We present a set of approximation results for several covering problems in dense graphs. These results show that for several problems, classical algorithms with constant approximation ratios can be analyzed in a finer way, and provide better constant approximation ratios under some density constraints. In particular, we show that the maximal matching heuristic approximates VERTEX COVER (VC) and MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) with a constant ratio strictly smaller than 2 when the proportion of edges present in the graph (weak density) is at least 3/4, or when the normalized minimum degree (strong density) is at least 1/2. We also show that this result can be improved by a greedy algorithm which provides a constant ratio smaller than 2 when the weak density is at least 1/2. We also provide tight families of graphs for all these approximation ratios. We then looked at several algorithms from the literature for VC and SET COVER (SC). We present a unified and critical approach to the Karpinski/Zelikovsky, Imamura/Iwama and Bar-Yehuda/Kehat algorithms, identifying the general the general scheme underlying these algorithms. Finally, we look at the CONNECTED VERTEX COVER (CVC) problem,for which we proposed new approximation results in dense graphs. We first analyze Carla Savage's algorithm, then a new variant of the Karpinski-Zelikovsky algorithm. Our results show that these algorithms provide the same approximation ratios for CVC as the maximal matching heuristic and the Karpinski-Zelikovsky algorithm did for VC. We provide tight examples for the ratios guaranteed by both algorithms. We also introduce a new invariant, the "price of connectivity of VC", defined as the ratio between the optimal solutions of CVC and VC, and showed a nearly tight upper bound on its value as a function of the weak density. Our last chapter discusses software aspects, and presents the use of the GRAPHEDRON software in the framework of approximation algorithms, as well as our contributions to the development of this system. / Nous présentons un ensemble de résultats d'approximation pour plusieurs problèmes de couverture dans les graphes denses. Ces résultats montrent que pour plusieurs problèmes, des algorithmes classiques à facteur d'approximation constant peuvent être analysés de manière plus fine, et garantissent de meilleurs facteurs d'aproximation constants sous certaines contraintes de densité. Nous montrons en particulier que l'heuristique du matching maximal approxime les problèmes VERTEX COVER (VC) et MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) avec un facteur constant inférieur à 2 quand la proportion d'arêtes présentes dans le graphe (densité faible) est supérieure à 3/4 ou quand le degré minimum normalisé (densité forte) est supérieur à 1/2. Nous montrons également que ce résultat peut être amélioré par un algorithme de type GREEDY, qui fournit un facteur constant inférieur à 2 pour des densités faibles supérieures à 1/2. Nous donnons également des familles de graphes extrémaux pour nos facteurs d'approximation. Nous nous somme ensuite intéressés à plusieurs algorithmes de la littérature pour les problèmes VC et SET COVER (SC). Nous avons présenté une approche unifiée et critique des algorithmes de Karpinski-Zelikovsky, Imamura-Iwama, et Bar-Yehuda-Kehat, identifiant un schéma général dans lequel s'intègrent ces algorithmes. Nous nous sommes finalement intéressés au problème CONNECTED VERTEX COVER (CVC), pour lequel nous avons proposé de nouveaux résultats d'approximation dans les graphes denses, au travers de l'algorithme de Carla Savage d'une part, et d'une nouvelle variante de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky d'autre part. Ces résultats montrent que nous pouvons obtenir pour CVC les mêmes facteurs d'approximation que ceux obtenus pour VC à l'aide de l'heuristique du matching maximal et de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky. Nous montrons également des familles de graphes extrémaux pour les ratios garantis par ces deux algorithmes. Nous avons également étudié un nouvel invariant, le coût de connectivité de VC, défini comme le rapport entre les solutions optimales de CVC et de VC, et montré une borne supérieure sur sa valeur en fonction de la densité faible. Notre dernier chapitre discute d'aspects logiciels, et présente l'utilisation du logiciel GRAPHEDRON dans le cadre des algorithmes d'approximation, ainsi que nos contributions au développement du logiciel.

L'objectif de cette thèse est l'étude des approximations et des vitesses de convergence pour des fonctionnelles de grands graphes discrets vers leurs limites continues. Nous envisageons deux cas de graphes discrets: des arbres (i.e. des graphes connexes et sans cycles) et des graphes finis, simples et denses. Dans le premier cas, on considère des fonctionnelles additives sur deux modèles d'arbres aléatoires: le modèle de Catalan sur les arbres binaires (où un arbre est choisi avec probabilité uniforme sur l'ensemble des arbres binaires complets ayant un nombre de nœuds donné) et les arbres simplement générés (et plus particulièrement les arbres de Galton-Watson conditionnés par leur nombre de nœuds).Les résultats asymptotiques reposent sur les limites d'échelle d'arbres de Galton-Watson conditionnés. En effet, lorsque la loi de reproduction est critique et de variance finie (ce qui est le cas des arbres binaires de Catalan), les arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un grand nombre de nœuds convergent vers l'arbre brownien continu qui est un arbre réel continu qui peut être codé par l'excursion brownienne normalisée. Par ailleurs, les arbres binaires sous le modèle de Catalan peuvent être construits comme des sous arbres de l'arbre brownien continu. Ce plongement permet d'obtenir des convergences presque-sûres de fonctionnelles. Plus généralement, lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'une loi stable, les arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un grand nombre de nœuds convergent vers des arbres de Lévy stables, ce qui permet d'obtenir le comportement asymptotique des fonctionnelles additives pour certains arbres simplement générés. Dans le second cas, on s'intéresse à la convergence de la fonction de répartition empirique des degrés ainsi qu'aux densités d'homomorphismes de suites de graphes finis, simples et denses. Une suite de graphes finis, simples, denses converge si la suite réelle des densités d'homomorphismes associées converge pour tout graphe fini simple. La limite d'une telle suite de graphes peut être décrite par une fonction symétrique mesurable appelée graphon. Etant donné un graphon, on peut construire par échantillonnage, une suite de graphes qui converge vers ce graphon. Nous avons étudié le comportement asymptotique de la fonction de répartition empirique des degrés et de mesures aléatoires construites à partir des densités d'homomorphismes associées à cette suite particulière de graphes denses / The aim of this thesis is the study of approximations and rates of convergence for functionals of large dicsrete graphs towards their limits. We contemplate two cases of discrete graphs: trees (i.e. connected graphs without cycles) and dense simple finite graphs. In the first case, we consider additive functionals for two models of random trees: the Catalan model for binary trees (where a tree is chosen uniformly at random from the set of full binary trees with a given number of nodes) and the simply generated trees (and more particulary the Galton-Watson trees conditioned by their number of nodes).Asymptotic results are based on scaling limits of conditioned Galton-Watson trees. Indeed, when the offspring distribution is critical and with finite variance (that is the case of Catalan binary trees), the Galton-Watson trees conditioned to have a large number of nodes converge towards the Brownian continuum tree which is a real tree coded which can be coded by the normalized Brownian excursion. Furthermore, binary trees under the Catalan model can be built as sub-trees of the Brownian continuum tree. This embedding makes it possible to obtain almost sure convergences of functionals. More generally, when the offspring distribution is critical and belongs to the domain of attraction of a stable distribution, the Galton-Watson trees conditioned to have a large number of nodes converge to stable Levy trees giving the asymptotic behaviour of additive functionals for some simply generated trees. In the second case, we are interested in the convergence of the empirical cumulative distribution of degrees and the homomorphism densities of sequences of dense simple finite graphs. A sequence of dense simple finite graphs converges if the real sequence of associated homomorphism densities converges for all simple finite graph. The limit of such a sequence of dense graphs can be described as a symmetric measurable function called graphon.Given a graphon, we can construct by sampling, a sequence of graphs which converges towards this graphon. We have studied the asymptotic behaviour of the empirical cumulative distribution of degrees and random measures built from homomorphism densities associated to this special sequence of dense graphs

