Cette thèse se décompose en trois parties. Dans la première, nous proposons une formule explicite en termes de comptage de chemins sur un graphe de Cayley, pour le calcul de tous les moments de la mesure de Haar sur le groupe unitaire. Ce résultat fournit un théorème général de liberté asymptotique pour des matrices aléatoires, ainsi que des résultats de convergence d'intégrales matricielles unitaires. En particulier, nous donnons une interprétation combinatoire de la limite de l'intégrale d'Itzykson-Zuber, ainsi qu'un lien avec la $R$-transformée de Voiculescu. Dans une deuxième partie, complètement différente, nous définissons un cadre en probabilités non-commutatives dans lequel nous prouvons que la théorie de Martin s'étend et qu'elle permet une représentation intégrale de toute fonction harmonique positive. Comme application de ces résultats purement quantiques, nous calculons les frontières de Martin de certaines marches au hasard classiques dans une chambre de Weyl. L'exemple d'une marche au hasard sur $SU_q(2)$ est aussi traité de manière exhaustive. Dans la troisième partie, nous proposons une approche analytique des asymptotiques de la mesure de Haar sur un groupe compact. Nous calculons l'image de la mesure de Haar du groupe unitaire par contraction par un projecteur. Ceci nous permet de retrouver et d'interpréter de manière combinatoire certaines asymptotiques obtenues dans la première partie. Par ailleurs, nous établissons que le carré la partie radiale d'une contraction d'une matrice unitaire aléatoire est un ensemble de Jacobi. Une méthode de polynômes orthogonaux permet alors de renforcer des résultats de convergence asymptotiques prédits par les probabilités libres, et d'établir des propriétés d'universalité des valeurs propres.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00004306 |
| Date | 20 January 2003 |
| Creators | Collins, Benoit |
| Publisher | Université Pierre et Marie Curie - Paris VI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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