Les sommes partielles de Taylor $S_n, n$ ≥ 0, sont des opérateurs de rang fini dans n'importe quel espace de Banach de fonctions analytiques sur le disque unité ouvert. Dans le cadre classique de l'algèbre du disque, la valeur précise de la norme de $S_n$ n'est pas connue et donc dans la littérature, on les appelle les constantes de Lebesgue. Dans ce cadre, nous savons seulement qu'elles croissent comme $\log n$, modulo une constante multiplicative, lorsque $n$ tend vers l'infini. Cependant, dans les espaces de Dirichlet pondérés $\mathcal {D_w}$, nous évaluons précisément la norme de $S_n$. En fait, il existe différentes façons de mettre une norme sur $\mathcal {D_w}$. Bien que ces normes soient équivalentes, elles conduisent à des valeurs différentes pour la norme de $S_n$ en tant qu'opérateur sur $\mathcal {D_w}$. Nous présentons trois normes différentes sur $\mathcal {D_w}$ et dans chaque cas, nous obtenons la valeur précise de la norme de l'opérateur $S_n$. Ces résultats sont en contraste marqué avec le cadre classique de l'algèbre du disque. Les sommes partielles de Taylor $S_n, n$ ≥ 0, sont des opérateurs de rang fini dans n'importe quel espace de Banach de fonctions analytiques sur le disque unité. Dans le cadre classique de l'algèbre du disque $\mathcal {A}$, la valeur précise de $|S_n|_\mathcal {A{\to}A}$ n'est pas connue. Ces nombres sont appelés les constantes de Lebesgue et ils croissent comme $\log n$, modulo une constante multiplicative, lorsque $n$ tend vers l'infini. Dans cette thèse, nous étudions $|S_n|$ lorsqu'il agit sur l'espace de Dirichlet local $\mathcal {D_\zeta}$. Il existe plusieurs façons distinguées de mettre une norme sur $\mathcal {D_\zeta}$ et chaque choix conduit naturellement à une norme d'opérateur différente pour $S_n$, en tant qu'opérateur sur $\mathcal {D_\zeta}$. Nous considérons trois normes différentes sur $\mathcal {D_\zeta}$ et, dans chaque cas, évaluons la valeur précise de $|S_n|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}$. Dans tous les cas, nous montrons également que la fonction maximisante est unique. Ces formules indiquent que $|S_n|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}≍\sqrt{n}$ lorsque $n$ croît. Ainsi, à la lumière du principe de borne uniforme, il existe une fonction $f ∈ \mathcal {D_\zeta}$ telle que la suite locale $|S_nf|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, n'est pas bornée. Nous fournissons deux constructions explicites. Ensuite, nous obtenons les valeurs précises de la norme de l'opérateur de moyennes de Cesàro $σ_n$ et montrons que contrairement à la somme partielle, $|σ_nf|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, est bornée. / The partial Taylor sums $S_n, n$ ≥ 0, are finite rank operators on any Banach space of analytic functions on the open unit disc. In the classical setting of disc algebra, the precise value of the norm of $S_n$ is not known and thus in the literature they are referred as the Lebesgue constants. In this setting, we just know that the grow like $\log n$, modulo a multiplicative constant, as $n$ tends to infinity. However, on the weighted Dirichlet spaces $\mathcal {D_w}$, we precisely evaluate the norm of $S_n$. As a matter of fact, there are different ways to put a norm on $\mathcal {D_w}$. Even though these norms are equivalent, they lead to different values for the norm of $S_n$, as an operator on $\mathcal {D_w}$. We present three different norms on $\mathcal {D_w}$, and in each case we obtain the precise value of the operator norm of $S_n$. These results are in sharp contrast to the classical setting of the disc algebraThe partial Taylor sums $S_n, n$ ≥ 0, are finite rank operators on any Banach space of analytic functions on the open unit disc. In the classical setting of disc algebra $\mathcal {A}$, the precise value of $\|S_n\|_\mathcal {A{\to}A}$ is not known. These numbers are referred as the Lebesgue constants and they grow like $\log n$, modulo a multiplicative constant, when $n$ tends to infinity. In this note, we study $\|S_n\|$ when it acts on the local Dirichlet space $\mathcal {D_\zeta}$. There are several distinguished ways to put a norm on $\mathcal {D_\zeta}$ and each choice naturally leads to a different operator norm for $S_n$, as an operator on $\mathcal {D_\zeta}$. We consider three different norms on $\mathcal {D_\zeta}$ and, in each case, evaluate the precise value of $\|S_n\|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}$. In all cases, we also show that the maximizing function is unique. These formulas indicate that $\|S_n\|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}≍\sqrt{n}$ as $n$ grows. Hence, in the light of uniform boundedness principle, there is a function $f ∈ \mathcal {D_\zeta}$ such that the local sequence $\|S_nf\|_\mathcal {D_\zeta},n$≥1, is unbounded. We provide two explicit constructions. Next we obtain the precise values of the operator norm of Cesaro means $σ_n$ and show that contrary to the partial sum, we do have $\|σ_nf\|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, is bounded.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/143603 |
| Date | 21 May 2024 |
| Creators | Withanachchi, Mahishanka |
| Contributors | Mashreghi, Javad |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xi, page), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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