We present a set of approximation results for several covering problems in dense graphs. These results show that for several problems, classical algorithms with constant approximation ratios can be analyzed in a finer way, and provide better constant approximation ratios under some density constraints. In particular, we show that the maximal matching heuristic approximates VERTEX COVER (VC) and MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) with a constant ratio strictly smaller than 2 when the proportion of edges present in the graph (weak density) is at least 3/4, or when the normalized minimum degree (strong density) is at least 1/2. We also show that this result can be improved by a greedy algorithm which provides a constant ratio smaller than 2 when the weak density is at least 1/2. We also provide tight families of graphs for all these approximation ratios. We then looked at several algorithms from the literature for VC and SET COVER (SC). We present a unified and critical approach to the Karpinski/Zelikovsky, Imamura/Iwama and Bar-Yehuda/Kehat algorithms, identifying the general the general scheme underlying these algorithms.<p>Finally, we look at the CONNECTED VERTEX COVER (CVC) problem,for which we proposed new approximation results in dense graphs. We first analyze Carla Savage's algorithm, then a new variant of the Karpinski-Zelikovsky algorithm. Our results show that these algorithms provide the same approximation ratios for CVC as the maximal matching heuristic and the Karpinski-Zelikovsky algorithm did for VC. We provide tight examples for the ratios guaranteed by both algorithms. We also introduce a new invariant, the "price of connectivity of VC", defined as the ratio between the optimal solutions of CVC and VC, and showed a nearly tight upper bound on its value as a function of the weak density. Our last chapter discusses software aspects, and presents the use of the GRAPHEDRON software in the framework of approximation algorithms, as well as our contributions to the development of this system.<p><p>/<p><p>Nous présentons un ensemble de résultats d'approximation pour plusieurs problèmes de couverture dans les graphes denses. Ces résultats montrent que pour plusieurs problèmes, des algorithmes classiques à facteur d'approximation constant peuvent être analysés de manière plus fine, et garantissent de meilleurs facteurs d'aproximation constants sous certaines contraintes de densité. Nous montrons en particulier que l'heuristique du matching maximal approxime les problèmes VERTEX COVER (VC) et MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) avec un facteur constant inférieur à 2 quand la proportion d'arêtes présentes dans le graphe (densité faible) est supérieure à 3/4 ou quand le degré minimum normalisé (densité forte) est supérieur à 1/2. Nous montrons également que ce résultat peut être amélioré par un algorithme de type GREEDY, qui fournit un facteur constant inférieur à 2 pour des densités faibles supérieures à 1/2. Nous donnons également des familles de graphes extrémaux pour nos facteurs d'approximation. Nous nous somme ensuite intéressés à plusieurs algorithmes de la littérature pour les problèmes VC et SET COVER (SC). Nous avons présenté une approche unifiée et critique des algorithmes de Karpinski-Zelikovsky, Imamura-Iwama, et Bar-Yehuda-Kehat, identifiant un schéma général dans lequel s'intègrent ces algorithmes.<p>Nous nous sommes finalement intéressés au problème CONNECTED VERTEX COVER (CVC), pour lequel nous avons proposé de nouveaux résultats d'approximation dans les graphes denses, au travers de l'algorithme de Carla Savage d'une part, et d'une nouvelle variante de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky d'autre part. Ces résultats montrent que nous pouvons obtenir pour CVC les mêmes facteurs d'approximation que ceux obtenus pour VC à l'aide de l'heuristique du matching maximal et de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky. Nous montrons également des familles de graphes extrémaux pour les ratios garantis par ces deux algorithmes. Nous avons également étudié un nouvel invariant, le coût de connectivité de VC, défini comme le rapport entre les solutions optimales de CVC et de VC, et montré une borne supérieure sur sa valeur en fonction de la densité faible. Notre dernier chapitre discute d'aspects logiciels, et présente l'utilisation du logiciel GRAPHEDRON dans le cadre des algorithmes d'approximation, ainsi que nos contributions au développement du logiciel. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished