Les sommes partielles de Taylor $S_n, n$ ≥ 0, sont des opérateurs de rang fini dans n'importe quel espace de Banach de fonctions analytiques sur le disque unité ouvert. Dans le cadre classique de l'algèbre du disque, la valeur précise de la norme de $S_n$ n'est pas connue et donc dans la littérature, on les appelle les constantes de Lebesgue. Dans ce cadre, nous savons seulement qu'elles croissent comme $\log n$, modulo une constante multiplicative, lorsque $n$ tend vers l'infini. Cependant, dans les espaces de Dirichlet pondérés $\mathcal {D_w}$, nous évaluons précisément la norme de $S_n$. En fait, il existe différentes façons de mettre une norme sur $\mathcal {D_w}$. Bien que ces normes soient équivalentes, elles conduisent à des valeurs différentes pour la norme de $S_n$ en tant qu'opérateur sur $\mathcal {D_w}$. Nous présentons trois normes différentes sur $\mathcal {D_w}$ et dans chaque cas, nous obtenons la valeur précise de la norme de l'opérateur $S_n$. Ces résultats sont en contraste marqué avec le cadre classique de l'algèbre du disque. Les sommes partielles de Taylor $S_n, n$ ≥ 0, sont des opérateurs de rang fini dans n'importe quel espace de Banach de fonctions analytiques sur le disque unité. Dans le cadre classique de l'algèbre du disque $\mathcal {A}$, la valeur précise de $|S_n|_\mathcal {A{\to}A}$ n'est pas connue. Ces nombres sont appelés les constantes de Lebesgue et ils croissent comme $\log n$, modulo une constante multiplicative, lorsque $n$ tend vers l'infini. Dans cette thèse, nous étudions $|S_n|$ lorsqu'il agit sur l'espace de Dirichlet local $\mathcal {D_\zeta}$. Il existe plusieurs façons distinguées de mettre une norme sur $\mathcal {D_\zeta}$ et chaque choix conduit naturellement à une norme d'opérateur différente pour $S_n$, en tant qu'opérateur sur $\mathcal {D_\zeta}$. Nous considérons trois normes différentes sur $\mathcal {D_\zeta}$ et, dans chaque cas, évaluons la valeur précise de $|S_n|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}$. Dans tous les cas, nous montrons également que la fonction maximisante est unique. Ces formules indiquent que $|S_n|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}≍\sqrt{n}$ lorsque $n$ croît. Ainsi, à la lumière du principe de borne uniforme, il existe une fonction $f ∈ \mathcal {D_\zeta}$ telle que la suite locale $|S_nf|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, n'est pas bornée. Nous fournissons deux constructions explicites. Ensuite, nous obtenons les valeurs précises de la norme de l'opérateur de moyennes de Cesàro $σ_n$ et montrons que contrairement à la somme partielle, $|σ_nf|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, est bornée. / The partial Taylor sums $S_n, n$ ≥ 0, are finite rank operators on any Banach space of analytic functions on the open unit disc. In the classical setting of disc algebra, the precise value of the norm of $S_n$ is not known and thus in the literature they are referred as the Lebesgue constants. In this setting, we just know that the grow like $\log n$, modulo a multiplicative constant, as $n$ tends to infinity. However, on the weighted Dirichlet spaces $\mathcal {D_w}$, we precisely evaluate the norm of $S_n$. As a matter of fact, there are different ways to put a norm on $\mathcal {D_w}$. Even though these norms are equivalent, they lead to different values for the norm of $S_n$, as an operator on $\mathcal {D_w}$. We present three different norms on $\mathcal {D_w}$, and in each case we obtain the precise value of the operator norm of $S_n$. These results are in sharp contrast to the classical setting of the disc algebraThe partial Taylor sums $S_n, n$ ≥ 0, are finite rank operators on any Banach space of analytic functions on the open unit disc. In the classical setting of disc algebra $\mathcal {A}$, the precise value of $\|S_n\|_\mathcal {A{\to}A}$ is not known. These numbers are referred as the Lebesgue constants and they grow like $\log n$, modulo a multiplicative constant, when $n$ tends to infinity. In this note, we study $\|S_n\|$ when it acts on the local Dirichlet space $\mathcal {D_\zeta}$. There are several distinguished ways to put a norm on $\mathcal {D_\zeta}$ and each choice naturally leads to a different operator norm for $S_n$, as an operator on $\mathcal {D_\zeta}$. We consider three different norms on $\mathcal {D_\zeta}$ and, in each case, evaluate the precise value of $\|S_n\|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}$. In all cases, we also show that the maximizing function is unique. These formulas indicate that $\|S_n\|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}≍\sqrt{n}$ as $n$ grows. Hence, in the light of uniform boundedness principle, there is a function $f ∈ \mathcal {D_\zeta}$ such that the local sequence $\|S_nf\|_\mathcal {D_\zeta},n$≥1, is unbounded. We provide two explicit constructions. Next we obtain the precise values of the operator norm of Cesaro means $σ_n$ and show that contrary to the partial sum, we do have $\|σ_nf\|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, is bounded.

