Die zu erwartenden Temperaturen und Regenmengen der folgenden Tage bis Stunden sind heutzutage eine der wichtigsten Informationen. Diese Kenntnis ist nicht nur von allgemeinem Interesse. Insbesondere Bereiche wie die Landwirtschaft und Forstwirtschaft sind die zu erwartenden Regenmengen selbst über einen langen Zeitraum von Wochen von besonderen Interesse um zum Beispiel die Ernte oder den Schutz von Pflanzen zu planen. Daher ist die Fähigkeit, das Wetter zuverlässig und schnell für ausreichend lange Zeiträume vorher zu sagen, wesentlich.
Die Zuverlässigkeit der Wettervorhersage, oder genau genommen der numerischen Wettervorhersage, hängt von mehreren Faktoren ab. Einer dieser Faktoren ist die Detailliertheit der Atmosphärenmodelle. Während die ersten numerischen Experimente die Atmosphäre als eine Schicht trockenen idealen Gases betrachteten, beinhalten aktuelle Modelle die Feuchte, Wolken, Niederschlag und Strahlung. Mit jedem zusätzlichen Detail steigt natürlich der Simulationsaufwand. Daher müssen parallel zur verbesserten Modellierung auch die numerischen Verfahren erweitert werden.
Im allgemeinen sind die Atmosphärenmodelle Systeme nichtlinearer hyperbolischer Differentialgleichungen (PDEs). Insbesondere beinhalten die Modelle Wellen unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit, welche nahezu nicht gedämpft werden. Diese unterschiedlichen Geschwindigkeiten sind die Grundlage für den Mehrskalencharakter der Atmosphärenmodelle. Eine effektive numerische Methode muss daher die unterschiedlichen Skalen adäquat behandeln.
Die Entwicklung und Analyse numerischer Mehrskalenverfahren zur Lösung von Systemen hyperbolischer Differentialgleichungen ist herausfordernd. Beispiele für hyperbolische Systeme beginnen bei der einfachen skalaren linearen Advektionsgleichung, der Wellengleichung und enden bei nichtlinearen Systemen wie den Flachwassergleichungen oder den (reibungsfreien) Eulergleichungen. Letztere sind die Grundlage für alle Atmosphärenmodelle.
Viele hyperbolische PDEs besitzen eine additive Struktur, wobei die Aufteilung gerade den Zeitskalen entsprechen. Wir gehen von einer angepassten Diskretisierung im Raum, in der Regel eine Finite-Volumen Diskretisierung, aus. Diese Diskretisierung erhält die additive Struktur des kontinuierlichen Problems in der (ortsdiskretisierten) gewöhnlichen Differentialgleichung (ODE). Daher entwickeln wir eine neue numerische Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, welche die additive Struktur und gleichzeitig die zugehörigen Zeitskalen ausnutzt.
Die Analyse von Splittingverfahren ist herausfordernd sowohl in der Entwicklung der Ordnungsbedingungen als auch der Stabilitätskriterien. Jeder Mehrskalenansatz kombiniert die unterschiedlichen Zeitskalen auf unterschiedliche Art und Weise. Daher gibt es keine einheitliche Ordnungs- und Stabilitätstheorie. Wir entwickeln die Ordnungsbedingungen auf klassischem Wege, durch Differentiation der numerischen Lösung. Die Aufteilung der rechten Seite in schnelle und langsame Terme führt auf zusätzliche Koeffizienten und Kombinationen der elementaren Differentiale. Im Vergleich zu klassischen Verfahren hat jedes elementare Differential unterschiedliche nicht-klassische Koeffizienten, ohne erkennbare Struktur. Dieser Strukturverlust erschwert die numerische Lösung zusätzlich. Analytische Lösungen gibt es nur in Sonderfällen.
Wir entwickeln und analysieren eine neue Klasse von Mehrskalen methoden, welche mit den Integrator der schnellen Skale parametriert ist. Dieser neue Ansatz erlaubt die Verallgemeinerung der Ausgangsmethode und vereinfacht etliche Schritte in der Herleitung der Ordnungsbedinungen. Zusätzlich hat die Verallgemeinerung auch den Vorteil, die Ordnungsbedingungen des Gesamtverfahrens und die Struktur des darunter liegenden Lösers der schnellen Zeitskale zu assoziieren.
Wir untersuchen ebenfalls die lineare Stabilität der neuen Methoden. Aufgrund der Aufteilung in langsame und schnelle Terme gibt es viele verschiedene Modellprobleme. Wir leiten ein Modellproblem auf Basis eines vereinfachten hyperbolischer PDEs her. Auf Basis dieses Stabilitsproblems konstruieren wir die neuen Methoden und untersuchen ihre Effizienz anhand zweier nichtlineare Benchmarkprobleme. Analog zur Herleitung der Ordnungsbedingungen vereinheitlichen wir die Konstruktion der Stabilitätsfunktionen und heben im nachhinein die Unterschiede aufgrund des fast-scale integrators hervor.
Gute numerische Methoden führen nicht nur zu einem kleinen Fehler, sondern haben auch ein großes Stabilitätsgebiet. Daher optimizieren wir die Methodenparameter im Hinblick auf die Größe des Stabilitätsgebiets. Unsere neuen Methoden besitzen sowohl reelle, als auch rationale Parameter. Die Lösung des gemischten ganzzahligen-reellen Optimierungsproblem vereinfachen wir durch die Auswahl einzelner rationaler Parameter. Dadurch erhalten wir allerdings einige tausend unabhängige Teilprobleme.
Zum Abschluss analysieren wir die Effizienz der neuen Methoden anhand zweier nichtlinearer Benchmarkprobleme und vergleichen die Genauigkeit und Stabilität mit Referenzverfahren. / The expected temperatures and rainfall in the next days to hours is one of the most important information nowadays. This knowledge is not only of general interest. Disciplines like agriculture and forestry the knowledge of the rain is even more important for a time span of weeks to plan the harvest or protect the plants. Therefore, the possibility to forecast the weather reliably and fast is very important nowadays.
The reliability of weather forecast, or more accurate the numerical weather forecast, depends on several factors. One factor is the complexity of atmosphere models. Whereas the first numerical experiments treat the atmosphere as dry ideal gas with one layer, recent models incorporate the humidity, clouds, precipitation and radiation. But every higher detail in the model come at higher costs for simulation. Hence the development of finer grained models also require more advanced numerical methods to solve them.
The atmosphere models are in general a nonlinear hyperbolic set of partial differential equations (PDEs). In particular the models consist of several waves, traveling with different speeds with nearly no damping. Roughly speaking these varying velocities lead to the multiscale nature of the atmosphere models and a suitable numerical method should respect the different time scales.
The development and analysis of multirate methods for hyperbolic systems remains a challenging problem. Examples for class of hyperbolic systems of PDEs range from the scalar and linear advection equation, the wave equation to nonlinear systems like the shallow water equations or the (inviscid) Euler equations, which are the basis for the atmosphere models.
The hyperbolic PDEs often have an additive split structure, which in turn account for the different time scales. We assume a suitable, often finite volume, discretization in space. Hence we retain the additive splitting from the continuous problem in the semi-discretized ordinary differential equation (ODE). Hence we develop a new numerical method which accounts for the additive split structure and the multiscale nature.
The development of splitting methods is challenging in the analysis of the order conditions and the stability criteria. In particular the interaction between the fast and slow scales render the order conditions often complicated and unstructured. Furthermore every multiscale approach combines the scales in a different way, which is why there is no unified order condition theory.
With these challenges in mind we derive the order conditions in a classical way by differentiation of the numerical method. The splitting in a fast and a slow right hand side leads to several combinations of elementary differentials. And every differential has different non-standard coefficients, without any structure between these combinations. This loss in structure renders the numerical solutions of the order conditions quite complicated, and the analytical solutions are only possible in rare cases.
We develop a new class of multirate methods, which is parameterized by the fast scale solver. That new approach allows for a better generalization and simplifies several steps by unification. Nevertheless this new type of generalization has the advantage to associate the order conditions of the complete (macro scale) method with the structure of the underlying (micro scale) integrator.
The second challenge is the analysis of the (linear) stability of multirate methods. We also analyze the (linear) stability of the newly developed methods. Due to the splitting structure there are many different model problems possible. We deduce a model problem from a simplified system of hyperbolic PDEs. On top of these stability model problems we will construct the new methodss. In analogy to the analysis of the order conditions, we unify the construction of the stability functions and highlight the differences due to the different fast scale integrators afterwards.
A good method does not only lead to low errors, but also has a large stability area. Hence we optimize the method parameters with respect to the stability area. In our case, the parameter set contains rational and real parameters. We circumvent the solution of a mixed-integer optimization problem by considering only some rational parameters and optimize for them independently. Nevertheless, we obtain several thousand sub problems.
Finally we consider two nonlinear benchmark problems. With these problems we analyze the accuracy and stability again and compare the efficiency with two reference multiscale methods.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:70613 |
| Date | 22 April 2020 |
| Creators | Naumann, Andreas |
| Contributors | Voigt, Axel, Wensch, Jörg, Arnold, Martin, Technische Universität Dresden |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | info:eu-repo/grantAgreement/Deutsche Forschungsgemeinschaft/Transregio 96/174223256//Thermo-Energetische Gestaltung von Werkzeugmaschinen - Eine systemische Lösung des Zielkonflikts von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität am Beispiel der spanenden Fertigung/SFB/TR 96 |
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