hypothèse supplémentaire que chaque individu dans le graphe peut être actif ou non actif suivant une loi de Bernoulli. On démontrera alors que pour certaines valeurs du seuil de connectivité, le nombre d’individus isolés suit asymptotiquement une loi de Poisson. Aussi, la question de la détection de communautés (clustering) dans leréseau est traitée en fonction du seuil de connectivité établi. Nous terminons cette thèse par une conclusion dans laquelle on discute de la pertinence des approches proposées ainsi que des perspectives que peut offrir notre démarche. En particulier, on donne des éléments permettant de généraliser notre démarche à une classe plus large de réseaux complexes.La fin du document est consacrée aux références bibliographiques utilisées tout au long de ce travail ainsi qu’à des annexes dans lesquelles le lecteur pourra trouver des rappels utiles. / This thesis concerns the stochastic modelling of complex networks. In particular, weintroduce a new social network model based on a measure-valued stochastic processes. Individuals in the network are characterized by Dirac measures representing their positions in a virtual latent space of affinities. A continuous time network characterizationis obtained by defining an atomic measure-valued Markov process as the sum of some Dirac measures. We endow the network with a basic dynamic describing the random events of arrivals and departures following Poisson point measures. This thesis is essentially consists of a first introductory chapter to the studied problems of complex networks modelling followed by a second chapter where we present an introduction to the theory of measure-valued stochastic processes. The chapters 3 and 4 are essentially composed of two articles co-written with my thesis advisor, Khader Khadraoui and submitted to journals for publication. The first article, included in chapter 3, mainly concerns the detailed description of the proposed model and a Monte Carlo procedure allowing one to generate synthetic networks. Moreover, analysis of the principal theoretical properties of the models is proposed. In particular, the infinitesimal generator of the Markov process which characterizes the network is established. We also study the survival and extinction properties of the network. Therefore, we propose an asymptotic analysis in which we demonstrate, using a renormalization technique, the weak convergence of the network process towards a deterministic measure solution of an integro-differential system. The article is completed by a numerical study. In the second article, included in chapter 4, we reformulate our model from the point of view of random geometric graphs. An introduction to random geometric graphs framework is proposed in chapter 1. The purpose of our approach is to study the connectivity properties of the network. These issues are widely studied in the literature of random geometric graphs and represent a considerable theoretical and practical interest. The proposed idea is to consider the model as a random geometric graph where the latent space represents the underlying space and the underlying distribution is given by the generative process of the network. Therefore, the question of the connectivity of the graph arises naturally. In particular, we focus on the distribution of isolated vertices, i.e. the members with no connections in the network. To this end, we make the additional hypothesis that each individual in the network can be active or not according to a Bernoulli distribution. We then show that for some values of the connectivity threshold, the number of isolated individuals follows a Poisson distribution. In addition, the question of clustering in the network is discussed and illustrated numerically. We conclude this thesis with a conclusion and perspectives chapter in which we discuss the relevance of the proposed approaches as well as the offered perspectives.The end of the thesis is devoted to the bibliographical references used throughout this work as well as appendices in which the reader can find useful reminders.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/33730 |
| Date | 22 February 2019 |
| Creators | Sid-Ali, Ahmed |
| Contributors | Khadraoui, Khader |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xiii, 177 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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