Ce manuscrit présente mes contributions scientifiques de ces dix dernières années à l'interface entre traitement d'image et statistique. Il débute par l'étude d'un exemple jouet, l'estimation de la moyenne d'un vecteur gaussien, qui permet de présenter le type de question statistique auquel je me suis intéressé, de souligner l'importance de la théorie de l'approximation et de présenter le principe de parcimonie d'Ockham. Après une brève description de l'ensemble des contributions, le manuscrit s'organise autour des modèles statistiques que j'ai pu rencontrés: modèle de bruit blanc, modèle de densité et modèle de densité conditionnelle.

We present a set of approximation results for several covering problems in dense graphs. These results show that for several problems, classical algorithms with constant approximation ratios can be analyzed in a finer way, and provide better constant approximation ratios under some density constraints. In particular, we show that the maximal matching heuristic approximates VERTEX COVER (VC) and MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) with a constant ratio strictly smaller than 2 when the proportion of edges present in the graph (weak density) is at least 3/4, or when the normalized minimum degree (strong density) is at least 1/2. We also show that this result can be improved by a greedy algorithm which provides a constant ratio smaller than 2 when the weak density is at least 1/2. We also provide tight families of graphs for all these approximation ratios. We then looked at several algorithms from the literature for VC and SET COVER (SC). We present a unified and critical approach to the Karpinski/Zelikovsky, Imamura/Iwama and Bar-Yehuda/Kehat algorithms, identifying the general the general scheme underlying these algorithms.<p>Finally, we look at the CONNECTED VERTEX COVER (CVC) problem,for which we proposed new approximation results in dense graphs. We first analyze Carla Savage's algorithm, then a new variant of the Karpinski-Zelikovsky algorithm. Our results show that these algorithms provide the same approximation ratios for CVC as the maximal matching heuristic and the Karpinski-Zelikovsky algorithm did for VC. We provide tight examples for the ratios guaranteed by both algorithms. We also introduce a new invariant, the "price of connectivity of VC", defined as the ratio between the optimal solutions of CVC and VC, and showed a nearly tight upper bound on its value as a function of the weak density. Our last chapter discusses software aspects, and presents the use of the GRAPHEDRON software in the framework of approximation algorithms, as well as our contributions to the development of this system.<p><p>/<p><p>Nous présentons un ensemble de résultats d'approximation pour plusieurs problèmes de couverture dans les graphes denses. Ces résultats montrent que pour plusieurs problèmes, des algorithmes classiques à facteur d'approximation constant peuvent être analysés de manière plus fine, et garantissent de meilleurs facteurs d'aproximation constants sous certaines contraintes de densité. Nous montrons en particulier que l'heuristique du matching maximal approxime les problèmes VERTEX COVER (VC) et MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) avec un facteur constant inférieur à 2 quand la proportion d'arêtes présentes dans le graphe (densité faible) est supérieure à 3/4 ou quand le degré minimum normalisé (densité forte) est supérieur à 1/2. Nous montrons également que ce résultat peut être amélioré par un algorithme de type GREEDY, qui fournit un facteur constant inférieur à 2 pour des densités faibles supérieures à 1/2. Nous donnons également des familles de graphes extrémaux pour nos facteurs d'approximation. Nous nous somme ensuite intéressés à plusieurs algorithmes de la littérature pour les problèmes VC et SET COVER (SC). Nous avons présenté une approche unifiée et critique des algorithmes de Karpinski-Zelikovsky, Imamura-Iwama, et Bar-Yehuda-Kehat, identifiant un schéma général dans lequel s'intègrent ces algorithmes.<p>Nous nous sommes finalement intéressés au problème CONNECTED VERTEX COVER (CVC), pour lequel nous avons proposé de nouveaux résultats d'approximation dans les graphes denses, au travers de l'algorithme de Carla Savage d'une part, et d'une nouvelle variante de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky d'autre part. Ces résultats montrent que nous pouvons obtenir pour CVC les mêmes facteurs d'approximation que ceux obtenus pour VC à l'aide de l'heuristique du matching maximal et de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky. Nous montrons également des familles de graphes extrémaux pour les ratios garantis par ces deux algorithmes. Nous avons également étudié un nouvel invariant, le coût de connectivité de VC, défini comme le rapport entre les solutions optimales de CVC et de VC, et montré une borne supérieure sur sa valeur en fonction de la densité faible. Notre dernier chapitre discute d'aspects logiciels, et présente l'utilisation du logiciel GRAPHEDRON dans le cadre des algorithmes d'approximation, ainsi que nos contributions au développement du logiciel. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished